云南省玉溪市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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（本试卷共三个大题，24个小题，共8页；考试用时120分钟，满分100分）
注意事项：
1.本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效.
2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）
1. 在下列某地中考体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. 坐位体前屈B. 立定跳远
C. 仰卧起坐D. 引体向上
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C的图标不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
2. 华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
【详解】解：．
故选：C．
3. 若分式的值为零，则的值是（ ）
A. B. 1C. 0D. 或1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0分母不为0得到，解之即可得到答案．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
解得，
故选：A．
4. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是 （ ）
A. ，， B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，故A选项不能组成三角形，不符合题意，
，故B选项不能组成三角形，不符合题意，
，故C选项不能组成三角形，不符合题意，
，故D选项能组成三角形，符合题意，
故选：D．
5. 如图，，，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形内外角关系，根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角 之和直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
6. 下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要同底数幂乘除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，点 ，，在同一直线上，，，，则 的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的性质，根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
故选：B．
8. 若的积中不含的一次项，则的值为（ ）
A. 3B. 0C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据本题考查整式的乘法，先根据整式乘法展开，结合不含的一次项得到系数为0直接求解即可得到答案；
详解】解：由题意可得，
，
∵不含 的一次项，
∴，
解得：，
故选：A．
9. 一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算是解题的关键．
【详解】解：设多边形的边数为，根据题意得
，
解得：．
所以这个多边形是四边形．
故选：B．
10. 下列分式中，是最简分式的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）逐项判断即可得．
【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、，原分式不是最简分式，不符合题意；
D、，原分式不是最简分式，不符合题意；
故选：B.
11. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，，的周长为9，则的周长为（ ）
A. 6B. 12C. 15D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，由三角形周长公式得到，进而得到，则的周长．
【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于，两点，
∴，
∵的周长为9，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选：C．
12. 月日，年“全民健身日”系列活动——玉溪市健步走暨玉溪市职工“勤锻炼，健康行”在玉溪高原体育运动中心举行，广大人民群众通过运动收获愉悦、收获健康、收获幸福，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的倍，甲比乙提前分钟走完全程，如果设乙的速度为 千米/时，那么下列方程中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式方程解决行程问题，根据时间差列方程即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
即，
故选：B．
二、填空题（共4个小题，每小题2分，满分8分）
13. 分解因式： ＝ ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法即可分解．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解．
14. 如图，在中，，以顶点为圆心、适当长为半径画弧，分别交 ，于点，，再分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点 ，作射线交于点，若，，则的面积是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点D作于H，由作图方法可知平分，则由角平分线的性质得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
由作图方法可知平分，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 已知，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，先把已知条件式两边同时平方得到，则．
详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 在中，，，在直线上找点，使是等腰三角形，则_________________．
【答案】或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，等腰三角形的性质，分当点P与点C重合时，当时，当时，共四种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
如图所示，当点P与点C重合时，是等腰直角三角形，则；

如图所示，当时，则

如图所示，当时，则

如图所示，当时，则；

综上所述，的度数为或或或．
故答案为：或或或．
三、解答题（本大题共8小题，满分56分）
17. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查有关0指数幂及负指数幂的运算，根据，直接求解即可得到答案；
（2）本题考查完全平方公式及整式除法有关计算，根据及整式除法法则直接计算即可得到答案；
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 如图，点，在线段上，，，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴．
19. 先化简，再求值： ，其中 从，2，3三个数中任取一个合适的值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的分式减法，再计算分式乘法化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式．
20. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，，，．
（1）画出关于轴对称的图形；
（2）写出，，的坐标（直接写出答案） ； ； ；
（3）在轴上找出一点，使的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析 （2）；；
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题：
（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，再在坐标系中描出，最后顺次连接即可；
（2）根据（1）所求写出对应点坐标即可；
（3）如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，则点P即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：由图可知，，，
故答案为：；；；
【小问3详解】
解：如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，则点P即为所求．
21. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效． 某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如图的宣传，根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．
【答案】新型机器人每天搬运的货物量为90吨
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据新型机器人搬运900吨货物的时间与旧型机器人搬运600吨货物的时间相同列出方程求解即可．
【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
答：新型机器人每天搬运的货物量为90吨．
22. 如图，在中，，于点 ．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，交的延长线于点，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理：
（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得；
（2）根据两直线平行内错角相等，再根据是的角平分线即可得到，从而证得．
【小问1详解】
解：，，
，，
；
【小问2详解】
证明：，
，
，，
是角平分线，
，
，
．
23. 如图甲所示，边长为正方形中有一个边长为的小正方形，图乙是由图甲中阴影部分拼成的一个长方形，设图甲中阴影部分面积为，图乙中阴影部分面积为．

（1）请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）试利用这个公式计算：．
【答案】（1）；；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式：
（1）图甲阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图乙阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积，再根据两部分阴影面积相等即可得到对应的公式；
（2）根据（1）的结论将原式变形，然后计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，，，
∵图甲和图乙中阴影部分面积相同，
∴，
故答案为：；；；
【小问2详解】
解：

24. 如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D.
（1）如图甲，求证：；
（2）如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明；
（3）如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见详解 （2），理由见详解
（3）或，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据可证明；
（2）在上截取，证明，得出，证出，则可得出结论；
（3）分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案．
【小问1详解】
解：证明：∵点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴；
【小问2详解】
解：，
理由如下：在上截取，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小问3详解】
解：存在．或，
理由如下，
由题意可得，
∴
∵以点为顶点的三角形是直角三角形，
当时，
∵，
∴，
∴
即
解得：，
当，
∵，
∴，
∴
即：
解得：，
综上所述，或，时，以点为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．