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2024-2025学年度北师版八上数学-专题6-一次函数中的规律探索问题【课外培优课件】
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第四章 一次函数专题6 一次函数中的规律探索问题 1. 若规定[ x ]表示不大于 x 的最大整数，如[2.3]＝2，[－1.2]＝ －2，则函数 y ＝ x －[ x ]的图象为（ A ）ABACD【解析】当－1≤ x ＜0时，[ x ]＝－1， y ＝ x ＋1；当0≤ x ＜1 时，[ x ]＝0， y ＝ x ；当1≤ x ＜2时，[ x ]＝1， y ＝ x －1，….故 选A. D 3. 如图，过点 A1（1，0）作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B1；点 A2与点 O 关于直线 A1 B1对称，过点 A2作 x 轴的垂线，交 直线 y ＝2 x 于点 B2；点 A3与点 O 关于直线 A2 B2对称，过点 A3作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B3……按此规律作下去，则点 Bn 的坐标为 .（2 n－1，2 n ） 【解析】因为 A1（1，0），所以 OA1＝1.因为过点 A1（1，0）作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B1，所以 B1（1，2）.因为点 A2与点 O 关于直线 A1 B1对称，所以 A1 A2＝ OA1＝1.所以 A2（2，0）.所以 OA2＝2.因为过点 A2（2，0）作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B2，所以 B2（2，4）.因为点 A3与点 O 关于直线 A2 B2对称，所以 A3（4，0）， B3（4，8）.以此类推，可得点 An 的坐标为（2 n－1，0），点 Bn 的坐标为（2 n－1，2 n ）.故答案为（2 n－1，2 n ）.4. 如图，将正方形 A1 B1 C1 O ， A2 B2 C2 C1，…按此方法放置， 点 A1（0，1）， A2， A3，…和点 C1， C2， C3，…分别在直线 y ＝ x ＋1和 x 轴上，则点 Bn 的坐标为 .（2 n －1，2 n－1） 【解析】当 x ＝0时， y ＝0＋1＝1，所以点 A1（0，1）.因为四边形 A1 B1 C1 O 为正方形，所以点 B1（1，1）.当 x ＝1时， y ＝1＋1＝2，所以点 A2（1，2）.因为四边形 A2 B2 C2 C1为正方形，所以点 B2（3，2）.同理，点 A3（3，4），点 B3（7，4）；点 A4（7，8），点 B4（15，8）……所以点 Bn （2 n －1，2 n－1）.故答案为（2 n －1，2 n－1）. 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y ＝ x ＋2与 y 轴交于 点 A1，作正方形 A1 B1 C1 O ， A2 B2 C2 C1， A3 B3 C3 C2，….使点 A1， A2， A3，…在直线 y ＝ x ＋2上，点 C1， C2， C3，…在 x 轴 上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为 S1， S2， S3，…， Sn ，则 Sn 的值为 （用含 n 的代数式表示， n 为 正整数）.22 n－1 交直线 y ＝2 x 于点 A3；……依次作下去，若点 B1的纵坐标是1， 则点 A2025的纵坐标是 . 21012 【解析】如图，分别过点 P1， P2， P3作 x 轴的垂线，垂足分别 为 C ， D ， E . ∵点 P1（3，3），且△ OP1 A1为等腰直角三角形，∴ OC ＝ CA1＝ P1 C ＝3.设 A1 D ＝ a ，则 P2 D ＝ a ，∴ OD ＝6＋ a .∴点 P2的坐标为（6＋ a ， a ）. …… 9. （选做）如图，正方形 AOBO2的顶点 A 的坐标为 A （0，2），点 O1为正方形 AOBO2的中心；以正方形 AOBO2的对角线 AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3 A1，点 O2为正方形 ABO3 A1的中心；再以正方形 ABO3 A1的对角线 A1 B 为边，在 A1 B 的右 侧作正方形 A1 BB1 O4，点 O3为正方形 A1 BB1 O4的中心；再以正 方形 A1 BB1 O4的对角线 A1 B1为边，在 A1 B1的右侧作正方形 A1 B1 O5 A2， O4为正方形 A1 B1 O5 A2的中心；…；按照此规律继续下 去，则点 O2023的坐标为 .（3×21011－2，21011） 【解析】如图，连接 OO2，则 OO2与 AB 交于点 O1.在正方形 AOBO2中，顶点 A 的坐标为 A （0，2），∴ OA ＝ OB ＝2， AO1＝ BO1.∴点 B （2，0）.∴ O1（1，1）.同理可得， O2（2，2）， O3（4，2）， O4（6，4）， O5（10，4）， O6（14，8），…. ∴点 O2022的坐标为（21012－2，21011）.点 O2023的横坐标为 x ＝21012－2＋21011＝3×21011－2，纵坐标和 O2022的纵坐标相同.故答案为（3×21011－2，21011）.演示完毕 谢谢观看
第四章 一次函数专题6 一次函数中的规律探索问题 1. 若规定[ x ]表示不大于 x 的最大整数，如[2.3]＝2，[－1.2]＝ －2，则函数 y ＝ x －[ x ]的图象为（ A ）ABACD【解析】当－1≤ x ＜0时，[ x ]＝－1， y ＝ x ＋1；当0≤ x ＜1 时，[ x ]＝0， y ＝ x ；当1≤ x ＜2时，[ x ]＝1， y ＝ x －1，….故 选A. D 3. 如图，过点 A1（1，0）作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B1；点 A2与点 O 关于直线 A1 B1对称，过点 A2作 x 轴的垂线，交 直线 y ＝2 x 于点 B2；点 A3与点 O 关于直线 A2 B2对称，过点 A3作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B3……按此规律作下去，则点 Bn 的坐标为 .（2 n－1，2 n ） 【解析】因为 A1（1，0），所以 OA1＝1.因为过点 A1（1，0）作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B1，所以 B1（1，2）.因为点 A2与点 O 关于直线 A1 B1对称，所以 A1 A2＝ OA1＝1.所以 A2（2，0）.所以 OA2＝2.因为过点 A2（2，0）作 x 轴的垂线，交直线 y ＝2 x 于点 B2，所以 B2（2，4）.因为点 A3与点 O 关于直线 A2 B2对称，所以 A3（4，0）， B3（4，8）.以此类推，可得点 An 的坐标为（2 n－1，0），点 Bn 的坐标为（2 n－1，2 n ）.故答案为（2 n－1，2 n ）.4. 如图，将正方形 A1 B1 C1 O ， A2 B2 C2 C1，…按此方法放置， 点 A1（0，1）， A2， A3，…和点 C1， C2， C3，…分别在直线 y ＝ x ＋1和 x 轴上，则点 Bn 的坐标为 .（2 n －1，2 n－1） 【解析】当 x ＝0时， y ＝0＋1＝1，所以点 A1（0，1）.因为四边形 A1 B1 C1 O 为正方形，所以点 B1（1，1）.当 x ＝1时， y ＝1＋1＝2，所以点 A2（1，2）.因为四边形 A2 B2 C2 C1为正方形，所以点 B2（3，2）.同理，点 A3（3，4），点 B3（7，4）；点 A4（7，8），点 B4（15，8）……所以点 Bn （2 n －1，2 n－1）.故答案为（2 n －1，2 n－1）. 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y ＝ x ＋2与 y 轴交于 点 A1，作正方形 A1 B1 C1 O ， A2 B2 C2 C1， A3 B3 C3 C2，….使点 A1， A2， A3，…在直线 y ＝ x ＋2上，点 C1， C2， C3，…在 x 轴 上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为 S1， S2， S3，…， Sn ，则 Sn 的值为 （用含 n 的代数式表示， n 为 正整数）.22 n－1 交直线 y ＝2 x 于点 A3；……依次作下去，若点 B1的纵坐标是1， 则点 A2025的纵坐标是 . 21012 【解析】如图，分别过点 P1， P2， P3作 x 轴的垂线，垂足分别 为 C ， D ， E . ∵点 P1（3，3），且△ OP1 A1为等腰直角三角形，∴ OC ＝ CA1＝ P1 C ＝3.设 A1 D ＝ a ，则 P2 D ＝ a ，∴ OD ＝6＋ a .∴点 P2的坐标为（6＋ a ， a ）. …… 9. （选做）如图，正方形 AOBO2的顶点 A 的坐标为 A （0，2），点 O1为正方形 AOBO2的中心；以正方形 AOBO2的对角线 AB 为边，在 AB 的右侧作正方形 ABO3 A1，点 O2为正方形 ABO3 A1的中心；再以正方形 ABO3 A1的对角线 A1 B 为边，在 A1 B 的右 侧作正方形 A1 BB1 O4，点 O3为正方形 A1 BB1 O4的中心；再以正 方形 A1 BB1 O4的对角线 A1 B1为边，在 A1 B1的右侧作正方形 A1 B1 O5 A2， O4为正方形 A1 B1 O5 A2的中心；…；按照此规律继续下 去，则点 O2023的坐标为 .（3×21011－2，21011） 【解析】如图，连接 OO2，则 OO2与 AB 交于点 O1.在正方形 AOBO2中，顶点 A 的坐标为 A （0，2），∴ OA ＝ OB ＝2， AO1＝ BO1.∴点 B （2，0）.∴ O1（1，1）.同理可得， O2（2，2）， O3（4，2）， O4（6，4）， O5（10，4）， O6（14，8），…. ∴点 O2022的坐标为（21012－2，21011）.点 O2023的横坐标为 x ＝21012－2＋21011＝3×21011－2，纵坐标和 O2022的纵坐标相同.故答案为（3×21011－2，21011）.演示完毕 谢谢观看
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