2024年高中数学新高二暑期培优讲义第12讲 椭圆（2份打包，原卷版+教师版）

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题型一：椭圆的定义
题型二：求椭圆的标准方程
题型三：椭圆的综合问题
题型四：轨迹方程
题型五：椭圆的简单几何性质
题型六：求椭圆的离心率
题型七：求椭圆离心率的取值范围
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
题型九：椭圆中的范围与最值问题
题型十：焦点三角形
【知识点梳理】
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点 SKIPIF 1 < 0 到两个定点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的距离之和等于常数( SKIPIF 1 < 0 )，这个动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
知识点诠释：
若 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为线段 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
1、当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时，椭圆的标准方程： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；
2、当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时，椭圆的标准方程： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；
知识点诠释：
(1)这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
(2)在椭圆的两种标准方程中，都有 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时，椭圆的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时，椭圆的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(4) 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
知识点三：求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
(1)待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式： SKIPIF 1 < 0 .
(2)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
知识点四：椭圆的简单几何性质
我们根据椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 来研究椭圆的简单几何性质
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
对于椭圆标准方程 SKIPIF 1 < 0 ，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆 SKIPIF 1 < 0 (a＞b＞0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
椭圆的离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作 SKIPIF 1 < 0 .
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而 SKIPIF 1 < 0 越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。
知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下图帮助记忆：

a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形 SKIPIF 1 < 0 有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式 SKIPIF 1 < 0 相结合的方法进行计算与解题，将有关线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，有关角 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )结合起来，建立 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间的关系.
知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较
知识点诠释：椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (a＞b＞0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和 SKIPIF 1 < 0 ，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【典例例题】
题型一：椭圆的定义
例1．设定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点P满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹是( )
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
例2．设 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于A、B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为( )
A．12B．24C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二：求椭圆的标准方程
例3．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过坐标原点的直线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例4．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为 SKIPIF 1 < 0 .
题型三：椭圆的综合问题
例5．已知椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
例6．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长是短轴长的 SKIPIF 1 < 0 倍，且椭圆C经过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使 SKIPIF 1 < 0 面积最大时直线l的方程．
例7．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，长轴长为4，离心率 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆有两个交点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
题型四：轨迹方程
例8．已知动圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ，并且在定圆B： SKIPIF 1 < 0 的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例9．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例10．设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例11．已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，动圆M与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，同时与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型五：椭圆的简单几何性质
例12．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上顶点为点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
例13．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的内接正方形的周长为__________．
题型六：求椭圆的离心率
例14．椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例15．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 -1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例16．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点， SKIPIF 1 < 0 ，若坐标原点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆离心率为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型七：求椭圆离心率的取值范围
例17．已知F1，F2分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例18．已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，椭圆上一点M满足： SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆离心率取值范围是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例19．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围
例20．已知椭圆C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．
例21．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，求短轴长为______.
题型九：椭圆中的范围与最值问题
例22．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______．
例23．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，定点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
例24．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点F，点Р在椭圆C上，又点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
题型十：焦点三角形
例25．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，M是此椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为______．
例26．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，P是椭圆上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为________.
例27．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，点P在椭圆C上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆C的方程为___________.
【过关测试】
一、单选题
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．椭圆 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若 SKIPIF 1 < 0 ，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知P点是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，A点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知点P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上动点， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆C的焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为( )
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．4
二、填空题
5．椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为8，则椭圆的标准方程为____________________．
6．椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点P是椭圆上任意一点，当 SKIPIF 1 < 0 时，P点横坐标的取值范围是__________．
7．已知 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点P在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 (O为坐标原点)是面积为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，则此椭圆的方程为__________．
三、解答题
8．已知点P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为左右焦点，焦距为6，且过 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于A、B两点，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
9．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为6，面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 点，设 SKIPIF 1 < 0 ，试判断 SKIPIF 1 < 0 是否为定值？请说明理由．
标准方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图形
性质
焦点
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
焦距
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
范围
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
轴
长轴长= SKIPIF 1 < 0 ，短轴长= SKIPIF 1 < 0
离心率
SKIPIF 1 < 0