2024年高二数学暑期培优讲义 第01讲 平面向量+课后巩固练习（2份打包，原卷版+教师版）

这是一份2024年高二数学暑期培优讲义 第01讲 平面向量+课后巩固练习（2份打包，原卷版+教师版），文件包含2024年高二数学暑期培优讲义第01讲平面向量教师版doc、2024年高二数学暑期培优讲义第01讲平面向量教师版pdf、2024年高二数学暑期培优讲义第01讲平面向量课后巩固练习教师版doc、2024年高二数学暑期培优讲义第01讲平面向量课后巩固练习教师版pdf、2024年高二数学暑期培优讲义第01讲平面向量学生版doc、2024年高二数学暑期培优讲义第01讲平面向量学生版pdf、2024年高二数学暑期培优讲义第01讲平面向量课后巩固练习学生版doc、2024年高二数学暑期培优讲义第01讲平面向量课后巩固练习学生版pdf等8份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
1.设平面向量a＝(﹣1，0)，b＝(0，2)，则2a﹣3b等于( )
A.(6，3) B.(﹣2，﹣6) C.(2，1) D.(7，2)
答案为：B.解析：2a﹣3b＝(﹣2，0)﹣(0，6)＝(﹣2，﹣6).]
2.已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1，2)，b＝(m，3m﹣2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞，2) B.(2，＋∞)
C.(﹣∞，＋∞) D.(﹣∞，2)∪(2，＋∞)
答案为：D.解析：由题意可知a与b不共线，即3m﹣2≠2m，∴m≠2.故选D.]
3.若向量a＝(2，1)，b＝(﹣1，2)，c＝(0，eq \f(5,2))，则c可用向量a，b表示为( )
A.c＝eq \f(1,2)a＋b B.c＝﹣eq \f(1,2)a﹣b C.c＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b D.c＝eq \f(3,2)a﹣eq \f(1,2)b
A
解析：[设c＝xa＋yb，易知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝2x－y，,\f(5,2)＝x＋2y，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝1.))∴c＝eq \f(1,2)a＋b.故选A.]
4.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))＋μeq \(AD,\s\up8(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,4) C.1 D.eq \f(5,16)
答案为：A.解析：法一：eq \(DE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)eq \(DO,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \f(1,4)eq \(DB,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \f(1,4)(eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up8(→))﹣eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up8(→))，
所以λ＝eq \f(1,4)，μ＝﹣eq \f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq \f(5,8)，故选A.
法二：本题也可以用特例法，如取ABCD为正方形，解略.]
5.已知向量a＝(1，1)，b＝(﹣1，2)，若(a﹣b)∥(2a＋tb)，则t＝( )
A.0 B.eq \f(1,2) C.﹣2 D.﹣3
答案为：C.解析：由题意得a﹣b＝(2，﹣1)，2a＋tb＝(2﹣t，2＋2t).因为(a﹣b)∥(2a＋tb)，所以2×(2＋2t)＝(﹣1)×(2﹣t)，解得t＝﹣2，故选C.]
6.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(AC,\s\up8(→))＝b，则eq \(AD,\s\up8(→))＝( )
A.a﹣eq \f(1,2)b B.eq \f(1,2)a﹣b
C.a＋eq \f(1,2)b D.eq \f(1,2)a＋b
D.
解析：[连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB，且eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)a，所以eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝b＋eq \f(1,2)a.]
7.已知|eq \(OA,\s\up8(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝eq \r(3)，eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，点C在∠AOB内，且eq \(OC,\s\up8(→))与eq \(OA,\s\up8(→))的夹角为30°，设eq \(OC,\s\up8(→))＝meq \(OA,\s\up8(→))＋neq \(OB,\s\up8(→))(m，n∈R)，则eq \f(m,n)的值为( )
A.2 B.eq \f(5,2) C.3 D.4
答案为：C.解析：∵eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，∴eq \(OA,\s\up8(→))⊥eq \(OB,\s\up8(→))，以eq \(OA,\s\up8(→))所在直线为x轴，eq \(OB,\s\up8(→))所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，eq \(OA,\s\up8(→))＝(1，0)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(0，eq \r(3))，eq \(OC,\s\up8(→))＝meq \(OA,\s\up8(→))＋neq \(OB,\s\up8(→))＝(m，eq \r(3)n).∵tan 30°＝eq \f(\r(3)n,m)＝eq \f(\r(3),3)，∴m＝3n，即eq \f(m,n)＝3，故选C.]
二、填空题
8.在▱ABCD中，AC为一条对角线，eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，4)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(1，3)，则向量eq \(BD,\s\up8(→))的坐标为________.
(﹣3，﹣5) 解析：[∵eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))，∴eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))﹣eq \(AB,\s\up8(→))＝(﹣1，﹣1)，
∴eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))﹣eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))﹣eq \(AB,\s\up8(→))＝(﹣3，﹣5).]
9.已知A(1，0)，B(4，0)，C(3，4)，O为坐标原点，且eq \(OD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))﹣eq \(CB,\s\up8(→)))，则|eq \(BD,\s\up8(→))|＝________.
2eq \r(2) 解析：[由eq \(OD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))﹣eq \(CB,\s\up8(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OC,\s\up8(→)))知，点D是线段AC的中点，
故D(2，2)，所以eq \(BD,\s\up8(→))＝(﹣2，2).故|eq \(BD,\s\up8(→))|＝eq \r(（－2）2＋22)＝2eq \r(2).]
10.平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up8(→))＝e1，eq \(AC,\s\up8(→))＝e2，eq \(NC,\s\up8(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→))，eq \(BM,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC,\s\up8(→))，则eq \(MN,\s\up8(→))＝________.(用e1，e2表示)
﹣eq \f(2,3)e1＋eq \f(5,12)e2.
11.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq \(BC,\s\up8(→))＝3eq \(CD,\s\up8(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq \(AO,\s\up8(→))＝xeq \(AB,\s\up8(→))＋(1﹣x)eq \(AC,\s\up8(→))，则x的取值范围是( )
A.(0,eq \f(1,2)) B.(0,eq \f(1,3)) C.(-eq \f(1,2),0) D.(﹣eq \f(1,3),0)
答案为：D.解析：法一：依题意，设eq \(BO,\s\up8(→))＝λeq \(BC,\s\up8(→))，其中1＜λ＜eq \f(4,3)，则有eq \(AO,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BO,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋λeq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋λ(eq \(AC,\s\up8(→))﹣eq \(AB,\s\up8(→)))＝(1﹣λ)eq \(AB,\s\up8(→))＋λeq \(AC,\s\up8(→)).又eq \(AO,\s\up8(→))＝xeq \(AB,\s\up8(→))＋(1﹣x)eq \(AC,\s\up8(→))，且eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AC,\s\up8(→))不共线，于是有x＝1﹣λ∈(﹣eq \f(1,3),0)，即x的取值范围是(﹣eq \f(1,3),0)，选D.
法二：∵eq \(AO,\s\up8(→))＝xeq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))﹣xeq \(AC,\s\up8(→))，∴eq \(AO,\s\up8(→))﹣eq \(AC,\s\up8(→))＝x(eq \(AB,\s\up8(→))﹣eq \(AC,\s\up8(→)))，即eq \(CO,\s\up8(→))＝xeq \(CB,\s\up8(→))＝﹣3xeq \(CD,\s\up8(→))，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，∴0＜﹣3x＜1，∴﹣eq \f(1,3)＜x＜0.]
12.矩形ABCD中，AB＝eq \r(5)，BC＝eq \r(3)，P为矩形内一点，且AP＝eq \f(\r(5),2)，若eq \(AP,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))＋μeq \(AD,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，则eq \r(5)λ＋eq \r(3)μ的最大值为________.
eq \f(\r(10),2) 解析：[建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(eq \r(5)，0)，C(eq \r(5)，eq \r(3))，D(0，eq \r(3)).∵AP＝eq \f(\r(5),2)，∴x2＋y2＝eq \f(5,4).点P满足的约束条件为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤\r(5)，,0≤y≤\r(3)，,x2＋y2＝\f(5,4)，))
∵eq \(AP,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))＋μeq \(AD,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，∴(x，y)＝λ(eq \r(5)，0)＋μ(0，eq \r(3))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(5)λ，,y＝\r(3)μ，))∴x＋y＝eq \r(5)λ＋eq \r(3)μ.∵x＋y≤eq \r(2（x2＋y2）)＝eq \r(2×\f(5,4))＝eq \f(\r(10),2)，
当且仅当x＝y时取等号，∴eq \r(5)λ＋eq \r(3)μ的最大值为eq \f(\r(10),2).]