安徽省亳州市涡阳县天一大联考2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知和是两个不重合平面，则下列条件中可判定的是（ ）
A. 内有无数条直线与平行B. 和垂直于同一条直线
C. 和平行于同一条直线D. 和都垂直于同一平面
3. 如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为（ ）
A. 18B. 14C. 12D. 6
4. 已知非零向量，满足，，则，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点是的重心，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，.若存在一球与圆台上、下底面及所有母线均相切，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图（1），在梯形中，，，点在边上，且四边形是正方形，现将正方形沿直线折起，使得平面平面，得到如图（2）所示的三棱锥.若是棱的中点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求其面积的公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”翻译成公式，即，其中，，分别为中角，，的对边，为的面积．现有面积为的满足，则其内切圆的半径是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组数据，，，，由生成一组新数据，，，，则（ ）
A. 新数据的平均数一定比原数据的平均数小
B. 新数据的中位数一定比原数据的中位数小
C. 新数据的标准差一定比原数据的标准差小
D. 新数据的极差一定比原数据的极差小
10. 下列关于复数，的说法错误的是（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D. 若，则
11. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，它是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将一个棱长为2的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共要截去八个三棱锥，形成一个由正三角形和正方形围成的“阿基米德多面体”，如图，则（ ）
A. 该多面体共有12个顶点，14个面
B. 该多面体的表面积为
C. 该多面体的外接球体积为
D. 所在直线与直线所成角是的棱共有8条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，则__________．
13. 某班共有36名男生和24名女生，统计他们的体重数据（单位：kg），已知男生体重的平均数为65，方差为34，全体学生体重的平均数为59，方差为86，则该班女生体重的方差为______.
14. 我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”（如图（1）），亦称“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，可构造如图（2）所示图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，已知与的面积之比为，设，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，．
（1）若夹角为锐角，求实数的取值范围；
（2）若，求．
16. 在中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
17. 某家面包店以往每天制作120个三明治，为了解销售情况，店长统计了去年三明治的日销售量（单位：个），并绘制频率分布直方图如图所示.

（1）求图中的值，并求该面包店去年（按360天算）三明治日销售量不少于100个的频率；
（2）估计该面包店去年三明治日销售量平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）
（3）由于三明治的保质期只有一天，为了避免浪费，店长决定今年减少每天三明治的制作量，但要求有的天数可以满足顾客的需求，估计每天应该制作多少个三明治.（结果用四舍五入法保留到整数）
18. 如图，已知正方体的棱长为2，点，分别在棱和上.
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积是，平面，试确定点的位置，并证明你的结论.
19. 如图，在多面体中，底面是正方形，平面平面，，，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）求三棱锥的体积.