沪教版九年级上册数学专题训练专题05选择或补充条件使两个三角形相似重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题05选择或补充条件使两个三角形相似重难点专练(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题
1．和符合下列条件，其中使与不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADCB．∠ACD＝∠ABCC．D．
4．如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法，其中正确的有（ ）
①各有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
②各有一个角是80°的两个等腰三角形相似；
③各有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
④两边成比例的两个等腰三角形相似．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，下列选项中不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，是正方形的边上一点，下列条件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（ ）
A．①②B．①②③
C．①②③④D．①②③④⑤
8．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点在上，交于F，则图中与相似的三角形有（不再添加其他线段）（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．下列能判定的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
10．下列各组条件中，不能判定与相似的是（ ）
A．，B．，，
C．，D．，
11．如图，已知P是RtΔABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与ΔABC相似，那么点D的位置最多有（ ）
A．2处B．3处C．4处D．5处
12．如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠AED＝∠BB．∠BDE+∠C＝180°
C．AD•BC＝AC•DED．AD•AB＝AE•AC
13．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（ ）条．
A．3B．4C．5D．6
14．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．B．C．D．
16．下列结论中正确的是（ ）
A．有两条边长是3和4的两个直角三角形相似
B．一个角对应相等的两个等腰三角形相似
C．两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
D．有一个角为60°的两个等腰三角形相似
17．如图所示，、相交于点，连接，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
18．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（ ）

A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
19．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．B．∠ADC=∠ACB
C．∠ACD=∠BD．AC2=AD•AB
20．如图，要判定与相似，欲添加一个条件，下列可行的条件有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．个B．个C．个D．个
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．在中，，，D是AC上一点，，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与相似，则AE的长为_______.
22．如图，、是的边上的两点，以为边作平行四边形，经过点，且．试写出四对相似三角形________．
23．过△ABC（AB＞AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有__条．
24．如图，中，，、分别是边、上的点，且与不平行．不再添加其它字母和线段，请你填上一个合适的条件，使，你填的条件是__________________．
25．如图，在△ABC中，P是AB边上的点，请补充一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是：___(写出一个即可)，
26．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于___．
27．如图，点O是内任意一点，且，，，则______，其相似比为______.
28．在中，，，在中，，.若 ______，则______.
29．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，则需要添加一个条件是____．(写出一种情况即可)
30．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：____________.
31．如图，点在的边上，连接，若要使，那么还需要添加的一个条件是________（填上你认为正确的一个即可）．
32．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是______（写出一个即可）
33．如图,在△ABC中,边AB上有一点M,过M点作直线截△ABC,使截到的三角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线共有____条.

34．如图所示，在四边形中，，如果要使，那么还要补充的一个条件是____．（只要求写出一个条件即可）
35．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝_____时，△ABC∽△DEF．
36．如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
37．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是________．
38．如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点． = ，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
39．△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝______
40．□ABCD中，点P在对角线BD上（不与点B， D重合），添加一个条件，使得△BCD与△ADP相似，这个条件可以是________
41．如图，、分别在的、边上，且与不平行，要使与相似，需要添加一个条件________．
42．如图，已知∠1＝∠2，请添加一个条件___________________________(只需填写一个即可)，使得△ADE∽△ACB.
43．如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？
三、解答题
44．如图，已知抛物线(m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.
（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H，使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
45．如图，▱ABCD中，∠ABC为锐角，AB＜BC，点E是AD上一点，延长CE到F，连接BF交AD于点G，使∠FBC=∠DCE．
（1）求证：∠D=∠F；
（2）在直线AD找一点P，使以点B，P，C为顶点的三角形与以点C，D，P为顶点的三角形相似．（在原图中标出准确P点的位置，必要时用直尺和圆规作出P点，保留作图的痕迹，不写作法）
46．已知：△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
47．如图，△ABC中AB=AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC～△PAC不写画法，（保留作图痕迹）.
48．如图，△ABC中，AB=AC，且∠BAC=108°，点D是AB上一定点，请在BC边上找一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
49．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？
50．已知：如图，中，是边上的一点，连接．满足________时．（添加一个条件即可）．
专题05 选择或补充条件使两个三角形相似重难点专练
第I卷（选择题）
一、单选题
1．和符合下列条件，其中使与不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADCB．∠ACD＝∠ABCC．D．
4．如图所示，给出下列哪个条件单独能够判定的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法，其中正确的有（ ）
①各有一个角是60°的两个等腰三角形相似；
②各有一个角是80°的两个等腰三角形相似；
③各有一个角是100°的两个等腰三角形相似；
④两边成比例的两个等腰三角形相似．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，下列选项中不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，是正方形的边上一点，下列条件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（ ）
A．①②B．①②③
C．①②③④D．①②③④⑤
8．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点在上，交于F，则图中与相似的三角形有（不再添加其他线段）（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．下列能判定的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
10．下列各组条件中，不能判定与相似的是（ ）
A．，B．，，
C．，D．，
11．如图，已知P是RtΔABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与ΔABC相似，那么点D的位置最多有（ ）
A．2处B．3处C．4处D．5处
12．如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠AED＝∠BB．∠BDE+∠C＝180°
C．AD•BC＝AC•DED．AD•AB＝AE•AC
13．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（ ）条．
A．3B．4C．5D．6
14．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．B．C．D．
16．下列结论中正确的是（ ）
A．有两条边长是3和4的两个直角三角形相似
B．一个角对应相等的两个等腰三角形相似
C．两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似
D．有一个角为60°的两个等腰三角形相似
17．如图所示，、相交于点，连接，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
18．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD•AC；③AD•BC=AB•BD；④AB•BC=AC•BD．其中单独能够判定△ABC∽△ADB的个数是（ ）

A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
19．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．B．∠ADC=∠ACB
C．∠ACD=∠BD．AC2=AD•AB
20．如图，要判定与相似，欲添加一个条件，下列可行的条件有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．个B．个C．个D．个
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．在中，，，D是AC上一点，，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与相似，则AE的长为_______.
22．如图，、是的边上的两点，以为边作平行四边形，经过点，且．试写出四对相似三角形________．
23．过△ABC（AB＞AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有__条．
24．如图，中，，、分别是边、上的点，且与不平行．不再添加其它字母和线段，请你填上一个合适的条件，使，你填的条件是__________________．
25．如图，在△ABC中，P是AB边上的点，请补充一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是：___(写出一个即可)，
26．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于___．
27．如图，点O是内任意一点，且，，，则______，其相似比为______.
28．在中，，，在中，，.若 ______，则______.
29．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，则需要添加一个条件是____．(写出一种情况即可)
30．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：____________.
31．如图，点在的边上，连接，若要使，那么还需要添加的一个条件是________（填上你认为正确的一个即可）．
32．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是______（写出一个即可）
33．如图,在△ABC中,边AB上有一点M,过M点作直线截△ABC,使截到的三角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线共有____条.

34．如图所示，在四边形中，，如果要使，那么还要补充的一个条件是____．（只要求写出一个条件即可）
35．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝_____时，△ABC∽△DEF．
36．如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
37．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是________．
38．如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点． = ，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
39．△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝______
40．□ABCD中，点P在对角线BD上（不与点B， D重合），添加一个条件，使得△BCD与△ADP相似，这个条件可以是________
41．如图，、分别在的、边上，且与不平行，要使与相似，需要添加一个条件________．
42．如图，已知∠1＝∠2，请添加一个条件___________________________(只需填写一个即可)，使得△ADE∽△ACB.
43．如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？
三、解答题
44．如图，已知抛物线(m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.
（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H，使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
45．如图，▱ABCD中，∠ABC为锐角，AB＜BC，点E是AD上一点，延长CE到F，连接BF交AD于点G，使∠FBC=∠DCE．
（1）求证：∠D=∠F；
（2）在直线AD找一点P，使以点B，P，C为顶点的三角形与以点C，D，P为顶点的三角形相似．（在原图中标出准确P点的位置，必要时用直尺和圆规作出P点，保留作图的痕迹，不写作法）
46．已知：△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）
47．如图，△ABC中AB=AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC～△PAC不写画法，（保留作图痕迹）.
48．如图，△ABC中，AB=AC，且∠BAC=108°，点D是AB上一定点，请在BC边上找一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
49．如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当BD的长是多少时，图中的两个直角三角形相似？
50．已知：如图，中，是边上的一点，连接．满足________时．（添加一个条件即可）．
参考答案
1．D
解析：
分析：
依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可.
【详解】
A选项，△ABC中的三个角分别为45°、26°、109°，△A’B’C’中的三个角也分别为45°、26°、109°，故两个三角形相似；
B选项，AB:BC= B’C’ :A’C’ =1:2，AB:AC=A’C’:A’B’=1:1.5，AC:BC= A’B’ :B’C’=1.5:2，故两三角形相似；
C选项，AB:AC=B’C’ : A’B’=1.4，∠A和∠B’分别为其两边的夹角，且∠A=∠B’， 故两个三角形相似；
D选项，三边对应比例不相等，故两个三角形不相似；
故选择D.
【点睛】
不能盲目选择判定两个三角形相似的方法，一定要根据题干给出的信息选择合理的判定方法.
2．D
【详解】
试题解析：如图①，∠OAB=∠，∠AOB=∠时，△AOB∽△．
如图②，AO∥BC，BA⊥，则∠=∠OAB，故△AOB∽△；
如图③，∥OB，∠ABC3=，则∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△；
如图④，∠AOB=∠=，∠ABO=∠，则△AOB∽△．
故选D．
3．D
分析：
直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】
解：A、当∠ACB＝∠ADC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
D、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
4．C
分析：
A．只有一对对应角相等，条件不够；B．用比例是确定三角形，竖向确定三角形△ACD与△ABC，横向确定三角形△ABC与△CBD，但夹角不一定相等，不能判定的两个三角形相似；C.把等积变比例式，且夹角相等，能推出这两个三角形相似；D．用比例确定三角形，竖向确定三角形△ADC与△BCD，横向确定三角形△ADC与△ACB，但夹角不一定相等，不能判定的两个三角形相似．
【详解】
解：A．，不能判定的两个三角形相似，不符合题意；
B．竖向确定三角形△ACD与△ABC，夹角与∠B不一定相等，横向确定三角形△ABC与△CBD，夹角∠A与∠DCB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意，
C．由变形得，，由∠BAC=∠CAD，则，
可以根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定，符合题意；
D．竖向确定三角形△ADC与△BCD，夹角与∠DCB不一定相等，横向确定三角形△ADC与△ACB，夹角∠ADC与∠ACB不一定相等，不能判定的两个三角形相似，不符合题意；
故选择：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，灵活掌握三角形相似的判定方法，会用已知条件与三角形相似判定定理相结合判断三角形相似是解题关键．
5．B
分析：
根据相似三角形的判定以及等腰三角形的性质可以作出解答．
【详解】
各有一个角是60°的两个等腰三角形都为等边三角形，它们相似，所以①正确；
顶角为80度的等腰三角形与底角为80度的等腰三角形不相似，所以②错误；
各有一个角是100°的两个等腰三角形的底角都为40度，它们相似，所以③正确；
两边成比例的两个等腰三角形不相似，所以④错误．
故选B．
【点睛】
本题考查相似三角形与等腰三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定以及等腰三角形的性质求解是解题关键．
6．B
分析：
根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
解：A、∵AC2=AD•AB，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
B、∵BC2=BD•AB，
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△ABC，
不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记并理解应用相似三角形的判定定理是解此题的关键．
7．D
分析：
对于①②④，直接利用相似三角形的判定方法判断即可；对于③，先利用同角的余角相等转化为①，即可进行判断，对于⑤，利用比例的性质和勾股定理进行判断.
【详解】
解：∵∠B=∠C=90°，∴只要满足或，均可判定△ABE∽△ECF，所以①②都正确；
③中，当时，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，故③正确；
④中对应边成比例，且夹角均为90°，∴△ABE∽△ECF，故④正确；
⑤中，当时，则，即，
∴，∴，∴，
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴⑤正确；
综上，故选D.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、比例的性质和勾股定理等知识，熟知相似三角形的判定与性质是判断①②③④的关键，对于⑤，则需综合运用比例的性质和勾股定理进行判断.
8．D
解析：
分析：
根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．
【详解】
根据题意得：BC=B′C，AB=A′B′，AC=A′C，∠B=∠B′，∠A=∠A′=30°，∠ACB=∠A′CB′=90°
∵∠A=30°，∠ACB=90°
∴∠B=60°
∴BB′=BC=B′C，∠B=∠BCB′=∠BB′C=60°
∴∠B′CA=30°，∠ACA′=60°，A′B′∥BC
∴∠B′FC=∠B′FA=90°
∴△AB′F∽△ABC∽△A′B′C∽△A′CF∽△CFB′
∴有4个
故选：D．
【点睛】
考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
9．D
解析：
分析：
考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似.
【详解】
A. ，,两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似.
B. ，，两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似.
C. ，，两边成比例但夹角不一定相等，故两个三角形不一定相似.
D. ，，两边成比例且夹角相等，故两个三角形一定相似.
故选：D
【点睛】
考核知识点：相似三角形的判定.熟记“两边成比例且夹角相等”是关键.
10．C
解析：
分析：
根据：有两个角对应相等的两个三角形相似.
【详解】
A. ，,有两个角对应相等的两个三角形相似.
B. ，，,得，有两个角对应相等的两个三角形相似.
C. ，，两个等腰三角形不一定相似；
D. ①，②，①+②得，所以，有两个角对应相等的两个三角形相似.
故选：C
【点睛】
考核知识点：三角形相似的条件.熟记三角形相似的条件是关键.
11．B
分析：
过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的三角形与原三角形有一个公共角，只需作一个直角即可．
【详解】
∵截得的小三角形与△ABC相似，∴过P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形满足题意，则D点的位置最多有3处．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
12．C
分析：
A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】
解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、由AD•BC=AC•DE，得不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.
D、由AD•AB=AE•AC得，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；
有两组角对应相等的两个三角形相似．
13．B
分析：
要使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，只要使夹∠AOB与∠COD的两边对应成比例，分两种情况列式求解，只要求出D点坐标，即可求出这样的直线一共可以作几条．
【详解】
如图，
∵A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），
∴OA=6,OB=8,OC=2.
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴要使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，只要使夹∠AOB与∠COD的两边对应成比例即可.
分两种情况列式求解：
若△AOB∽△COD，则，
∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．
若△AOB∽△DOC，则，
∴OD＝，则D（，0）或（﹣，0）．
所以可以作出四条直线．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和坐标与图形的性质,分类讨论是解此题的关键，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
14．C
解析：
分析：
根据三角形相似的判定方法：①两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．
【详解】
如图：
①由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；
②由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；
③由∠A=∠D、∠B=∠F可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；
④∠E和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
15．C
分析：
A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
C、其夹角不相等，所以不能判定相似；
D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．
【详解】
A、∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．
16．D
分析：
根据相似三角形的判定方法即可判断
【详解】
A. 错误．比如，一个直角三角形的直角边为3，4，另一个直角三角形的一条直角边为3，斜边为4，这两个直角三角形不相似；
B. 错误.当这个角一个是等腰三角形的顶角，一个是等腰三角形的底角，两个等腰三角形不相似；
C. 错误；边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形不一定相似；
D. 正确.两个等边三角形相似；
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形，解题的关键是熟练的掌握相似三角形.
17．D
分析：
要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，而对应边所夹的角则必是其相等的角，否则不能得到其相似．
【详解】
由图可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，
所以题中选项A、B、C均符合题意，
而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC，所以其不能判定两个三角形相似．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定问题，能够熟练掌握．
18．A
分析：
根据有两个角对应相等的三角形相似，可判断①，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判断断②③④．
【详解】
①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB；
②∵AB2=AD•AC，∴=．
∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB；
③∵AD•BC=AB•BD，∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似；
④∵AB•BC=AC•BD，∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似．
故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
19．A
分析：
根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【详解】
若，无法证明∠ACD=∠B，不能判定△ACD与△ABC相似；
若∠ADC=∠ACB，结合∠A=∠A可得：△ACD∽△ABC；
若∠ACD=∠B，结合∠A=∠A可得：△ACD∽△ABC；
若AC2=AD•AB，即=，结合∠A=∠A可得：△ACD∽△ABC．
故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
20．C
解析：
分析：
由∠A=△A,得出要判定△ABC与△AED相似,根据有两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似得出只要具备条件或即可;或根据有两角对应相等的两三角形相 似,判断即可.
【详解】
解：由∠A=△A,得出要判定△ABC与△AED相似,根据有两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似得出只要具备条件或即可;
,,
,,
,故①正确；
,故②正确；
,故③错误；
∠BED+∠C=，
∠B+∠EDC=，
∠ADE+∠EDC=,
∠B=∠ADE,∠A=∠A,
△AED∽ACB,故④正确；
∠A=∠A,∠BED=∠C,不能推出两三角形相似，故⑤错误；
即正确的有①②④，共三个，
故选C.
【点睛】
本题主要考查三角形相似的判定方法。
21．8或
分析：
与相似要分成两种情况来进行讨论，一种是，则需；一种是，则需，无论哪一种情况，将已知线段的长度代入后比例式后都能较容易的求出AE的值．
【详解】
∵，
∴分或两种情况讨论:
①如图(1)，当时，有，
即，解得；
②如图(2)，当时，有，
即，解得.综上所述，AE的长为8或.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，关键是运用分类讨论，对可能出现的几种情况进行分析．
22．；；；
分析：
根据平行四边形得到对边平行,找相等的角度即可,见详解.
【详解】
解:∵四边形CDEF是平行四边形,
∴EF∥AB,CF∥ED
∴∠F=∠MCA.∠FPM=∠A
∴△PMF~△AMC
∵∠A=∠A,∠ACM=∠ADE=∠APB
∴△AMC~△ABP
∵∠F=∠ACM=∠APB,∠FPM=∠A
∴△PMF~△ABP
∵EF∥AB
∴∠E=∠NDB,∠EPN=∠B
∴△BDN~△PEN,
综上答案为；；；
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定,属于简单题,找到相等的角,熟悉判定方法是解题关键.
23．2
【详解】
试题解析：如图所示：
过M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；
过M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；
因此符合条件的直线共有2条.
24．或或．
分析：
由于△ADE和△ACB有一个公共角，所以根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可添加∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
，使△ADE∽△ACB．
【详解】
解：，
当或或，时，．
故答案是：或或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
25．∠ACP=∠B（或）．
分析：
由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【详解】
解：∵∠PAC=∠CAB，
∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC；
当时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠ACP=∠B（或）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．
26．.
分析：
根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．
【详解】
解：∵∠AEC＝∠BED，
∴当时，△BDE∽△ACE，
即
∴CE＝
故答案为．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．
27．
解析：
分析：
三组对应边的比相等的两个三角形相似；求出可得.
【详解】
因为，，∠AOB=∠DOE
所以⊿AOB~⊿DOE
所以
同理，,
所以
所以
故答案为：(1). (2).
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
28．，
解析：
分析：
三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
【详解】
根据相似三角形判定，在中，，，在中，，.若，则
故答案为，
【点睛】
题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
29．∠A＝∠D(或BC∶EF＝2∶1)
解析：
分析：
因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．
【详解】
解：则需添加的一个条件是：BC=2EF，且2＜BC＜14，1＜EF＜7．
∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，
∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，
∵BC：EF=2：1．
∴△ABC∽△DEF．
则添加的条件可以为：①∠A=∠D或②BC：EF=2：1．
故答案为：①∠A=∠D或②BC：EF=2：1．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，解题关键知道两三角形三边对应成比例的话，两三角形相似．
30．∠B＝∠C(答案不唯一)
分析：
由已知图形可得∠A=∠A，所以再找一对角相等或夹边的比值相等，都可以使△ABE∽△ACD．
【详解】
要使△ABE∽△ACD，则需要添加的一个条件是：∠B=∠C，
理由如下：
∵∠A=∠A，∠B=∠C，
∴△ABE∽△ACD，
故答案为∠B=∠C（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，属于基础性题目，解题的关键是熟记并且灵活运用相似三角形的各种判定方法．
31．
分析：
因为两个三角形的两组角对应相等，这两个三角形互为相似三角形，因为△ABC和△ACD有一组公共角相等，所以再加一组角即可．
【详解】
解：可添加条件∠B=∠ACD．
∵∠A=∠A，∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△ACD．
故答案为∠B=∠ACD．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，如果两组对应角分别相等的两个三角形互为相似三角形．
32．EF∥BC
分析：
利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．
【详解】
当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．
故答案为EF∥BC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
33．4
解析：
分析：
根据两角对应相等的两个三角形相似解答即可.
【详解】
①如图1，作∠AME=∠B，则△AME∽△ABC；
②如图2，作∠BME=∠A，则△MBE相似于△ABC；
③如图3，作∠AME=∠C，则△AEM相似于△ABC；
④如图4，作∠BME=∠C，则△EBM相似于△ABC.
所以满足这样条件的直线有4条.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握两角相等的两个三角形相似是解答本题的关键.
34．或或
解析：
分析：
根据相似三角形的判定即可解题.
【详解】
解：∵,
∴∠DAC=∠ACB,（两直线平行,内错角相等）
∴当或时,，（有两个角相等的三角形是相似三角形）
当时,，（一组角相等,且角两边对应成比例的三角形是相似三角形）,
综上,或或时,三角形相似.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定,属于简单题,熟悉相似三角形的判定条件是解题关键.
35．76°
解析：
分析：
利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．
【详解】
∵△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A=70°时，∠B=34°，∠D=70°，
∴∠B=∠E=34°，
∴∠C=∠F=76°，
故答案为：76°
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
36．∠ADE=∠ACB（答案不唯一）
【详解】
相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.由此可得出可添加的条件：
由题意得，∠A=∠A（公共角），
则添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB；
添加：，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB.
37．∠ABP=∠C（答案不唯一）
解析：
分析：
由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A为公共角，再有一对对应角相等即可.
【详解】
在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对对应角相等，即∠ABP＝∠C，便可使△ABP∽△ACB，所以答案为：∠ABP＝∠C（答案不唯一）.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.
38．DF∥AC或∠BFD=∠A
分析：
根据题意，已知对应边成比例，添加DF∥AC或∠BFD=∠A，都可证△FBD∽△AED.
【详解】
DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A， ，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC或∠BFD=∠A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
39．或
分析：
两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．
【详解】
解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE= ；
第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE= ．
故答案为或．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解题关键是边的对应关系．
40．∠APD=∠C
解析：
分析：
根据平行四边形对边平行性质可得一堆角相等，让另两对角中有一对相等即可证明△BCD与△ADP相似．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠ADP=∠CBD，
∵∠APD=∠C，
∴∠DAP=∠CDB，
∴△BCD∽△ADP．
故答案为∠APD=∠C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，本题属于开放题，选出可以证明结论的一个条件是解题的关键．
41．
解析：
分析：
根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC=∠AED，故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
【详解】
解：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED（AA），
故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED．
故答案为：∠ABC=∠AED．
【点睛】
本题考查了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形的证明，添加条件∠ABC=∠AED并求证△ABC∽△AED是解题的关键．
42．∠C＝∠D或∠E＝∠B或ADAC＝AEAB
解析：
分析：
由∠1=∠2可得∠DAE=∠CAB．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB．
【详解】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB，
当∠C=∠D或∠E=∠B或ADAC＝AEAB时，△ADE∽△ACB．
故答案为：∠C＝∠D或∠E＝∠B或ADAC＝AEAB
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，属基础题，比较简单．但需注意对应关系．
43．0.8或2
分析：
设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【详解】
设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP=2x cm，BQ=4x cm．
∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=（8﹣2x）cm，分两种情况讨论：
①BP与BC边是对应边，则=，即=，解得：x=0.8；
②BP与AB边是对应边，则=，即=，解得：x=2．
综上所述：经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
故答案为0.8或2．
【点睛】
本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边BP、BQ的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错．
44．（1）；（2）点H的坐标为（1，）；（3）当m=时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似.
分析：
（1）把点（2，2）代入中，解出m的值即可得到抛物线的解析式；
（2）由（1）中所得解析式求出点A、B、C的坐标，由题意可知，点A、B关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H，根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标；
（3）由解析式可得点A、B、C的坐标分别为（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下图，由图可知∠ACB和∠ABM是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACB∽△ABM，②△ACB∽△MBA，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.
【详解】
解：（1）把点（2，2）代入抛物线，
得2=.
解得m=4.
∴抛物线的解析式为.
（2）令，解得.
则A（-2，0），B（4，0）.
对称轴x=-.
∵ 中当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2）.
∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，
∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH的值最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，
∴直线BC的解析式为y=.
∵当x=1时，y==.
∴点H的坐标为（1，）.
（3）假设存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似.
如下图，连接AC，BC，AM，BM，过点M作MN⊥x轴于点N，
由图易知，∠ACB和∠ABM为钝角，
①当△ACB∽△ABM时，有=，即.
∵A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴∠CAB=∠BAM=.
∵MN⊥x轴，∴∠BAM=∠AMN=45°，
∴AN=MN.
∴可设M的坐标为：（x，-x-2）（x＞0），
把点M的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=.
化简整理得：x=2m，
∴点M的坐标为：（2m，-2m-2）.
∴AM=.
∵，AC=，AB=m+2，
∴.
解得：m=.
∵m＞0，
∴m=.
②当△ACB∽△MBA时，有=，即.
∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=，
∴△ANM∽△BOC，∴=.
∵BO=m，设ON=x，
∴=，即MN=（x+2）.
令M（x，）（x＞0），
把M点的坐标代入抛物线的解析式，
得=.
解得x=m+2.即M（m+2，）.
∵，CB=，MN=，
∴.
化简整理，得16=0，显然不成立.
综上所述，当m=时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似.
点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点A、B是关于抛物线的对称轴对称的，连接BC与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；（2）“能根据题意画出符合要求的图形，知道∠ACB和∠ABM为钝角，结合题意得到存在：①当△ACB∽△ABM，②△ACB∽△MBA这两种可能情况”是解答第3小题的关键.
45．见解析
【详解】
分析：(1)∠FBC＝∠DCE，只需证得∠CDE＝∠BCF即可；(2)作△FBC的外接圆与直线AD的交点和点A即是满足条件的点P.
详解：⑴证明：∵□ABCD
∴AD∥BC
∴∠DEC＝∠FCB
∵∠FBC＝∠DCE
∴∠D＝∠F
⑵正确用尺规作图作出：△BFC的外接圆交直线AD于点P1，P2，和找到与点A重合的P3点.

点睛：本题考查了圆周角的性质和相似三角形的判定，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，有两个角相等的两个三角形相似.
46．答案见解析.
分析：
根据三角形相似的作图解答即可．
【详解】
解：如图，直线BD即为所求．
【点睛】
此题主要考查相似图形的作法，关键是根据三角形相似的作图．
47．见解析
分析：
根据题意作∠CBA=∠CAP即可使得△ABC～△PAC.
【详解】
如图，作∠CBA=∠CAP，P点为所求.

【点睛】
此题主要考查相似三角形的尺规作图，解题的关键是作一个角与已知角相等.
48．两个
分析：
平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．或者有两组角对应相等的两个三角形相似．所以在画图时要分情况．
【详解】
如图，这样的点有两个．
①过D作DE∥AC交BC于E，根据平行于三角形一边的直线与其他两边相交，可得△BDE∽△BAC；
②以D为顶点，DB为一边，作∠BDE=∠C，已知有公共角∠B，根据有两角对应相等的两个三角形相似可得△BDE∽△BCA．
【点睛】
考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
49．当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似
分析：
先利用勾股定理计算出BC＝3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论：当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，然后利用比例性质求出对应的BD的长即可．
【详解】
在Rt△ABC中，BC3．
∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论：
①当时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即，解得：BD；
②当时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即，解得：BD．
综上所述：当BD的长是或时，图中的两个直角三角形相似．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
50．，或，或
解析：
分析：
欲证△ACP∽△ABC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠A＝∠A，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．
【详解】
∵∠A＝∠A，∴当∠APC＝∠ACB，或∠ACP＝∠ABC，或时，△ACP∽△ABC．
故答案为：，或，或．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．