2025年高考数学一轮复习-第十章-第五节 古典概型与事件的相互独立性-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第十章-第五节 古典概型与事件的相互独立性-课时作业【含解析】，共10页。
1.（多选）下列试验是古典概型的是（ ）
A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
2.（多选）下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有（ ）
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
3.（2024·江苏南京）将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（ ）
A.112 B.13
C.12 D.16
4.（2024·浙江杭州）已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，则P（A＋B）＝（ ）
B.0.9
C.0.7
5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A.112 B.114
C.115 D.118
6.（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A.16 B.13
C.12 D.23
7.（多选）不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，B表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ）
A.PA＝23
B.PB＝118
C.PA＋B＝1318
D.事件A与B相互独立
8.（2024·河北石家庄）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教.若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ）
A.112 B.12
C.13 D.16
9.（2024·上海）2023年杭州亚运会篮球比赛中，运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是 .
10.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496，8 128，33 550 336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为 .
11.（2022·上海卷）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 .
12.甲、乙两名射击运动员进行射击训练，已知甲命中10环、9环、8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环、9环、8环的概率分别是18，14，58，且任意两次射击相互独立.
（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；
（2）现甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率.
[B组 能力提升练]
13.（2024·江苏苏州）已知事件A，B，且PA＝0.4，PB＝0.5.若A与B互斥，令a＝PAB；若A与B相互独立，令b＝PAB，则b＋a＝（ ）
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
14.（2024·山西太原）从1，2，3，4，5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则mn为整数的概率为（ ）
A.25 B.14
C.15 D.425
15.设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为19，则A与B都发生的概率可能为（ ）
A.89 B.23
C.59 D.29
16.（多选）（2024·浙江杭州）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件 A表示：“点数不大于2”，等件 B表示：“点数大于2”，事件 C表示：“点数为奇数”，事件D表示：“点数为偶数”，则下列说法正确的有（ ）
A.PA＋C＝23
B.PAD＝13
C.事件A与D相互独立
D.事件A与B互斥不对立
17.（2024·陕西西安）甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为 .
18.（2024·广东湛江）某同学高考后参加国内两所名牌大学A，B的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这两所大学A，B招生考试的概率分别为x，13，该同学能否通过这两所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中1所大学招生考试的概率为12，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 .
19.甲、乙两人在罚球线投篮命中的概率分别为12与25.
（1）甲、乙两人在罚球线各投篮一次，求恰好命中一次的概率；
（2）甲、乙两人在罚球线各投篮两次，求这四次投篮中至少有一次命中的概率.
2025年高考数学一轮复习-第十章-第五节 古典概型与事件的相互独立性-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.（多选）下列试验是古典概型的是（ ）
A.在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率
答案：BD
解析：A项，在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；
B项，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；
C项，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；
D项，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的.
2.（多选）下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有（ ）
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”
C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
答案：CD
解析：在A中，P（MN）＝0，所以M，N不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在C中，P（M）＝12，P（N）＝12，P（MN）＝14，P（MN）＝P（M）·P（N），因此M，N是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果没有影响，因此M，N是相互独立事件.
3.（2024·江苏南京）将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（ ）
A.112 B.13
C.12 D.16
答案：D
解析：分配方案的总数为C42A33，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有C31A22，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是P＝C31A22C42A33＝16.
4.（2024·浙江杭州）已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，则P（A＋B）＝（ ）
B.0.9
C.0.7
答案：C
解析：因为事件A，B相互独立，故PAB＝PAPB＝0.5×0.4＝0.2，
所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－PAB＝0.5＋0.4－0.2＝0.7.
5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A.112 B.114
C.115 D.118
答案：C
解析：不超过30的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C102＝45种情况，而和为30的有7＋23，11＋19，13＋17这3种情况，所以所求概率P＝345＝115.
6.（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A.16 B.13
C.12 D.23
答案：D
解析：法一（直接法）：从7个整数中随机取2个不同的数共有C72＝21种取法.
如图，所取的2个数互质的取法有3＋4＋2＋3＋1＋1＝14（种），所以这2个数互质的概率为1421＝23.
法二（间接法）：从7个数中任取2个数共有C72＝21种取法，2个数不互质的情况有两种：①从4个偶数中任取2个，有C42＝6种取法；②从偶数和奇数中各取一个，有1种取法，所以2个数不互质的取法有7种，所以取2个数互质的概率为1－721＝23.
7.（多选）不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于3”，B表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5，则（ ）
A.PA＝23
B.PB＝118
C.PA＋B＝1318
D.事件A与B相互独立
答案：AC
解析：对于选项A：因为第二次取出球为3，4，5，6，所以PA＝46＝23，故A正确；
对于选项B：
因为B＝4，1，3，2，2，3，1，4，
所以PB＝46×6＝19，故B错误；
对于选项C：因为AB＝2，3，1，4，
则PAB＝26×6＝118，
所以PA＋B＝PA＋PB－PAB＝23＋19－118＝1318，故C正确；
对于选项D：因为PAB≠PA×PB，所以事件A与B不独立，故D错误.
8.（2024·河北石家庄）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教.若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ）
A.112 B.12
C.13 D.16
答案：C
解析：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n＝C42A33＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m＝A33＋C32A22＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率P＝mn＝1236＝13.
9.（2024·上海）2023年杭州亚运会篮球比赛中，运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是 .
答案：0.3
解析：运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率是P＝0.6×0.5＝0.3.
10.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496，8 128，33 550 336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为 .
答案：25
解析：记5个“完全数”中随机抽出2个为第一组，剩下3个为第二组，则基本事件总数为10.又6和28恰好在第一组有1种情况，6，28和其他3个数中的1个在第二组有3种情况，所以所求概率为1+310＝25.
11.（2022·上海卷）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 .
答案：37
解析：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有C11·C31·C42＋C11·C32·C41种，
而所有的抽取方法共有C84种，故每一类都被抽到的概率为C11·C31·C42＋C11·C32·C41C84＝3070＝37.
12.甲、乙两名射击运动员进行射击训练，已知甲命中10环、9环、8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环、9环、8环的概率分别是18，14，58，且任意两次射击相互独立.
（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；
（2）现甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率.
解：（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X＝18包含“第一次命中10环且第二次命中8环”“第一次命中8环且第二次命中10环”“第一次命中9环且第二次命中9环”这三种情况，所以甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率P＝C21×13×13＋13×13＝13.
（2）记Ai表示甲在第i轮胜利，Bi表示甲在第i轮平局，Ci表示甲在第i轮失败（i＝1，2，3），
则P（Ai）＝13×58＋14＋13×58＝12，P（Bi）＝13，P（Ci）＝16.
①若甲获得最终胜利结束3轮比赛，则第2轮、第3轮甲连续胜利，第1轮甲没有获得胜利，其概率P1＝1－12×12×12＝18；
②若乙获得最终胜利结束3轮比赛，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P2＝1－16×16×16＝5216.
所以经过3轮比赛结束的概率P＝P1＋P2＝18＋5216＝427.
[B组 能力提升练]
13.（2024·江苏苏州）已知事件A，B，且PA＝0.4，PB＝0.5.若A与B互斥，令a＝PAB；若A与B相互独立，令b＝PAB，则b＋a＝（ ）
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
答案：A
解析：因为A，B互斥，所以a＝PAB＝0.
因为A与B独立，PA＝0.4，PB＝0.5，
所以b＝PAB＝PAPB＝（1－0.4）×0.5＝0.3，所以b＋a＝0.3.
14.（2024·山西太原）从1，2，3，4，5这5个数中随机抽取2个数，分别记为m，n，则mn为整数的概率为（ ）
A.25 B.14
C.15 D.425
答案：B
解析：由题意得，从1，2，3，4，5这5个数中随机抽取2个数，则共有下列情况：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（3，2），（4，2），（5，2），（4，3），（5，3），（5，4），共有20种等可能的情况，其中mn为整数的有（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（4，2），5种情况，所以所求概率为520＝14.
15.设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为19，则A与B都发生的概率可能为（ ）
A.89 B.23
C.59 D.29
答案：D
解析：因为A，B是相互独立事件，设A不发生的概率为x，B不发生的概率为y，
则xy＝19，0＜x，y≤1，
所以x＋y＝x＋19x≥2x·19x＝23，当且仅当x＝19x，即x＝y＝13时，等号成立，所以P＝（1－x）（1－y）＝1－（x＋y）＋xy≤49.
16.（多选）（2024·浙江杭州）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件 A表示：“点数不大于2”，等件 B表示：“点数大于2”，事件 C表示：“点数为奇数”，事件D表示：“点数为偶数”，则下列说法正确的有（ ）
A.PA＋C＝23
B.PAD＝13
C.事件A与D相互独立
D.事件A与B互斥不对立
答案：AC
解析：由题意事件A表示出现的点数是1或2；
事件B表示出现的点数是3或4或5或6；
事件C表示出现的点数是1或3或5；
事件D表示出现的点数是2或4或6.
所以A∪C表示出现的点数为1或2或3或5，
则PA＋C＝46＝23，故A正确；
A∩D表示出现的点数为2，则PAD＝16，故B错误；
由PAPD＝26×36＝16＝PAD，得事件A与D相互独立，故C正确；
显然事件A与B互斥且对立，故D错误.
17.（2024·陕西西安）甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为 .
答案：0.8
解析：记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，
由题意可知，PA＝0.7，PA⋃B＝0.94.
因为事件A，B相互独立，所以PAB＝PAPB＝0.7PB.
又PA⋃B＝PA＋PB－PAB＝0.3PB＋0.7＝0.94，所以PB＝0.8.
18.（2024·广东湛江）某同学高考后参加国内两所名牌大学A，B的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这两所大学A，B招生考试的概率分别为x，13，该同学能否通过这两所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中1所大学招生考试的概率为12，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 .
答案：23
解析：∵该同学能否通过这2所大学的招生考试相互独立，
∴该同学恰好能通过其中1所大学招生考试的概率p＝23x＋131－x＝13＋13x＝12，故x＝12，
∴该同学至少通过1所大学招生考试的概率为1－12·23＝23.
19.甲、乙两人在罚球线投篮命中的概率分别为12与25.
（1）甲、乙两人在罚球线各投篮一次，求恰好命中一次的概率；
（2）甲、乙两人在罚球线各投篮两次，求这四次投篮中至少有一次命中的概率.
解：（1）记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则P（A）＝12，P（B）＝25，P（A）＝12，P（B）＝35.
故恰好命中一次的概率为P＝P（A B）＋P（A B）
＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）
＝12×35＋12×25＝510＝12.
（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投篮两次均不命中”的概率为P1，则P1＝P（A A B B）＝P（A）P（A）P（B）P（B）＝1－122×1－252＝9100.故甲、乙两人在罚球线各投篮两次，至少有一次命中的概率为P＝1－P1＝91100.