天津市蓟州区擂鼓台中学2024届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份天津市蓟州区擂鼓台中学2024届高三上学期开学考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集，集合，则( )
A.B.C.D.
2．已知，，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知，，，则( )
A.B.C.D.
4．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J型曲线，以下4个函数中最能拟合该曲线的是( )
A.B.C.D.
5．若，则下列不等式不恒成立的是( )
A.B.C.D.
6．设是定义域为R的奇函数，且，若，则( )
A.B.C.D.
7．甲、乙两人准备分别从历史、文学、哲学这类书中随机选择一本阅读，且两人的选择结果互不影响记事件“甲选择历史书”，事件“甲和乙选择的书不同”，则( )
A.B.C.D.
8．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是( )
A.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
9．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：
由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则当时，繁殖个数y的预测值为( )
A.4.9
10．已知函数(e为自然对数的底数，)有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
11．函数的单调递增区间为______.
12．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则实数a的取值范围是______.
13．在的展开式中，常数项为______请用数字作答
14．某品牌手机的电池使用寿命X(单位：年)服从正态分布.且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为______.
15．已知袋中有4个白球2个黑球，现从袋中任取2个球，则取出的2个球为同色球的概率为______.
16．函数的最小值为______.
三、解答题
17．已知，.
（I）求的值；
（II）若，，且，求的最小值.
18．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.
19．甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.
（1）求的概率；
（2）求甲队和乙队得分之和为4的概率.
20．已知是函数的一个极值点.
（1）求a；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数有3个零点，求b的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：全集，集合，
由补集定义可知：或，即.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为；
，
所以，p推不出q，所以p是q的必要不充分条件.
故选：B.
3．答案：C
解析：因为在定义域内单调递增，则，所以，
因为在定义域内单调递增，则，所以，
因为在定义域内单调递减，则，所以，
综上所述：.
故选：C.
4．答案：A
解析：由函数，其定义域为，关于原点对称，
可得，
所以函数为偶函数，所以排除B；
由函数，可得，故排除C；
由函数，当时，可得且，则，
故排除D.
由函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，图象关于原点对称，
由时，，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，且，所以A项符合题意.
故选：A.
5．答案：C
解析：对于A，由得恒成立；
对于B，由可知恒成立；
对于C，由于，故当时，不成立，所以C不恒成立；
对于D，由得，所以恒成立.
故选：C.
6．答案：A
解析：是定义域为R的奇函数，，
，
，
是周期为2的周期函数，
.
故选：A.
7．答案：D
解析：事件“甲选择历史书”，则，
事件“甲和乙选择的书不同”，
则事件“甲选择历史书，乙选择的是文学书或哲学书”，
所以，
所以.
故选：D.
8．答案：C
解析：因为线性相关系数，所以x，y正相关，
因为线性相关系数，所以u，v负相关，
又因为，所以变量u，v的线性相关性比x，y的线性相关性强，
故选：C.
9．答案：B
解析：由题意得：，，
样本点的中心的坐标为，
代入，得，
解得.
y关于x的线性回归方程为.
取，得.
故选：B.
10．答案：D
解析：当时，，
所以，且，
所以二次函数开口向下且在内抛物线与x轴只有一个交点，
所以在内只有一个零点，
当时，，
所以不是的零点，
由已知得当时，有两个零点，
由，得，
令，即，
由题意可得函数与有两个交点，
又因为，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
又因为函数与有两个交点，
所以，
所以a的取值范围为.
故选：D.
11．答案：
解析：函数的单调递增区间，即函数在的条件下，y的减区间.
由二次函数的性质可得，在的条件下，y的减区间为，
故答案为：.
12．答案：
解析：因是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，且，
由，在区间上单调递增，故，
由，在区间上单调递减，故，
综上，.
故答案为：.
13．答案：
解析：二项式的展开式的通项为，，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
故答案为：60.
14．答案：0.4
解析：由题意知，，
，
正态分布曲线的对称轴为直线，
因为，
，
故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4.
故答案为：0.4.
15．答案：
解析：取出的2个球共有种，
若同为白球，共有种；若同为黑球，共有种；
可得同色球共有种，
所以取出的2个球为同色球的概率为.
故答案为：.
16．答案：4
解析：由，根据基本不等式，
得，
当且仅当，即时等号成立.
所以函数的最小值为4.
故答案为：4.
17．答案：（I）；
（II）
解析：（I），，，，
所以，.
（II）由换底公式得：，
所以，
当且仅当，即取等号，因此的最小值为.
18．答案：（1）；
（2）切线方程为；切点为.
解析：（1）由，得
，，
曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，，
切线方程为，
切线经过原点，
，
，.
则，
所求的切线方程为；
切点为.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1），则甲队有两人答对，一人答错，
故；
（2）设甲队和乙队得分之和为4为事件A，设乙队得分为Y，则，
，
，
，，
，
.
20．答案：（1）；
（2）的增区间是和；减区间是.
（3）
解析：（1），
因为是函数的一个极值点，
所以，解得.
（2）由（1）得，，
，
令，得，.
和随x的变化情况如下：
的增区间是和；减区间是.
（3）由（2）知，的极大值为，极小值为.
因为，，
所以.
因为，，
所以.
函数图像如图所示，
当直线与函数的图像有3个交点时，函数有3个零点，
b的值在函数的极小值和极大值之间，所以b的取值范围为.
天数x(天)
3
4
5
6
繁殖个数y( 千个)
2.5
3
4
4.5
x
1
3
0
—
0
+
极大值
极小值