2024年高二数学暑期培优讲义 第03讲 立体几何与空间向量+课后巩固练习（2份打包，原卷版+教师版）

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1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A.120° B.60° C.30° D.60°或30°
2.在正方体A1B1C1D1­ABCD中，AC与B1D所成角大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
3.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),3)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(3,5)
4.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝eq \r(3)，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B­AC­M的余弦值为( )
A.eq \f(\r(6),6) B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(\r(2),6) D.eq \f(1,6)
二、填空题
6.在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________.
7.在底面是直角梯形的四棱锥S­ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq \f(1,2)，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是________.
8.如图所示，四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60°时，那么线段PM的长度是________.
三、解答题
9.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
10.如图所示，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2eq \r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M­PA­C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.