2023-2024学年天津市蓟州区第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市蓟州区第一中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的准线方程为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分析：先将抛物线方程化为标准方程，再写出准线方程．
详解：将化为，
则该抛物线的准线方程为．
点睛：本题考查抛物线的标准方程、准线方程等知识，意在考查学生的基本计算能力．
2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ）
A．12B．20C．28D．30
【答案】B
【分析】根据递推关系求得，进而可得答案.
【详解】由已知得
，
，
，
，
故选：B.
3．在等差数列中，若 ，则 的值等于（ ）
A．8B．10C．13D．26
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质求出，然后根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质即可求出答案.
【详解】因为，所以，即，
所以.
故选：C.
4．已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用离心率求出，然后结合的关系求解渐近线方程即可.
【详解】双曲线C：的离心率为,
故，，
.
故双曲线C的渐近线方程为：.
故选：A
5．已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于，两点，若点恰好为中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先设，，由题意得到，，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】设，，由题意可得：，两式作差可得：，
即，
又点恰好为中点，所以直线的斜率为：，
因此，直线的方程为：，即.
故选A
【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.
6．已知等差数列的前n项和为，，，则当S取得最小值时，n的值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】利用等差数列的前n项和公式可知，，即，从而可确定当S取最小值时n的值.
【详解】因为，故.
同理，故，
所以，即当时，取得最小值.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列性质和等差数列前n项和的应用，属于基础题.
7．已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线方程结合双曲线的几何性质即可求解.
【详解】将代入抛物线方程，可得，
则抛物线方程为，准线方程为，
又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为，
则，又，
可得，所以双曲线方程为.
故选：D.
8．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，且两点为在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不妨设 ，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．
【详解】设|，∵点A为椭圆C1：上的点， ，
即 ；①
又四边形AF1BF2为矩形， ，即 ②
由①②得： ，解得
设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则 ，
∴双曲线C2的离心率 ．
故选D．
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
9．已知抛物线的焦点为F，设是抛物线上的两个动点，如满足，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据抛物线的定义有,由余弦定理得,故的最大值为.
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,考查利用余弦定理解三角形,考查了利用基本不等式求最值的方法,还考查了特殊角的三角函数值.首先利用抛物线的定义,将已知条件转化为,结合余弦定理和基本不等式可求得所求角的余弦值的最值,由此确定角的值.
二、填空题
10．在等差数列中，若，则= .
【答案】.
【分析】由等比数列的性质求得，再得．
【详解】因为是等差数列，所以，即，所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质是解题关键．
11．已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最大值，则公差的取值范围时
【答案】
【分析】根据等差数列的前项和的公式，讨论其单调性，结合题意，即可求得范围.
【详解】因为数列中，
故其前项和是关于的二次函数，且.
因为当且仅当时，前项和取得最大值
故只需该二次函数的对称轴范围在，
即，解得
故答案为：.
【点睛】本题考查等差数列前项和的函数属性，属基础题.
12．设等差数列的前项和分别是，且，则 .
【答案】
【分析】根据等差数列前项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的性质可知，
则.
故答案为：
13．设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足.若，且三角形的面积为，则的值为 .
【答案】
【详解】设，因为直线过焦点，所以（不妨设在第一象限），又由，所以，即，所以，，，所以，解得．
点睛：抛物线的焦点弦具有许多性质，记住这些性质可以快速准确的解决焦点弦问题．如是抛物线的焦点弦，设，在准线上的射影分别为，
则：
（1）；
（2）；
（3）若倾斜角为，则；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）；
（6）若是中点，则，；
（7）共线，共线；
（8）．
14．已知双曲线C：的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线：的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线：和：距离之和的最小值为 .
【答案】3
【分析】此题考查抛物线的定义和几何性质，根据双曲线的顶点到渐近线的距离关系求方程，利用几何关系转化求距离之和的最小值.
【详解】双曲线的渐近线方程，右顶点，到其一条渐近线的距离，解得，则，
所以双曲线的焦点坐标，所以抛物线焦点坐标，
即抛物线方程，如图：过点作，垂足为A，作准线的垂线，垂足为，连接MF，根据抛物线定义有：
，即动点到直线和距离之和，
转化为：动点到直线和到焦点的距离之和,
当三点共线时，距离之和最小，即点F到直线的距离，
.
故答案为：3
15．已知椭圆的左右顶点分别为，，P为C任意一点，其中直线的斜率范围为，则直线的斜率范围为 ．
【答案】
【分析】利用椭圆的性质，求出斜率的乘积为定值，求出即可.
【详解】由椭圆的方程可得，，则，设，
，即
，，，
直线斜率的取值范围是，直线斜率的取值范围是：，
故答案为：
【点睛】考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，中档题.
三、解答题
16．已知在非零数列中，，数列的前项和．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）已知等式两边同除以，由等差数列的定义得证；
（2）由及可得通项公式；
（3）求出后，由等差数列前项和公式计算．
【详解】（1）证明 因为在非零数列中，，
两边同时除以，
可得，
所以．
又，所以，
所以是以1为首项．以为公差的等差数列．
（2）解 因为数列的前项和，所以，
当时，
，
又对也成立，
所以．
（3）解 由（1）可知，，
又由（2）可知，
所以，
可知为等差数列，
所以．
17．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.

(1)求证：平面；
(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；
(3)求点到PD的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）如图，取中点，连接

因为为中点，，，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，则，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面，故平面．
（2）
根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得，，
则，
设平面的法向量为，
则，解得，
取，则，所以平面的一个法向量为，
设直线PB与平面所成角为，
则.
所以直线PB与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）可知，，
所以点到PD的距离为.
18．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A在椭圆C上，，，过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】(1)根据椭圆的几何性质和条件列方程求出a，b，c；
(2)设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出中点N的坐标，再利用 ，求出直线l 的斜率.
【详解】（1） ，在 中， ，
即 ， ，
解得： ， ，
椭圆C的方程为： ；
（2）
由题意设l的方程为： ， ，
联立方程 ，得 ，
，
， ，
， ，即 ，
化简得： ， ，
直线l的方程为 或者 ；
综上，椭圆C的方程为：，直线l的方程为 或者 .
19．（1）在数列中，，，且满足，求数列的通项公式；
（2）在数列中，，，求数列的通项公式；
（3）若数列是正项数列，且，求数列的通项公式
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）分析可知，数列为等差数列，求出该数列的公差，可求得数列的通项公式；
（2）推导出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；
（3）令可求得的值，令，由可得出，两式作差可得出在时的表达式，然后对是否满足在时的表达式进行检验，即可得解；
【详解】解：（1）∵，，
∴，，∴数列为等差数列，
，，
∴.
（2）∵，∴，又，
∴是以首项为，公差为的等差数列，
∴∴.
（3）∵，
∴，，
两式相减可得：，，又时，也满足上式，
∴，，∴.
20．已知椭圆，其离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为.
(1)求椭圆的标准方程：
(2)直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限，此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点且，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，列出韦达定理，求出点、的坐标，进而求出点的坐标，由已知可得出，可求得，结合可求得的值.
【详解】（1）解：由题意可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为：.
（2）解：由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，
联立，消去并整理，得，
，可得，
由韦达定理可得，，
，则点，
因为点在第一象限，则，则，直线的方程为，
在直线的方程中，令可得，即点，易知点，
，则直线的方程为，
联立可得，即点，
因为，，即，即，可得，则，
将代入可得，则，
，解得.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角形面积之间的等量关系求出直线的斜率，解题的关键在于求出点的坐标，将三角形面积的等量关系转化为两点坐标之间的关系，进而构建等式求解.