2023-2024学年河北省石家庄市藁城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市藁城区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次根式 x−3中x的取值可以是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.在 15、 1.5、 40、 13中，最简二次根式有( )个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.若一次函数y=x+b的图象经过点(−1,2)，则该图象一定不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，若S1=3，S2=7，则BC的长为( )
A. 4
B. 2
C. 5
D. 3
5.如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE=3，DF=1，则边BC的长为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
6.右表是某中学阳光社团40名志愿者的年龄分布统计表.对于a、b取不同的值，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
A. 平均数、众数B. 中位数、平均数C. 众数、中位数D. 平均数、方差
7.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图(1)所示的菱形，并测得∠B=60°，接着活动学具成为图(2)所示的正方形，并测得对角线AC=10 2，则图(1)中菱形的对角线BD长为( )
A. 10B. 20C. 10 2D. 10 3
8.如图，在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是( )
A. C1
B. C2
C. C3
D. C4
9.如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是( )
A. 4
B. 2 3
C. 7
D. 5
10.如图，一次函数y=kx+b的图象经过平面直角坐标系中四个点：A(1,1)，B(3,2)，C(2,3)，D(1,3)中的任意两个.则符合条件的k的最大值为( )
A. 4
B. 2
C. 1
D. −2
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.化简： 6 2=______．
12.若最简二次根式 a能与 28合并，则a= ______．
13.方差是刻画数据波动程度的量.对于一组数据x1，x2，⋯，x15，可用如下算式计算方差：s2=115[(x1−5)2+(x2−5)2+⋯+(x15−5)2]，则这组数据的平均数是______
14.在一次引体向上测试中，某小组8名男生的成绩分别为：13，9，a，11，7，11，8，9，若这组数据的唯一众数为11，则这组数据的中位数为______．
15.已知直线y=−2x+1向下平移2个单位后经过点(n,−3)，则n的值为______．
16.如图，一根橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标(0,0)，B点坐标(8,0)，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了______cm．
17.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示，则y1>y2的解集是______．
18.如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AE，若AD=DE，∠AEB=105°，则∠BAE的度数为______°.
19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为斜边BC上的一个动点，过P分别作PE⊥AB于点E，作PF⊥AC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为______．
20.如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间t(s)之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为______秒.
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
化简：
(1) 8−2 12+ 32；
(2)(3+ 2)(3− 2)− 24÷ 6．
22.(本小题8分)
某校在七、八年级举行了“食品安全知识测试”比赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的比赛成绩(百分制)，测试成绩整理、描述和分析如下：(成绩得分用x表示，共分成四组：A.80⩽x<⩽x<⩽x<95，D.95⩽x<100
七年级10名学生的成绩数据是：96.83，96，87，99，96，90，100，89，84．
八年级10名学生成绩数据中，在C组中的是：94，90，92
七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次比赛中哪个年级成绩更稳定，并说明理由；
(2)求出统计图中a的值以及表格中b的值；
(3)该校七年级共860人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀(x⩾90)的七年级学生人数是多少？
23.(本小题6分)
如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形．
24.(本小题9分)
如图，每个小正方形的边长都是1．
(1)∠ABC= ______°；
(2)求四边形ABCD的面积与周长．
25.(本小题9分)
如图，AE/​/BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AC=12，BD=16，求平行线AE与BF间的距离．
26.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A和B，一次函数y=−x+5与x轴，y轴分别交于点C和D，这两个函数图象交于点P．
(1)求P点坐标；
(2)求△PBC的面积；
(3)设点E在x轴上，且与C，D构成等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．
27.(本小题10分)
一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1000米.甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行.图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象．
(1)求OA所在直线的表达式；
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
答案解析
1.D
【解析】解：依题意，得x−3≥0，
解得：x≥3．
∴二次根式 x−3中x的取值可以是3．
故选：D．
2.A
【解析】解：二次根式中只有 15被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式．
故选：A．
3.D
【解析】解：∵y=x+b经过点(−1,2)，
∴将(−1,2)代入y=x+b得：−1+b=2，
解得：b=3，
∴y=x+3，
∴该函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
代入点(−1,2)求出b，再根据一次函数的性质，即可得到该函数图象不经过哪个象限．
4.B
【解析】解：由题意可知：
∴S1=AC2，S2=AB2．
∵S1=3，S2=7，
∴AC2=3，AB2=7．
∵∠ACB=90°，
∴BC= AB2−AC2= 7−3=2．
故选：B．
5.B
【解析】解：∵EF是△ABC的中位线，AE=3，
∴EF/​/BC，BC=2EF，BE=AE=3，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=BE=3，
∵DF=1，
∴EF=ED+DF=3+1=4，
∴BC=8，
故选：B．
6.C
【解析】解：由题意知，a+b=40−(11+19)=10，
所以这组数据中第20、21个数据均为13岁，
所以这组数据的中位数为13+132=13(岁)，
这组数据中13岁出现19次，次数最多，
所以这组数据的众数为13岁，
所以关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：C．
7.D
【解析】解：在正方形ABCD中，∠B=90°，
∴AB2+CB2=AC2，
∵AB=CB，AC=10 2，
∴2AB2=(10 2)2，
∴AB=10，
在菱形ABCD中，AB=CB=10，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=10，
如图(1)，连接BD交AC于点O，
∴AC⊥BD，∠ABO=30°，
∴OA=12AB=5，
∴OB= 3OA=5 3，
∴BD=2OB=10 3，
故选：D．
8.D
【解析】解：AB2=10，AC12=5，BC12=5，
∴AB2=AC12+BC12，
∴△ABC1是直角三角形，
∵AC22=10，AB2=10，BC22=20，
∴BC22=AC22+AB2，
∴△ABC2是直角三角形，
∵AB2=10，AC32=20，BC32=10，
∴AC32=AB2+BC32，
∴△ABC3是直角三角形，
∵AC42=16，BC42=18，AB2=10，
∴BC42≠AC42+AB2，
∴△ABC4不是直角三角形，
所以△ABC2，△ABC3，△ABC1是直角三角形，但△ABC4不是直角三角形，
故选：D．
9.C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD=2，
∵E是BC的中点，
∴BE=12BC=1，
∵AE=2，
∴AB= AE2−BE2= 3，
∴AC= AB2+BC2= 7．
故选：C．
10.B
【解析】解：由题知，
当一次函数y=kx+b的图象经过点A和点B时，
k+b=13k+b=2，
解得k=12b=12，
所以k的值为12．
同理可得，
当一次函数y=kx+b的图象经过点A和点B时，k的值为2；
当一次函数y=kx+b的图象经过点B和点C时，k的值为−1；
当一次函数y=kx+b的图象经过点B和点D时，k的值为−12；
因为2>12>−12>−1，
所以k的最大值为2．
故选：B．
11. 3
【解析】解：原式= 6× 2 2× 2=2 32= 3．
故答案为 3．
12.7
【解析】解： 28=2 7，
且最简二次根式 a能与 28合并，
故a=7，
故答案为：7．
13.5
【解析】解：由题意知，这组数据共15个，数据的平均数为5．
故答案为：5．
14.10
【解析】解：∵数据13，9，a，11，7，11，8，9的唯一众数为11，
∴a=11，
则这组数据为：7，8，9，9，11，11，11，13，
所以这组数据的中位数为9+112=10，
故答案为：10．
15.1
【解析】解：直线y=−2x+1向下平移2个单位长度得到的直线为y=−2x+1−2=−2x−1，
把点(n,−3)代入y=−2x−1得：−3=−2n−1，
解得n=1，
故答案为：1．
16.2
【解析】解：在Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD=BD= AC2+CD2= 42+32=5cm
∴AD+BD−AB=5+5−8=2cm
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案是：2．
17.x>5
【解析】解：观察函数图象得x>5时，一次函数y1=4x+5的图象在函数y2=3x+10的图象的上方，
故y1>y2的解集是x>5．
故答案为：x>5．
18.45
【解析】解：∵∠AEB=105°，
∴∠AED=75°，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠EAD=75°，
∴∠ADB=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴∠BAE=∠AED−∠ABD=45°，
故答案为：45．
19.125
【解析】解：连接AP，如图1所示：
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
∵点P为斜边BC上的一个动点，
∴线段EF的最小值为线段AP的最小值，由点P到直线BC的距离中垂线段最短，过A作AP⊥BC，如图2所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，则由勾股定理可得BC= AB2+AC2= 32+42=5，
∴由等面积法可得S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AP，即3×4=5AP，解得AP=125，
故答案为：125．
20.15
【解析】解：设y与t的关系式为y=kt+b(k、b为常数，且k≠0)．
将坐标(10,0)和(12,4)代入y=kt+b，
得10k+b=012k+b=4，
解得k=2b=−20，
∴y与t的关系式为y=2t−20(t≥10)．
当注满水杯时y=10，
∴2t−20=10，
解得t=15．
故答案为：15．
21.解：(1) 8−2 12+ 32
=2 2− 2+4 2
=5 2；
(2)(3+ 2)(3− 2)− 24÷ 6
=9−2− 246
=7− 4
=7−2
=5．
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先根据平方差公式计算出各数，再由二次根式混合运算的法则进行计算即可．
22.解：(1)七年级成绩更稳定，
理由如下：∵七年级成绩的方差为34.4，八年级成绩的方差为50.4，
∴七年级成绩的方差小于八年级成绩的方差，
∴七年级成绩更稳定；
(2)∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%=30%，
∴a%=1−(20%+10%+30%)=40%，即a=40；
八年级A、B组人数共有10×(10%+20%)=3(人)，
∴八年级成绩的第5、6个数据分别为92，94，
所以八年级中位数b=92+942=93，
(3)860×610=516(人)．
答：估计参加此次比赛成绩优秀的七年级学生人数是516人．
【解析】(1)根据方差的意义求解即可；
(2)用八年级C组人数除以总人数可得其所占百分比，根据中位数的定义可得b的值；
(3)总人数乘以样本中七年级成绩优秀人数所占比例即可．
23.证明：连接AC，设AC与BD交于点O.如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC，OC=OD，再证得OE=OF，即可得出结论．
24.90
【解析】解：(1)如图：连接AC，
∵AB2=22+42=20，BC2=22+12=5，AC2=32+42=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°；
故答案为：90；
(2)四边形ABCD的面积为4×5−12×2×4−12×2×1−12×1×3−1×1=25−4−1−2−1=12.5，
∵AB= 22+42=2 5,BC= 5,DC= 32+12= 10,AD=5，
∴周长为2 5+ 5+ 10+5=3 5+ 10+5．
(1)利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；
(2)利用分割法求出四边形的面积，利用勾股定理求出各条边长即可求出周长．
25.(1)证明：∵AE/​/BF，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA．
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，
∴∠BAC=∠BCA，∠ABD=∠ADB，
∴AB=BC，AB=AD，
∴AD=BC．
∵AD/​/BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：如图，过点D作DG⊥BF于点G，

∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，OC=12AC=6，OB=12BD=8，
由勾股定理得，BC= OC2+OB2=10，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=DG⋅BC，
∴12×12×16=DG×10，
解得，DG=485，
∴平行线AE与BF间的距离为485．
【解析】(1)由平行线，角平分线可得∠BAC=∠BCA，∠ABD=∠ADB，则AB=BC，AB=AD，AD=BC，进而可证结论；
(2)如图，过点D作DG⊥BF于点G，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，OC=12AC=6，OB=12BD=8，由勾股定理得，BC=10，根据S菱形ABCD=12AC⋅BD=DG⋅BC，计算求解即可．
26.解：(1)由y=2x+2y=−x+5得：x=1y=4，
∴点P的坐标为(1,4)；
(2)∵一次函数y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A和B，
∴点A(−1,0)，B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
∵一次函数y=−x+5与x轴交于点C，
∴点C(5,0)，
∴OC=5，
∴AC=6，
∴S△PBC=S△PAC−S△ABC=12×6×4−12×6×2=6；
(3)∵一次函数y=−x+5与x轴，y轴分别交于点C和D，
∴C(5,0)，D(0,5)，
∴CD= 52+52=5 2，
当DE=CE时，E(0,0)；
当DE=DC时，E(−5,0)；
当DC=CE时，E(5+5 2,0)或(5−5 2,0)，
∴符合条件的点E的坐标为：(0,0)或(−5,0)或(5+5 2,0)或(5−5 2,0)．
【解析】(1)解析式联立，解方程组即可求得P点的坐标；
(2)由直线解析式求得A、B、C的坐标，然后根据S△PBC=S△PAC−S△ABC求得即可；
(3)求得D的坐标，进而求得CD的长，分三种情况讨论即可求得．
27.解：(1)由图象可知，OA所在直线为正比例函数，
∴设y=kx，
∵A(5,1000)，
1000=5k，k=200，
∴OA所在直线的表达式为y=200x．
(2)由图可知甲机器人速度为：1000÷5=200(米/分钟)，
乙机器人速度为：1000÷10=100(米/分钟)，
两人相遇时：1000100+200=103(分钟)，
答：出发后甲机器人行走103分钟，与乙机器人相遇．
(3)设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为200t，
则乙机器人(t+1)分钟后到P地，P地与M地距离1000−100(t+1)，
由200t=1000−100(t+1)，解得t=3，
∴200t=600，
答：P，M两地间的距离为600米．
【解析】(1)利用待定系数法，将(5,1000)代入解析式中，求出答案；
(2)俩机器人相向而行，同时出发，相遇时两人路程应为MN的长度，列出方程即可；
(3)设甲到P地时间为t分钟，乙到P地时间为(t+1)分钟，分别求出两人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案．年龄(岁)
12
13
14
15
频数(名)
11
19
a
b
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
93
96
34.4
八年级
92
b
100
50.4