云南省玉溪市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份云南省玉溪市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共22页。
注意事项：
1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效。
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式定义，涉及二次根式性质化简等知识，由最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键．
解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，则不是最简二次根式，不符合题意；
C、，则不是最简二次根式，不符合题意；
D、，则不最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）
A. 1，3，4B. 1，1，C. 13，14，15D. 3，4，5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，逐项验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
解：A、，不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 如图，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，平行线的判定等知识，由题中四个选项，结合平行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案，熟记平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
解：A、，
四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
B、由平行四边形的判定定理，，无法确定四边形是平行四边形，选项符合题意；
C、由平行四边形的判定定理，，确定四边形是平行四边形，选项不符合题意；
D、，
，
四边形是平行四边形，该选项不符合题意；
故选：B．
4. 下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，根据二次根式混合运算，涉及同类二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式除法、二次根式性质化简、二次根式定义逐项验证即可得到答案．
解：A、由于不是同类二次根式，不能合并，则错误，不符合题意；
B、由二次根式除法运算法则可知，选项计算错误，不符合题意；
C、由二次根式性质可知，选项计算正确，符合题意；
D、由二次根式定义，被开方数非负，故表示错误，不符合题意；
故选：C．
5. 清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数图象表示实际问题，根据题中描述，结合选项即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键．
解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是
故选：C．
6. 在“课后延时”活动中，体育兴趣小组选出人数相等的甲、乙两班学生参加了一分钟跳绳测验，两班的平均数相同，方差分别为，那么成绩较为整齐的是（）
A. 两班一样整齐B. 甲班C. 乙班D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查方差的定义及运用方差做决策，根据方差越大波动越大、方差越小波动越小即可得到答案，熟记方差定义是解决问题的关键．
解：两班的平均数相同，方差分别为，
由可得甲班的成绩较为整齐，
故选：B．
7. 已知正比例函数的图象经过点，则的值为（）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正比例的图象与性质，涉及解一元一次方程等知识，根据题意，将代入解方程即可得到答案．
解：正比例函数的图象经过点，
，解得，
故选：B．
8. 矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是（ ）
A. 互相平分B. 互相垂直C. 相等D. 任何一条对角线平分一组对角
【答案】A
【解析】
【分析】因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．
解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选A．
故选A．
【点睛】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
9. 正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定，由此可以推知一次函数的图象的大致情况．
∵正比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，且经过第一、三象限．
观察选项，只有A选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
10. 2024年4月23日是第29个世界读书日．某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占进行计算，某选手这三项的得分依次为80，95，80，则这位选手的最后得分是（）
A. 86B. 85.5C. 86.5D. 88
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的定义求解即可．
解：由题意得，，
故选：A．
11. 估算﹣1的值在( )
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】B
【解析】
【分析】先估算出的范围，再求出−1的范围，再得出选项即可．
∵3＜＜4，
∴2＜−1＜3，
即−1在2和3之间，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
12. 学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图2甲）
②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为6米（如图乙）．
设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，在中，由勾股定理可得，数形结合是解决问题的关键．
解：如图所示：
设旗杆的高度为米，
米，米，
根据以上信息，在中，由勾股定理可得，
故选：D．
13. 如图，在矩形中，是对角线，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点，连接，则的度数是（）
AB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由矩形性质得到，由尺规作图-垂直平分线，结合垂直平分线的判定与性质，在中，得到，最后利用邻补角定义求解即可得到答案．
解：如图所示：
在矩形中，是对角线，，则，
由题意可知，直线是线段的垂直平分线，
，
在中，，则，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形性质、尺规作图-垂直平分线、垂直平分线的判定与性质、邻补角定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键．
14. 如图，直线与直线相交于点，直线与x轴交点的横坐标分别是，2，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本考查利用图象法解不等式，直线在x轴上方、直线下方部分对应的x的取值范围，即为不等式的解集．
解：由图象可得，当时，直线在x轴上方且在直线下方，
因此不等式的解集为．
故选D．
15. 如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点重合），过点分别作于点、于点，连接，则的最小值为（）
A. B. 4C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的判定与性质得到，进而有，再由正方形性质得到，则，由动点最值问题，结合两点之间线段最短即可得到，当三点共线时由最小值为线段，在中，由勾股定理求解即可得到答案．
解：在正方形中，，
过点分别作于点、于点，连接，
四边形是矩形，则，
，
，为定点，为对角线上一动点（不与点重合），
由正方形性质，作点关于的对称点，为，连接，如图所示：
，则，
由动点最值问题，结合两点之间线段最短即可得到，当三点共线时有最小值为线段，
在中，，，，则由勾股定理可得，
的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及正方形性质、矩形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，熟记动点最值问题的解题方法是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分）
16. 要使二次根式有意义，实数x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
解：由题意，得，
解得：．
故答案为：．
17. 如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、数轴上点表示无理数等知识，在网格中由勾股定理求出，结合尺规作图得到，即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长的求法及数轴上点表示的无理数是解决问题的关键．
解：在的正方形网格，，
以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，
，即点在数轴上表示的数为，
故答案为：．
18. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟记直线解析式平移的规律：“上加下减，左加右减”是解题的关键．
利用平移时的值不变，只有发生变化，由上加下减求解即可．
解：将直线向上平移2个单位长度，
平移后的直线所对应的函数解析式为，
即．
故答案为：．
19. 如图，在中，，D，E，F分别为，，的中点，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算即可．
在中，，D为的中点，
E，F分别为，的中点，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分62分）
20. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式的除法，再进行加减计算即可．
解：原式
．
21. 如图，已知，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定．利用证明三角形全等即可．掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
证明：，
，即，
在和中
，
．
22. 某同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同碗尽可能多地放入内侧高为的柜子里．她把碗按下图那样整齐地叠放成一摞（如图），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里该同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度（单位：厘米）随着碗的个数（单位：个）的变化而变化，记录的数据如下表：
（1）直接写出与的函数解析式（也称关系式）（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）帮该同学算一算，放进柜子里的一摞碗最多能叠多少个？
【答案】（1）
（2）个
【解析】
【分析】本题考查一次函数及一元一次不等式解实际问题，读懂题意，由待定系数法确定函数关系，由题意列不等式求解是解决问题关键．
（1）由表中数据可知，与的函数关系是一次函数，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）根据柜子高度为，列不等式，结合实际意义即可得到答案．
【小问1】
解：设与的函数解析式为，将、代入得，解得，
与的函数解析式；
小问2】
解：柜子内侧高为，
，解得，
答：放进柜子里的一摞碗最多能叠个．
23. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心由长征二号F遥十八运载火箭成功发射升空此次发射展现了中国在载人航天领域的雄厚实力和创新成就．某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，开展了航天知识答题竞赛活动，现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，单位：分），共分成四个组：
（A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：68，72，75，81，83，83，88，92，93，95．
八年级10名学生的竞赛成绩分布如图扇形图所示，其中在C组的数据是：84，88，83．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生扇形统计图
（1）直接写出___________，___________，___________；
（2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由．
【答案】（1）40，83，86
（2）八年级学生的竞赛成绩更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先利用减去其他组所占比例求得m的值，再根据众数和中位数的定义求解a、b的值；
（2）利用众数与中位数进行分析即可．
【小问1】
解：由图可得，，
∵七年级10名学生的竞赛成绩中，83出现2次，出现的次数最多，
众数，
由题意得，把八年级10名学生的竞赛成绩从小到大的顺序排列，处于中间的两个数是84、88，
∴中位数，
故答案为：40，83，86；
【小问2】
解：八年级学生的竞赛成绩更好，理由如下：
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，八年级抽取的学生竞赛成绩的众数与中位数大于七年级的众数与中位数．
【点睛】本题考查中位数与众数、用扇形统计图求某项的百分比，熟练掌握中位数与众数的意义是解题的关键．
24. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点，其两点间的距离公式．当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或．
（1）已知、，则两点间的距离为___________；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
【答案】（1）
（2）是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由两点坐标特征得到轴，再由材料中当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或列式求解即可得到答案；
（2）由两点间的距离公式，结合求出三角形三边长度，再由勾股定理的逆定理得到，即可得到答案．
【小问1】
解：、的纵坐标相等，则轴，
当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或可知A、B两点间的距离为，
故答案为：；
【小问2】
解：是直角三角形．
理由如下：
两点间的距离公式，，
；；；
，
是直角三角形，且．
【点睛】本题考查阅读理解，涉及两点距离公式、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、二次根式性质等知识，读懂题意，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
25. 如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质、角平分线的定义得出，根据等腰三角形的判定与性质得到，进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质，结合勾股定理求出，利用等面积法列式求解即可得到答案．
【小问1】
证明：，
，
平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2】
解：四边形是菱形，
，，
，
在中，由勾股定理可得，则，
菱形的面积为，
过点作交的延长线于点，
由等面积法可得，解得．
【点睛】本题考查菱形综合，涉及平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、菱形面积公式、等面积法求线段长等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，数形结合是解决问题的关键．
26. 今年的元宵佳节由玉溪师生共同演唱的歌曲《小雅·鹿鸣》精彩亮相央视舞台，深受观众喜爱．合唱团成员身着清雅古朴的马面裙，犹如一幅流动的画卷，展现出中国古代的精湛工艺与审美追求，让观众感受了中华文化的独特魅力．某商场准备购进甲、乙两款马面裙进行销售．甲款马面裙每件进价260元，售价310元；乙款马面裙每件进价220元，售价250元．现计划购进两款马面裙共100件，其中甲款马面裙不少于60件，且购进100件马面裙的总费用不超过25000元．设购进甲款马面裙x件，两款马面裙全部售完，商场获利y元
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）求购进甲款马面裙多少件时，获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1），其中且x为整数
（2）购进甲款马面裙75件时，获得的利润最大，最大利润为4500元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式组的应用：
（1）设购进甲款马面裙x件，则购进乙款马面裙件，根据进价、售价、销量、利润的关系可得y与x之间的函数关系式，根据“甲款马面裙不少于60件，且购进100件马面裙的总费用不超过25000元”列关于x的不等式组，不等式组的整数解即为x的取值范围；
（2）根据一次函数增减性及x的取值范围即可求解．
【小问1】
解：设购进甲款马面裙x件，则购进乙款马面裙件，
由题意知，，
甲款马面裙不少于60件，且购进100件马面裙的总费用不超过25000元，
解得，
y与x之间的函数关系式为，其中且x为整数；
【小问2】
解：中一次项系数，
随x的增大而增大，
，
当时，y取最大值，最大值为：，
即购进甲款马面裙75件时，获得的利润最大，最大利润为4500元．
27. 如图，在平行四边形中，于点，点在的延长线上，且，点是线段上的动点（点与点，点不重合），连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，在同一平面内是否存在点使以点为顶点的四边形是矩形？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，理由见解析；当，即时，；当，即时，
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形性质得到，再由平行四边形性质得到，根据，在中，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案；
（2）由平行四边形性质可得，进而在中，在中，由勾股定理求出线段长，利用三角形面积公式代值求解即可得到答案；
（3）以为顶点构造平行四边形，如图所示，分三种情况讨论，由矩形性质，在（2）的条件下由勾股定理及三角形全等的判定与性质求解即可得到答案．
【小问1】
解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
【小问2】
解：四边形是平行四边形，
，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，即，解得，即，
在平行四边形中，，
，
，
；
【小问3】
解：存在，
理由如下：
以为顶点构造平行四边形，如图所示：
当四边形为矩形时，则，即，如图所示：
，
由（2）知，，显然，矛盾，此种情况不存在；
当四边形为矩形时，则，即，
四边形为矩形，
，
在中，，则，由（2）可知，
；
当四边形为矩形时，则，即，
过作于，如图所示：
在中，，，则由勾股定理可得，
由（2）可知，则，
在中，，，则由勾股定理可得，
由（2）可知，
在中，，
在和中，
，
，
设，
在中，①；在中，②；
由①②得，则，
四边形为矩形，
；
综上所述，在同一平面内是否存在点使以点为顶点的四边形是矩形，当，即时，；当，即时，．
【点睛】本题考查平行四边形综合，综合性强，难度较大，涉及等腰三角形性质、平行四边形性质、直角三角形性质、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，根据题意，数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
碗的个数（个）
1
2
3
4
5
6
这摞碗的总高度（厘米）
5.5
7
8.5
10
11.5
13
年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
83
a
八年级
83
b
94