2024年暑假初升高衔接数学讲义学案 第17讲 几种特殊的三角形

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————初中知识回顾————
等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一，因而在等腰中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上．
正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心．
图3.2-15
————高中知识链接————
等腰三角形、等边三角形均有“三线合一”、“四心合一”的性质
直角三角形中，斜边上的直线必为斜边的一半
在有角的直角三角形中，角所对的直角边必为斜边的一半
【经典题型】
初中经典题型
1、在中，
求：(1)的面积及边上的高；
(2)的内切圆的半径；
(3)的外接圆的半径．
2、如图，在中，AB=AC，P为BC上任意一点．求证：．
3、已知等边和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，的高为，“若点P在一边BC上，此时，可得结论：．”
高中经典题型
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论的个数是( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．
(1)如图1，求证：△BCE≌△DCE；
(2)如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．
①求证：DE⊥FG；
②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长．
3．如图，在菱形纸片ABCD中， ，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点分别在边上，则的值为______ ．
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．已知：在中，AB=AC，为BC边上的高，则下列结论中，正确的是( )
A． B． C． D．
2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为( )
A．6 B．4．5 C．2．4 D．8
3．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________．
4．已知:是的三条边，，那么的取值范围是_________．
5．若三角形的三边长分别为1、a、8，且是整数，则的值是_________．学科*网
6．如图，等边的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则的周长为( )
A． B． C． D．
7．如图，在中，，BD是边AC上的高，求的度数．
3．如图，，M是AC的中点，AM=AN，MN//AB，求证：MN=AB．
4．如图，在中，AD平分，AB+BD=AC．求的值．
5．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且，
求证：．
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，点O是AB上一点，⊙O过点B且与AC相切于点E，交BD于点G，交AB于点F．
(1)求证： BE平分∠ABD；
(2)当BD=2，sinC=时，求⊙O的半径．
2．如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED＝EC．
(1)当点E为AB的中点时(如图1)，则有AE DB(填“＞”“＜”或“＝”)；[来源:学*科*网Z*X*X*K]
(2)猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
3．如图，平面直角坐标系中有等边△AOB，点O为坐标原点，OB＝2，平行于x轴且与x轴的距离为1的线段CD分别交y轴、AB于点C，D．若线段CD上点P与△AOB的某一顶点的距离为，则线段PC(PC＜2．5)的长为____________．
4．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 ．
5．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是 (填序号)