人教版八年级上册第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.1 轴对称优秀课后作业题

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1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(，5)关于y轴的对称点的坐标为（ ）

A．( ，)B．(3，5)C．(3．)D．(5，)
【答案】B
【详解】根据关于y轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，
∴点P关于y轴的对称点的坐标是（3，5），
故选：B
2．如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．50°C．90°D．100°
【答案】D
【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°，
∴∠B=180°﹣80°=100°．
故选D．
如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．
如果，那么的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
依题意，由直尺边是相互平行、三角形为等腰直角三角形，可得，即可；
【详解】
由题知，如图，为等腰直角三角形，∴ ；
直尺边相互平行，∴ ，∴；
又，∴ ；
故选：B；
如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
连接BE，则的度数为（ ）

A．70°B．50°C．40°D．30°
【答案】D
【分析】由△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C==70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．
故选：D．
E=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C==70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．
故选：D．
如图，在ABC中，边BC的垂直平分线l与AC相交于点D，垂足为E，
如果ABD的周长为10 cm，BE=3 cm，则ABC的周长为（ ）
A．9 cmB．15 cmC．16 cmD．18 cm
【答案】C
【详解】解：∵l垂直平分BC，
∴DB=DC，BE=EC=3㎝，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=10cm，BC=6㎝，
∴△ABC的周长为： AB+AC+BC=16cm．
故选C．
如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，
作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为（ ）

A．7B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意得是的垂直平分线，即，
根据的周长为得，即可得．
【详解】
解：∵在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴的周长为：，
故选：C．
如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．
若△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（ ）
A．10B．16C．8D．4
【答案】C
【分析】由BO为角平分线，得到一对角相等，再由MN平行于BC，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出∠MBO=∠MOB，利用等角对等边得到MO=MB，同理得到NO=NC，而三角形ABC的周长等于三边相加，即AB+BC+AC，其中AB=AM+MB，AC=AN+NC，等量代换后可得出三角形ABC的周长等于三角形AMN的周长与BC的和，即BC等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出BC的长．
【详解】解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO=∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MOB=∠MBO，
∴MB=MO，同理可得∠NOC=∠NCO，
∴NO=NC，
∴（AB+AC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MB+AN+NC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MO+AN+NO+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+AN+MN+BC）-（AM+AN+MN）
=BC，
又∵△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，即AB+AC+BC=20，AM+AN+MN=12，
则BC=20-12=8．
故选C．
如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，
点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP + PN的最小值是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
【详解】解：如图
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，
故选B．
如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，
连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O =（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论．
【详解】∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，
∴∠A2B2O＝α，
同理∠A3B3O＝×α＝α，
∠A4B4O＝α，
∴∠AnBnO＝α，
∴∠A10B10O＝，
故选B．
10 .如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF交AD于点G．下列结论：
①AD平分∠EDF；②AD⊥EF；③AG=DG；④∠AEF=∠ADF 其中正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
根据角平分线性质求出DE=DF，证△AED≌△AFD，推出AE=AF，再逐个判断即可．∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，
∴AD平分∠EDF；①正确；
∵AD平分∠BAC，
∵AE=AF，DE=DF，
∴AD垂直平分EF，
∴AD⊥EF；②正确；
∵AD⊥EF，AE不一定等于ED，
∴AG不一定等于DG；③错误；
∵AD⊥EF，DF⊥AC，
∴∠AEF+∠EAD=90，∠ADF+∠FAD=90，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠AEF=∠ADF，④正确；
综上，①②④正确，共3个．
故选：C．
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
11．平面直角坐标系中，点A（2，0）关于y轴对称的点A′的坐标为 ．
【答案】（﹣2，0）
【详解】解：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，
从而点A（2，0）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
12．如图，是边的垂直平分线，若，则=

【答案】5．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度．
【详解】∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，∴AD＝CD．
∵BC＝9，AD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5．
故答案为5．
如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
连接BE，则的度数为______

【答案】．30°
【分析】由△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C==70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．
故答案为30°
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，
AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为 cm．

【答案】3
【详解】试题分析：连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，
∵BC=9cm，∴MN=3cm．
故答案为3cm．
15．如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线交BC于点E,G,若∠B+∠C=40°,则∠EAG= .

【答案】100°.
【分析】由在三角形ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于点E．G，可得AE=BE，AG=CG，继而求得∠BAE+∠CAG=∠B+∠C=40°，继而求得答案．
【详解】∵在三角形ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于点E，G，
∴AE=BE，AG=CG，
∴∠BAE=∠B，∠CAG=∠C，
∴∠BAE+∠CAG=∠B+∠C=40°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=140°，
∴∠EAG=∠BAC-（∠BAE+∠CAG）=100°．
故答案为100°．
16．如图，AD垂直平分BC于D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE+CE=20cm，则AB=______．

【答案】20cm．
【解析】
先由垂直平分线性质得到BE等于AE，从而得到AC的长，再由线段的垂直平分线性质得到AB等于AC的长，即可得到结论．解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE,
∵BE+CE=20cm，
∴AE+CE=AC=20cm，
∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC=20cm．
故答案为：20cm．
17．如图①，将长方形纸带沿EF折叠，∠AEF＝70°，再沿GH折叠成图②，则图②中∠EHB'＝_______．

【答案】40°
【分析】
由折叠性质得到∠AEF=∠GEF=70°，由平行线的性质得到∠AEG=∠CGE=140°，进而得到∠EGH=70°，再由平行线的性质及折叠性质得到∠EHG=70°，∠B′HG=110°，最后由角的和差求解即可．
【详解】
解：由折叠性质得到，
∠AEF=∠GEF=70°，
∴∠AEG=∠AEF+∠GEF=140°，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE=140°，
∵∠CGH=∠EGH，
∴∠EGH=∠CGE=70°，
∵AB∥CD，
∴∠CGH+∠BHG=180°，∠CGH=∠EHG=70°，
∴∠BHG=180°-∠CGH=110°=∠B′HG，
∴∠EHB′=∠B′HG-∠EHG=110°-70°=40°，
故答案为：40°．
18 .如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，
点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，
若OA2＝4，则△AnBnAn+1的边长为 ．

【答案】2n．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，
∵∠MON＝30°，
∵OA2＝4，
∴OA1＝A1B1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，
A4B4＝8B1A2＝16，
A5B5＝16B1A2＝32，
以此类推△AnBnAn+1的边长为 2n．
故答案为：2n．
三、解答题（本题共6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。）
19．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC． 求证：AB=AC．

证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠1=∠2．
∵AE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
20．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且与交于点F．求证：．

【答案】见解析
【分析】由等边三角形的性质，得到∠B=∠CAE，AC=AB，根据SAS证出△ABD≌△CAE即可；
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，
在与中，
∴，
∴．
21．在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示
（1）请画出关于轴对称的△；（其中、、分别是、、的对应点，不写画法）
（2）直接写出三点的坐标；
（3）求的面积．

【答案】（1）见解析；（2）A′（2，3）；B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）；（3）5．5．
【分析】（1）从三角形的各顶点向y轴引垂线并延长相同的长度，线段的端点就是要找的三顶点的对应点，顺次连接；
（2）从画出的图形上找出新图形的三顶点的坐标；
（3）通过割补法，用长方形面积减去三个三角形面积，即△ABC的面积．
【详解】（1）如图所示；
（2）A′（2，3），B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）；
（3）．
22 .如图所示,在△ABC 中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,
过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F.

(1) 若∠ABC=40°,∠ACB=60°,求∠BOE+∠COF的度数;
(2) 若△AEF的周长为8 cm,且BC=4 cm,求△ABC的周长.
【答案】（1）∠BOE+∠COF=50°；（2）12cm.
【分析】（1）两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得到 从而求得∠BOE+∠COF的度数.
（2）根据,可得△FOC、△EOB均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB，进而可得到△ABC的周长．
【详解】解:(1)∵EF∥BC,
∴∠OCB=∠COF,∠OBC=∠BOE.
又∵BO,CO分别是∠BAC和∠ACB的角平分线,
∴∠COF=∠FCO=∠ACB=30°,∠BOE=∠OBE=∠ABC=20°.
∴∠BOE+∠COF=50°.
(2)∵∠COF=∠FCO,∴OF=CF.
∵∠BOE=∠OBE,∴OE=BE.
∴△AEF的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=8 cm.
∴△ABC的周长=8+4=12(cm).
在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，
若△ADE的周长为5．
（1）AD与BD的数量关系为 ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为13，求OA的长．

【答案】（1）相等 （2）5 （3）4
【解析】
（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到OB=OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
故答案为：相等；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵△ADE的周长为5，
∴AD+DE+AE=5，
∴BD+DE+EC=5，即BC=5；
（3）l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OB=OC，
∵△OBC的周长为13，BC=5，
∴OB+OC=8，
∴OA=OB=OC=4．
24．如图，已知中，厘米，厘米，厘米．

如果点在线段上以3厘米每秒的速度由点向点运动，
同时点在线段上由点向点运动．
① 若点的运动速度与点的运动速度相等，1秒钟时，与是否全等，请说明理由；
② 若点的运动速度与点的运动速度不相等，点运动到的中点时，
如果，此时点的运动速度为多少．
若点以（1）②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，
都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
【答案】（1）①全等，理由见解析；②4厘米/秒；（2）经过了24秒，点P与点Q一次在BC边上相遇
【分析】（1）①先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再根据SAS即可证明．
②若△BPD≌△CPQ，只能是CQ=BD=6，根据速度，时间之间的关系解决问题即可．
（2）因为Q的速度大于P的速度，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，构建方程即可解决问题．
【详解】解：（1）①∵t=1（秒），
∴BP=CQ=3厘米，
∵AB=12厘米，D为AB的中点，
∴BD=6厘米，
又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米），
∴PC=BD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵P的速度不等于Q的速度，
∴BP≠CQ，
∵P是BC的中点，
∴BP=CP=4.5厘米，
∵∠B=∠C，
若△BPD≌△CPQ，则CQ=BD=6厘米，
点P的运动时间（秒），
此时Q的运动速度是（厘米/秒）．
（2）因为Q的速度大于P的速度，只能是点Q追上点P，
即点Q比点P多走AB+AC的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇．
依题意得4x=3x+2×12，
解得x=24（秒），
此时P运动了24×3=72（厘米），
又因为△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，
点P，Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q一次在BC边上相遇．