2024年高中数学新高二暑期培优讲义第04讲 空间向量基本定理 （2份打包，原卷版+教师版）

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题型一：基底的判断
题型二：基底的运用
题型三：正交分解
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【知识点梳理】
知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共面，那么对空间中的任意一个向量 SKIPIF 1 < 0 ，存在唯一的有序实数组 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .其中，空间中不共面的三个向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 组成的集合{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }，常称为空间向量的一组基底.此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都称为基向量；如果 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在基底{ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 }下的分解式.
知识点2：空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 SKIPIF 1 < 0 表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【典例例题】
题型一：基底的判断
例1．已知 SKIPIF 1 < 0 是空间的一组基底，则可以与向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成基底的向量是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共面，故A，B错误；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共面，故C错误；
∵ SKIPIF 1 < 0 是基底，∴不存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共面，故 SKIPIF 1 < 0 可以与 SKIPIF 1 < 0 构成空间的一组基底，故D正确.故选：D.
例2．已知 SKIPIF 1 < 0 是空间的一个基底，则可以与向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成空间另一个基底的向量是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均与向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共面．故选：C
题型二：基底的运用
例3．在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为Q是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为M为PQ的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A.
例4．如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且 SKIPIF 1 < 0 ，用向量 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 为( )

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
题型三：正交分解
例5．设 SKIPIF 1 < 0 为空间的一个标准正交基底， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A．7B． SKIPIF 1 < 0 C．23D．11
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 为空间的一个标准正交基底，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B.
例6．已知 SKIPIF 1 < 0 是空间的一个单位正交基底，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是空间的另一个基底，向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐标为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 在基底 SKIPIF 1 < 0 下的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题
例7．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证EG⊥AB；
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
【解析】(1)证明：连接DE，
因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意得： SKIPIF 1 < 0 均为等边三角形且边长为1，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设异面直线AG和CE所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
例8．已知平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
【过关测试】
一、单选题
1．在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，Q是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且M为PQ的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为Q是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为M为PQ的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
2．在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，M为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列向量中与 SKIPIF 1 < 0 相等的向量是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，M为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，
SKIPIF 1 < 0 .故选：B
3．如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由图形易得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
4．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
二、填空题
5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】根据题意ABCD为正四面体， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两成 SKIPIF 1 < 0 角， SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0
6．如图，已知空间四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则 SKIPIF 1 < 0 ＝________.(用向量 SKIPIF 1 < 0 表示)
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设G为BC的中点，连接EG，FG，
则 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
7．在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的余弦值是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】由题设，可得如下示意图，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
8．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的正方形，侧棱 SKIPIF 1 < 0 的长为2，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 .
(1)将空间向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 用 SKIPIF 1 < 0 表示出来；
(2)求线段BM的长.
【解析】1) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(2)由题可知因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .易得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 .
9．已知在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)求向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.
【解析】(1)在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为空间的一个基底，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由(1)知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值 SKIPIF 1 < 0 .