高考数学一轮复习课时质量评价59古典概型与事件的相互独立性含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量评价59古典概型与事件的相互独立性含答案，共9页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。
1．某校开设a，b，c，d共4门选修课，一个同学从中随机选取2门，则a与b未同时被选中的概率为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(5,6)
D 解析：从a，b，c，d中随机选2门课程的情况有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，其中a，b同时被选中的情况只有一种，即ab，则a，b同时被选中的概率为eq \f(1,6)，所以a，b未同时被选中的概率p＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6)．故选D．
2．(2021·宝鸡期末)甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是0.7，乙能解决这个问题的概率是0.8，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( )
A．0.56 B．0.24
C．0.14 D．0.94
D 解析：因为甲能解决这个问题的概率是0.7，乙能解决这个问题的概率是0.8，所以甲，乙二人都不能解决这个问题的概率是(1－0.7)×(1－0.8)＝0.06，所以至少有一人能解决这个问题的概率是1－0.06＝0.94．故选D．
3．(多选题)从甲袋内摸出1个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋内摸出1个红球的概率是eq \f(1,2)，从甲、乙袋内各摸出1个球，则( )
A．2个球不都是红球的概率是eq \f(1,6)
B．2个球都是红球的概率是eq \f(1,6)
C．至少有1个红球的概率是eq \f(2,3)
D．2个球中恰有1个红球的概率是eq \f(2,3)
BC 解析：A：两个球不都是红球的概率为：1－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,6)，故A错误．B：两个球都是红球的概率为：eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，故B正确．C：至少有一个红球的概率为：eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，故C正确．D：两个球中，恰好有一个红球的概率为：eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，故D错误．故选BC．
4．(2022·南京校级月考)十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是( )
A．eq \f(3,88) B．eq \f(3,44)
C．eq \f(1,20) D．eq \f(9,44)
A 解析：现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，样本点总数n＝Aeq \\al(3,12)＝1 320，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的样本点个数m＝1×2×9＋1×3×9＝45，所以这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是p＝eq \f(m,n)＝eq \f(45,1 320)＝eq \f(3,88)．
5．某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了保留题型、升级题型、创新题型三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为eq \f(4,5)，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率为( )
A．eq \f(112,125) B．eq \f(80,125)
C．eq \f(113,125) D．eq \f(124,125)
A 解析：因为参赛者答对每道题的概率均为eq \f(4,5)，且各次答对与否相互独立，所以该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：p＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\UP12(3)＋Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\UP12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))＝eq \f(112,125)．
6．规定投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少2次投中8环以上为优秀，现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投标未在8环以上，用1表示该次投标在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果，经随机模拟实验产生了如下20组随机数：
101 111 011 101 010 100 100
011 111 110 000 011 010 001
111 011 100 000 101 101
据此估计，该选手投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为( )
A．eq \f(8,125) B．eq \f(117,125)
C．eq \f(81,125) D．eq \f(27,125)
B 解析：总的事件共有20种，3次中至少2次投中8环以上的有：101,111,011,101,011,111,110,011,111,011,101,101，共12种，故投掷飞镖一轮能拿优秀的概率为eq \f(12,20)＝eq \f(3,5)，则投掷飞镖三轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率为1－eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(117,125)．
7．某一大型购物广场有A，B两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶，如果第一天去A店，那么第二天去A店的概率为0.7；如果第一天去B店，那么第二天去A店的概率为0.6．则某人第二天去A店购买奶茶的概率为________．
0.65 解析：某人第二天去“喜茶”店购买奶茶有两种情况．第一种情况：第一天选择去“喜茶”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为0.5×0.7＝0.35．第二种情况：第一天选择去“沪上阿姨”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为0.5×0.6＝0.3．所以某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率为0.35＋0.3＝0.65．
8．2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现有高一63人，高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟按年级采用分层随机抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．
(1)第一期志愿活动需从高一、高二、三报名的学生中各抽取多少人？
(2)现在要从第一期志愿者中的高二、三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽取的两人都是高二学生的概率．
解：(1)根据题意报名的学生共有63＋42＋21＝126人，所以抽样比为eq \f(12,126)＝eq \f(2,21)，
则抽取高一人数为63×eq \f(2,21)＝6；抽取高二人数42×eq \f(2,21)＝4；抽取高三的人数为21×eq \f(2,21)＝2，
(2)记高二抽取的4位学生为a，b，c，d，抽取高三的2位学生为E，F，
则从中抽取2人的样本点为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，E)，(a，F)，(b，c)，(b，d)，(b，E)，(b，F)，(c，d)，(c，E)，(c，F)，(d，E)(d，F)，(E，F)，共15个样本点，其中抽取的两人都是高二学生的有：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个样本点，
所以抽取的两人都是高二学生的概率为eq \f(6,15)＝eq \f(2,5)．
9．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为eq \f(1,2)与p，且乙投球2次均未命中的概率为eq \f(1,16)．
(1)求甲投球2次，至少命中1次的概率；
(2)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．
解：(1)由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
故甲至少命中1次的概率为1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)．
(2)因为乙投球2次均未命中的概率为(1－p)·(1－p)＝eq \f(1,16)，所以p＝eq \f(3,4)．
若甲、乙两人各投球2次，命中3次，
则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．
而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为Ceq \\al(1,2)·eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\UP12(2)＝eq \f(9,32)，
而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为Ceq \\al(1,2)·eq \f(3,4)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\UP12(2)＝eq \f(3,32)，
故两人共命中3次的概率为eq \f(9,32)＋eq \f(3,32)＝eq \f(3,8)．
B组 新高考培优练
10．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A，B，C三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶．若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲、乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(8,27)
C．eq \f(2,9) D．eq \f(1,6)
D 解析：由题意分析：若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，样本点总数n＝Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36，甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的样本点个数m＝Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＝6，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率p＝eq \f(m,n)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)．
11．(2022·汕头二模)交通事故已成为世界性的严重社会问题，加强中小学生交通安全教育具有重要的现实意义，为此，某校举行了一场交通安全知识竞赛，一共有3道难度相当的必答题目，李明同学答对每道题目的概率都是0.6，则李明同学至少答对2道题的概率是( )
A．0.36 B．0.576
C．0.648 D．0.904
C 解析：设李明同学至少答对2道题为事件A，则P(A)＝Ceq \\al(2,3)(0.6)2×0.4＋Ceq \\al(3,3)(0.6)3＝0.648．
故选C．
12．(多选题)根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级．现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分m处(m为正整数)．按这种分法，下列结论正确的是( )
A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是eq \f(3,4)
B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是eq \f(1,4)
C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1
D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是eq \f(1,4)
ACD 解析：由题意可知，5位诸侯分得的领地数成等差数列{an}，设该等差数列的前n项和为Sn．
因为Sn＝50，则有5a1＋eq \f(5×4,2)m＝50，即a1＝10－2m．
因为a1，m均为正整数，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝8，,m＝1，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝6，,m＝2，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝4，,m＝3，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,m＝4，))共四种情况，
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝8，,m＝1))时，有a1＝8，a2＝9，a3＝10，a4＝11，a5＝12，
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝6，,m＝2))时，有a1＝6，a2＝8，a3＝10，a4＝12，a5＝14，
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝4，,m＝3))时，有a1＝4，a2＝7，a3＝10，a4＝13，a5＝16，
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,m＝4))时，有a1＝2，a2＝6，a3＝10，a4＝14，a5＝18，
其中a1，a2，a3，a4，a5分别对应男、子、伯、侯、公分到领地数，
所以为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是eq \f(3,4)．故选项A正确．
为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是1．故选项B错误．
为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1．故选项C正确．
为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是eq \f(1,4)．故选项D正确．
13．袋中有黑球和白球共7个球，已知从中任取2个球都是白球的概率为eq \f(1,7)．现有甲、乙两人从袋中轮流摸球(甲先)，每次摸出1球且不放回，直到摸出白球为止．则袋中原有白球的个数为________，甲摸到白球而终止的概率为________．
3 eq \f(22,35) 解析：从袋中任取两球的试验有Ceq \\al(2,7)个样本点，它们等可能，设袋中有n个白球，则取出两个白球有Ceq \\al(2,n)个样本点，于是得eq \f(C\\al(2,n),C\\al(2,7))＝eq \f(n(n－1),42)＝eq \f(1,7)，解得n＝3，所以袋中原有白球的个数为3；甲摸到白球终止的事件A是甲第一次摸到白球、第三次摸到白球、第五次摸到白球的事件的和，它们互斥，P(A)＝eq \f(3,7)＋eq \f(4,7)×eq \f(3,6)×eq \f(3,5)＋eq \f(4,7)×eq \f(3,6)×eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×1＝eq \f(22,35)，所以甲摸到白球而终止的概率为eq \f(22,35)．
14．某班甲、乙、丙、丁四名同学竞选班委，每个人是否当选相互独立，如果甲、乙两名同学都不当选的概率为eq \f(2,25)，乙、丙两名同学都不当选的概率为eq \f(6,25)，甲、丙两名同学都不当选的概率为eq \f(3,25)，丁当选的概率为eq \f(1,5)，则甲、乙、丙、丁四名同学中恰好有一人当选班委的概率是________．
eq \f(154,625) 解析：设甲、乙、丙、丁当选的事件分别为A，B，C，D，
则P(D)＝eq \f(1,5)，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1([1－P(A)][1－P(B)]＝\f(2,25)，,[1－P(B)][1－P(C)]＝\f(6,25)，,[1－P(A)][1－P(C)]＝\f(3,25)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(P(A)＝\f(4,5)，,P(B)＝\f(3,5)，,P(C)＝\f(2,5).))
因为事件A，B，C，D相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为
P(Aeq \x\t(B) eq \x\t(C) eq \x\t(D))＋P(eq \x\t(A)Beq \x\t(C) eq \x\t(D))＋P(eq \x\t(A) eq \x\t(B)C eq \x\t(D))＋P(eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C)D)
＝P(A)P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))P(eq \x\t(D))＋P(eq \x\t(A))P(B)P(eq \x\t(C))P(eq \x\t(D))＋P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(C)P(eq \x\t(D))＋P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))P(D)＝eq \f(4,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＋eq \f(1,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)×eq \f(4,5)＋eq \f(1,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)×eq \f(1,5)＝eq \f(154,625)．
15．(2022·嘉兴期末)为了深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，某校组织开展“战‘疫’有我，青春同行”防控疫情知识竞赛活动，某班经过层层筛选后剩下甲、乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为i的球有i个(i＝1,2,3)，甲、乙两名同学需从6个球中随机摸取3个球，所取球的标号之和多者获胜．
(1)求甲所取球的标号之和为7的概率；
(2)求甲获胜的概率．
解：(1)假设标号为1的球为a，标号为2的球为b，c，标号为3的球为d，e，f，
则每位同学取球的所有情况为abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def，共20种，
甲取球的标号之和为7的情况为ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，共6种，
所以甲取球的标号之和为7的概率p0＝eq \f(6,20)＝eq \f(3,10)．
(2)由(1)知，每人标号之和为5的概率p1＝eq \f(1,20)，标号之和为6的概率p2＝eq \f(6,20)，标号之和为8的概率p3＝eq \f(6,20)，标号之和为9的概率为p4＝eq \f(1,20)，则甲获胜的概率p＝eq \f(6,20)×eq \f(1,20)＋eq \f(6,20)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,20)＋\f(6,20)))＋eq \f(6,20)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,20)＋\f(6,20)＋\f(6,20)))＋eq \f(1,20)×eq \f(19,20)＝eq \f(145,400)＝eq \f(29,80)．
16．有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合．每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球．甲、乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲、乙两队输赢球的概率都相等．
(1)在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率；
(2)比赛进入决胜局，两队得分均为25分，在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲、乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利．求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率．
解：(1)甲得1分有两种情况：①甲第一局赢，第二局输，第三局随意．概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)．
②甲第一局输，第二局乙输，第三局甲赢．概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)．
所以甲队得1分的概率为eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＝eq \f(3,8)．
(2)甲队在第四回合获得比赛胜利的情况：①第一局甲赢，第二局甲输，第三局乙输，第四局甲赢．
②第一局甲输，第二局乙输，第三局甲赢，第四局甲赢．
根据分类可求得甲队在第四回合获得比赛胜利的概率为2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\UP12(4)＝eq \f(1,8)．