江西省吉安市吉州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份江西省吉安市吉州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1. 在，0，，1中最小的数是（）
A. B. 0C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于负数，两个负数比较绝对值大的反而小即可得出答案．
解：，
，
，
则最小的数是，
故选：A
2. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握中心对称图形与轴对称图形定义，根据中心对称图形与轴对称图形的定义进行判断即可．
解：A、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
3. 若有意义，则x的值不可能是（）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数得出，从而得出a的取值范围，即可得解．
】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴x不可能是1．
故选：D．
4. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解和完全平方公式，掌握完全平方公式是解答本题的关键．直接根据完全平方公式逐项排查即可．
解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意，
B、 不能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
C、，符合题意，
D、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意．
故选C．
5. 将分式中的a与b的值，都扩大为原来的两倍，则这个分式的值将（）
A. 不变B. 缩小为原来的
C. 扩大为原来的2倍D. 缩小为原来的
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，进行化简后，判断即可．
解：由题意，得：；
∴分式的值缩小为原来的；
故选B．
6. 已知下列命题：
①若＞1，则a＞b；
②若a+b=0，则|a|=|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
解：∵当b＜0时，如果＞1，那么a＜b，∴①错误；
∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误；
∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确；
∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个，
故选A．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
．
故答案为：．
8. 已知一次函数的图像与x轴交于点与y轴交于点，不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，当时，，即可求出答案．
解：∵一次函数的图像与x轴交于点与y轴交于点，
∴y随x的增大而减小，且时，，
当时，，即，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
9. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到x的值，代入整式方程进行求解．
解：去分母，得：，
∵方程有增根；
∴，
∴，代入整式方程得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程．解题的关键是掌握增根的定义：使整式方程成立，分式无意义的未知数的值，是解题的关键．
10. 把一次函数的图像向左平移3个单位后得到的函数解析式的一般式为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
解：将一次函数的图像向左平移3个单位长度后，其对应的函数关系式为，
故答案为：．
11. 如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据中心对称的性质AD=DE及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．
∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝，
故答案为．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用．
12. 有一张三角形纸片，，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则的度数为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
解：由题意知与均为等腰三角形，
对于可能有①，此时，
∴，
故对于只有
∴，
②，此时，
∴，
故对于只有
∴，
③，此时，，
∴，
故对于只有
∴，
综上所述，度数可以为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
三、解答题（本大题5小题，每小题6分，共30分）
13. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．分别求出两个不等式的解集，即可求解．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
把解集在数轴上表示出来如下：
14. 先化简：，并在1、、0、2四个数中选择一个适合的数作为x的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的除法运算及化简求值，先化简计算，再选取合适的值代入计算即可．
解：
，
，
当时，．
15. 如图，在中，，将向右平移一定距离后，得到，且E为的中点，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，作出平分线；
（2）在图2中，作一个以C为顶点直角（已知直角除外）
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线及作垂线，
（1）尺规作出的平分线即可；
（2）尺规过点C作垂线即可；
【小问1】
解：的平分线即为所求；
【小问2】
即为所求作直角．
16. 有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得
解：原式
请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】此题考查利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底，后三项一组符合完全平方公式特征，再用平方差公式分解即可．
解：
．
17. 为迎接新中国成立75周年，某校组织八年级学生乘车前往距学校231千米的“红色故都”瑞金市参观学习．八（2）班因事耽搁，比八（1）班晚半小时出发，为了赶上八（1）班，八（2）班车速是八（1）班车速的1.2倍，两班同时到达．求八（1）班的车速是多少？
【答案】一班的平均车速是77千米/时
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系．设一班的平均车速是，则二班的平均速度是，再根据题意：一班用时比二班用时多半小时，列出方程即可．
解：设一班的平均车速是，则二班的平均速度是，
根据题意：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
答：一班的平均车速是77千米/时．
四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图在中，是中的角平分线，，点E是边的中点，如果，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，以及等腰三角形的判定和性质．延长交于点F，可证明，从而得出，利用三角形的中位线定理，从而得出的长．
解：延长交于点F，
平分，，
，，
为公共边，
∴，
，
，
，
点是边的中点，
．
19. 观察下面的变形规律：
解答下面问题：
（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想_____．
（2）计算：
（3）计算：
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，熟练掌握与运用对相应的运算法则是解答的关键．
（1）分析所给的等式的形式，猜想规律即可解答；
（2）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答；
（3）利用（1）所得的规律对代数式进行变形即可解答．
【小问1】
解：∵；；；
猜想．
故答案为：．
【小问2】
解：
．
【小问3】
解：
．
20. 如图，直线：与直线：交于点，与x轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）求直线和直线的表达式；
（2）点P是y轴上一点，点Q是直线上一点，以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且，求点Q的坐标．
【答案】（1）直线：；直线：
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点C坐标，设设，，根据平行四边形的性质，分为对角线和为对角线两种情况求解即可．
【小问1】
解：将代入中，得，则，
∴直线：；
将代入中，得，则，
∴直线：；
小问2】
解：令，则，∴，
设，，
如图，∵，
∴点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况：
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，则，
∴；
若为对角线，则平行四边形中，，
解得，则，
∴，
综上，满足条件的点Q坐标为或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21. 某超市采购了两种网红冰淇淋，已知购进盒冰淇淋和盒冰淇淋共需元，购进盒冰淇淋和盒冰淇淋共需元．
（1）求每盒冰淇淋、冰淇淋的进价各需多少钱？
（2）如果该超市共购进两种冰淇淋共盒，且总费用不超过元，并按照每盒冰淇淋元，每盒冰淇淋元的售价全部售出，那么该超市购进多少盒A冰淇淋获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每盒冰淇淋的进价需元，冰淇淋的进价需元；
（2）该超市购进盒冰淇淋获得利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】（）设每盒冰淇淋的进价需元，冰淇淋的进价需元，根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（）根据题意可以写出利润与的函数关系式，然后根据的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值；
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
【小问1】
解：设每盒冰淇淋的进价需元，冰淇淋的进价需元，
由题意得：，解得：，
答：每盒冰淇淋的进价需元，冰淇淋的进价需元；
【小问2】
设该超市购进盒冰淇淋，则购进盒冰淇淋，利润为元，
由题意得：，解得，
，
∵随的增大而增大，
∴当时，取最大值，此时（元），
答：该超市购进盒冰淇淋获得利润最大，最大利润是元．
22. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点，点B为y轴上一动点，如图以为边在其一侧作等边三角形，连接．
（1）求证：；
（2）当点B在y轴上运动时，点C的运动轨迹是一条直线，延长交y轴于点，求点C所在直线的解析式；
（3）连接，请直接写出的最小值．
【答案】（1）见解析（2）
（3）的最小值为6，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式及轴对称的性质，
（1）直接证明即可证明结论；
（2）当点B与点O重合时，点C与点D重合，求出此时点C坐标；当点C运动到y轴负半轴时且C位于x轴上时，求出此时点C坐标；再用待定系数法求一次函数表达式即可；
（3）证明直线是的中垂线，得出，从而得出点三点共线时，最小，并求出最小值即可；
【小问1】
证明：和都为等边三角形，
，
，
，
；
【小问2】
，
如图1，当点B与点O重合时，点C与点D重合，此时点C坐标为，
如图2，当点C运动到y轴负半轴时且C位于x轴上时，
，，
，
设点C所在直线的解析式为，把，代入，
，
解得：，
；
【小问3】
的最小值为6，理由如下：
如图3，，
点D 为中点，
直线是的中垂线，
点C在直线上运动，所以点三点共线时，最小，
最小值为，即的最小值为6．
六、解答题（本大题共12分）
23. 【情景感知】
（1）如图①，在正方形中，绕着点B旋转，与交于点E，与交于点F，连接，如果，请直接写出三条线段之间的数量关系为______
（2）如图②，在四边形中，，绕B点旋转．它的两边分别交于E、F．上述问题（1）中的结论是否仍然成立？______（填“成立”或“不成立”）
【探究发现】
（3）如图③，在四边形中，，绕B点旋转．它的两边分别交于E、F．上述中的结论是否仍然成立？并说明理由；
【拓展应用】
（4）今年的5月1日，我国第三艘航母“福建舰”开启首次海试，我国东海舰队派出现代级驱逐舰“杭州舰”为其护航．如图所示，“福建舰”在指挥中心（O处）北偏西的A处．“杭州舰”在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，“福建舰”向正东方向以30海里/小时的速度前进，同时“杭州舰”沿北偏东的方向以35海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到“福建舰”、“杭州舰”两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心雷达观测两舰艇之间的夹角．试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）；（2）成立；（3）成立；理由见解析；（4）130海里
【解析】
【分析】（1）延长到点G，使，连接，可证明，可得，再根据，可得，然后证明，可得，即可；
（2）延长到点G，使，连接，可证明，可得，再根据，可得，然后证明，可得，即可；
（3）延长到点G，使，连接，可证明，可得，再根据，可得，然后证明，可得，即可；
（4）连接，延长相交于点G，根据题意可得，，可得符合（3）中的条件，再由（3）的结论，即可求解．
（1）解：如图，延长到点G，使，连接，
在正方形中，，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
（2）解：如图，延长到点G，使，连接，则，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：成立
（3）结论成立，理由如下：
如图，延长到点G，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（4）连接，延长相交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴符合（3）中的条件，
由（3）得：，
由题意得：海里/小时，海里/小时，
∴（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为130海里．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．