湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

这是一份湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题，共6页。试卷主要包含了已知向量，满足，，，则等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；
2．请你将自己的姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上；
3．请你在答题卡上作答，做在本试题卷上的答案无效。
一、单选题（每题5分，共8个小题，总计40分）
1．已知，，则“n为偶数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
4．某校高一年级有800名学生选学物理，将某次联考的物理成绩绘制成的频率分布直方图如图所示，则高一年级这次联考的物理成绩位于区间的人数约为（ ）
A．200B．220C．240D．260
5．已知向量，满足，，，则（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，G为△ABC的重心，若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．从1，2，3，4，5，6，7，8中选取6个不同的数，其中恰有3个奇数，且第60%分位数为5，则不同的选择方法共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
二、多选题（每题6分，漏选得部分分，错选得0分，共3个小题，总计18分）
9．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气中的温度是℃，那么t分钟后物体的温度．其中k是一个常数．现有60℃的物体，放在12℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是36℃，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．若，则℃D．若℃，则
11．在正方体中，E，F，G分别为AD，，的中点，H为BG的中点．则下列说法正确的是（ ）
A．平面ABGB．平面ABG
C．AH，互为异面直线D．与平面ABG所成角的正弦值
三、填空题（每小题5分，共3个小题，总分15分）
12．某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为______．
13．设，若为偶函数，则______．
14．已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为______．
四、解答题（见答题卡第15~19题）
三、解答题（第15题13分，第16-17题15分，第18-19题17分，总计77分）
15．已知甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为，甲、乙都破译成功的概率为．求：
（1）乙破译密码成功的概率p；
（2）恰有1人破译成功的概率；
（3）密码破译成功的概率．
16．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为．
（1）求的值；
（2）若是关于x的方程的一个根，求b，c的值；
（3）已知，复数z对应的点为P，且．说明点P的集合是什么图形，并求图形的面积．
17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若，BC边上的中线，求BC边上的高．
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E为BC的中点，且．
（1）求证：；
（2）若四棱锥P-AED的体积为，直线AB与PE所成角为30°，求二面角P-AD-E的正切值．
19．若对，，则称函数为I上的-函数．
（1）设，，若为I上的1-函数，求m的最大值；
（2）若为R上的-函数，求的取值范围；
（3）若，且，均为R上的-函数，求证：也为R上的-函数．
2024年上学期高一期末质量检测
数学参考答案
一、选择题
二、填空题
12．0.213．14．
三、解答题
15．（1）记甲、乙成功破译密码分别记作事件A，B，则，解得．
（2）记恰有1人破译成功为事件C，则
．
（3）记密码破译成功为事件D，则
．
16．（1）因为，所以．
（2）由已知得，也是方程的一个根，根据韦达定理得，
，即，．
（3）记所对应的点为B，，
，点P的集合为△OAB的外接圆．
，，
，即．
于是△OAB的外接圆半径．
故所求图形的面积为．
17．（1）由已知得．
又，
故．
因为，所以，即．
因为，所以．
（2）因为，两边同时平方得，
即，解得．
由余弦定理得，所以．
因为△ABC的面积，
所以．
18．（1）取AD的中点O，∵四边形ABCD是正方形，．
，，EO，平面POE，平面POE．
又平面POE，，．
（2）作于点Q，
平面POE，平面POE，．
又，EO，平面ABCD，
平面ABCD．
由，得．
因为，所以AB，PE所成角为，
故，解得．
因为，，所以∠POE为二面角P-AD-E的平面角．
．即为所求．
19．（1）令
，
由题意知，当时，恒成立．故，解得．
故m的最大值为3．
（2）由题意知，对恒成立．
令，则对恒成立．
当时，因为，所以，矛盾，舍去；
当时，则对恒成立．
所以，解得．
综上可知，的取值范围为．
（3）对，
．
因为，均为函数，且，
所以，
所以也为R上的函数．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
B
C
C
D
A
D
BD
ACD
AB