安徽省亳州市涡阳县2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省亳州市涡阳县2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 故选B，故选C等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第四章~第五章，选择性必修第三册第六章第1节~第2节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知limΔx→0f1−f1+ΔxΔx=3，则fx在x=1处的导数f​′1=
A．3B．1C．−1D．−3
2．已知集合A={−1,2,−3,4}，B={−5,6,−7,8,−9}，从集合A中选一个元素作为点P的横坐标，从集合B中选一个元素作为点P的纵坐标，若点P落在第三或第四象限，则满足条件的点P有
A．8个B．10个C．12个D．16个
3．已知数列{an}满足a1=−1，an+1an−1+1=0n∈N∗，则数列{an}的前9项和为
A．6B．92C．3D．32
4．某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境，第一天植树2000棵，以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量. 若该镇政府计划用13天（即到3月13日结束）植树33800棵，则植树节（3月12日）这一天植树
A．3000棵B．3100棵C．3200棵D．3300棵
5．当x=1时，函数fx=aex+bxx>0取得最小值2e，则a+b=
A．2B．1C．−1D．−2
6．若数列{an}满足an=an−1+1n​2+n（n≥2且n∈N+），a1=12，则a2024=
A．20222023B．20232024C．20242025D．20252026
7．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”。甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有
A．96种B．132种C．168种D．204种
8．已知函数fx及其导函数f​′x的定义域均为R，f0=0且fx+f​′x>0，则不等式fx​2+4x−5>0的解集为
A．−∞,−5∪1,+∞B．−∞,−1∪5,+∞C．−5,1D．−1,5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若7个正数成等差数列，且这7个数的和为5，则此等差数列的公差d可能是
A．−523B．221C．−521D．−14
10．已知定义域为[−3,5]的函数fx的导函数为f​′x，且f​′x的图象如图所示，则
A．fx在−2,2上单调递减B．fx有极小值f2
C．fx有2个极值点D．fx在x=−3处取得最大值
11．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2n∈N∗，记bn=an+1⋅12an，数列{bn}的前n项和为Tn，且对任意的n∈N∗，λ⋅3n+42n+2n−9Tn−169>0恒成立，则
A．an=2n−1B．bn=2n⋅12​2n−1
C．Tn=43−3n+43⋅4​nD．λ的取值范围是148,+∞
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．方程2C6x=A62（x∈N且x≤6）的解为x= .
13．在公比为q014．若函数fx=xex−x−lnx+a−1有两个零点，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，且a5=14，S5=a23.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=Sn−5n，求数列{bn}的前n项和Tn.
16．（本小题满分15分）
设函数fx=ax2−x−lnx.
（1）当a=1时，求fx的单调区间；
（2）若关于x的不等式fx≤0在[e−1,e2]上有解，求实数a的取值范围.
17．（本小题满分15分）
晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
18．（本小题满分17分）
已知函数fx=3alnx+12x2−a+3x，a∈R.
（1）若曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线x+2y+11=0垂直，求a的值；
（2）若019．（本小题满分17分）
定义：若函数y=fx和y=gx的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=fx和y=gx具有C关系.
（1）判断函数fx=ex−2和gx=x是否具有C关系；
（2）若函数fx=xex和gx=−ksinxk>0在区间0,π上具有C关系，求实数k的取值范围.
【参考答案】
2023~2024春学期高二年级第二次月考
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】limΔx→0f1−f1+ΔxΔx=−limΔx→0f1+Δx−f1Δx=3，f′1=limΔx→0f1+Δx−f1Δx=−3.故选D.
2．C
【解析】因为点P在第三或第四象限，所以纵坐标只能选集合B中的负数，根据分步乘法计数原理，横坐标有4种选法，纵坐标有3种选法，则满足条件的点P共有3×4=12个. 故选C.
3．B
【解析】已知a1=−1，an+1an−1+1=0n∈N∗，则an+1=11−an，所以a2=11−a1=12，a3=11−a2=2，a1=11−a3=−1=a1，所以数列{an}是周期为3的数列，所以数列{an}的前9项和为3a1+a2+a3=92.故选B.
4．B
【解析】由题意知，这13天中每天植树数量为等差数列{an}，则a1=2000，设数列{an}的公差为d，则13×2000+12×13×12d=33800，解得d=100，所以a12=2000+11×100=3100. 故选B.
5．A
【解析】f′x=aexx−1−bx2，由题意，得f​′1=0,f1=2e,即ae1−1−b=0,ae+b=2e,解得a=2,b=0.若a=2，b=0则f​′x=2exx−1x​2，当x∈0,1时，f​′x<0，fx单调递减；当x∈1,+∞时，f​′x>0，fx单调递增. 所以fx在x=1处取到极小值，也是最小值，所以a=2，b=0满足要求，故a+b=2. 故选A.
6．C
【解析】因为an−an−1=1n​2+n=1nn+1=1n−1n+1，所以an=an−an−1+an−1−an−2+…+a2−a1+a1=1n−1n+1+1n−1−1n+⋯+12−13+12=1−1n+1=nn+1，所以a2024=20242025.故选C.
7．C
【解析】依题意可知，每个景点至少1人，至多3人，甲、乙都单独1人去一个景点，则有C43A44+C42C22A22⋅A44=96+72=168种. 故选C.
8．A
【解析】设gx=exfx，则g​′x=e​x[fx+f​′x]>0，故gx单调递增. 因为f0=0，故g0=e0f0=0，所以fx​2+4x−5>0可转化为ex2+4x−5fx2+4x−5>0，即gx​2+4x−5>g0，因为gx单调递增，所以x​2+4x−5>0，解得x<−5或x>1，即不等式fx​2+4x−5>0的解集为−∞,−5∪1,+∞. 故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．AB
【解析】设这7个数依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，其和S7=7a4=5，所以a4=57，要使这7个数均为正数，则a1>0,a7>0,所以a4−3d>0,a4+3d>0,解得−52110．AB
【解析】由f​′x的图象可知x∈−2,2时，f​′x<0，则fx单调递减，故A正确；又x∈2,4时，f​′x>0，则fx单调递增，所以当x=2时，fx有极小值f2，故B正确；由f​′x的图象可知x=−2，2，4时，fx有极值，所以fx有3个极值点，故C错误；当x∈−3,−2时，f​′x>0，则fx单调递增，所以f−311．ABD
【解析】当n≥2，n∈N∗时，an=Sn−Sn−1=n​2−n−1​2=2n−1，当n=1时，a1=S1=1，满足上式，所以an=2n−1，故A正确；bn=an+1⋅12an=2n⋅122n−1，故B正确；Tn=1+24+342+⋯+n4n−1，14Tn=14+24​2+34​3+…+n4​n，所以34Tn=1+14+142+⋯+14n−1−n4n=1−14n1−14−n4n=43−43×14n−n4n，即Tn=169−3n+49×4​n−1，故C错误；对任意的n∈N∗，λ⋅3n+42n+2n−9Tn−169>0恒成立，即λ>49×2n−92n恒成立，设cn=2n−92​n，所以cn+1−cn=2n−72​n+1−2n−92​n=11−2n2​n−1，当n≤5时，cn+1−cn>0，即cn+1>cn；当n≥6时，cn+1−cn<0，即cn+149×364=148，故λ的取值范围是148,+∞，故D正确. 故选ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2或4
【解析】由题意，可知2C6x=6×5，C6x=6×52=C62，所以x=2或x=4.
13．12
【解析】由a2an−1=128，得a1an=128，又014．−∞,0
【解析】令fx=xex−x−lnx+a−1=0，所以xex−x−lnx=ex+lnx−x+lnx=1−a. 令t=x+lnx，易得t∈R，则et−t=1−a，令gt=et−t，则fx有两个零点等价于函数gt=et−t的图象与直线y=1−a有两个交点.g′t=et−1，当t<0时，g​′t<0，当t>0时，g​′t>0，即gt在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，所以gt≥g0=1，当t→−∞时，gt→+∞，当t→+∞时，gt→+∞，则y=1−a>1，解得a<0，即实数a的取值范围是−∞,0.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1） 解：设{an}的公差为d，由a5=14，S5=a23，得a1+4d=14,5a1+5×42d=a1+22d,解得a1=6,d=2.…………4分
所以{an}的通项公式为an=6+n−1×2=2n+4.…………6分
（2） 由a1=6，d=2，得Sn=6n+nn−12×2=n​2+5n.…………8分
所以bn=Sn−5n=n，bn+1−bn=1，所以数列{bn}是等差数列，…………11分
所以Tn=1+n2×n=n​2+n2.…………13分
16．（1） 解：当a=1时，fx=x2−x−lnx，其定义域为0,+∞.…………1分
f​′x=2x−1−1x=2x​2−x−1x=2x+1x−1x，…………2分
当x∈0,1时，f​′x<0，当x∈1,+∞时，f​′x>0，…………4分
所以fx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,+∞.…………6分
（2） 不等式fx≤0在[e−1,e2]上有解等价于a≤1x+lnxx2在[e−1,e2]上有解，
令gx=1x+lnxx2，x∈[e−1,e2]，则a≤gx​max，x∈[e−1,e2]…………8分
g′x=−1x2+1−2lnxx3=1−2lnx−xx3，…………9分
令ℎx=1−2lnx−x，x∈[e−1,e2]，易知ℎx在[e−1,e2]上单调递减，且ℎ1=0，…………11分
所以当x∈[e−1,1)时，ℎx>0，即g​′x>0，当x∈(1,e2]时，ℎx<0，即g​′x<0，
所以gx在[e−1,1)上单调递增，在(1,e2]上单调递减.…………13分
所以gxmax=g1=1，…………14分
所以a≤1，即实数a的取值范围为(−∞,1].…………15分
17．（1） 解：按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：先排第1个节目，有C2l种安排方法，再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有C51种排法，最后余下的节目随便排，有A35种排法，由分步计数原理得共有C21C51A55=1200种排法.…………5分
（2） 先排非舞蹈节目，有A55种排法，将2个舞蹈节目插到6个空中，有A62种排法，故A55A62=3600种排法…………10分
（3） 前3个节目共三种情况：一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有C41C22A33A44=576种排法，另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有C42C21A33A44=1728种排法，最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个，有C41C21C11A33A44=1152种排法，故共有576+1728+1152=3456种排法.…………15分
18．（1） 解：因为fx=3alnx+12x2−a+3x，
所以f′x=3ax+x−a+3=x−3x−ax.…………2分
所以曲线y=fx在点1,f1处切线的斜率为k=f​′1=2a−1，…………4分
又曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线x+2y+11=0垂直，
所以2a−1×−12=−1，解得a=2.…………6分
（2） 由（1）可知f​′x=x−3x−ax，0令f​′x>0，得03，令f​′x<0，得a所以函数fx在a,3上单调递减，在0,a，3,+∞上单调递增.…………9分
所以fx极大值=fa=3alna−12a2−3a，fx极小值=f3=3aln3−3a−92，
fx极大值−fx极小值=3alna3−12a2+92.…………12分
当a=1时，fx极大值−fx极小值=3alna3−12a2+92=4−3ln3.…………14分
下面证明a=1是3alna3−12a2+92=4−3ln30令ℎa=g′a=3lna3+3−a00，…………16分
所以ℎa=g​′a在0,3上单调递增，所以g​′a且只有a=1时，g1=4−3ln3.
综上所述，a=1.…………17分
19．（1） 解：fx与gx具有C关系.…………2分
理由如下：根据定义，若在fx与gx的定义域的交集上存在x，使得fx+gx=0，则fx与gx具有C关系.
令mx=fx+gx=ex+x−2，x∈R，则m​′x=ex+1>0，所以mx单调递增，
又m0=1−2=−1，m1=e+1−2=e−1>0，所以∃x0∈0,1，使得mx0=0，即fx0+gx0=0，
即fx与gx具有C关系.…………6分
（2） 令ℎx=fx+gx，则ℎx=xex−ksinx，
因为fx与gx在0,π上具有C关系，所以ℎx在0,π上存在零点.…………7分
ℎ′x=x+1ex−kcsx，
若01，−kcsx<−k≤1，所以ℎ​′x>0，
所以ℎx在0,π上单调递增，则ℎx>ℎ0=0，此时ℎx在0,π上不存在零点，不满足题意.…………10分
若k>1，当x∈[π2,π)时，csx≤0，ℎ​′x>0，
当x∈0,π2时，设φx=ℎ​′x=x+1ex−kcsx，则φ​′x=x+2ex+ksinx>0，所以φx=ℎ​′x在0,π2上单调递增，
又ℎ​′0=1−k<0，ℎ​′π2=π2+1eπ2>0，
故ℎ​′x在0,π2上存在唯一零点，设零点为α，则ℎ′α=0，…………12分
所以当x∈0,α时，ℎ​′x<0；当x∈α,π2时，ℎ​′x>0；当x∈[π2,π)时，ℎ​′x>0.
所以ℎx在0,α上单调递减，在α,π上单调递增，ℎx在0,π上存在唯一极小值点α，…………14分
因为ℎ0=0，所以ℎa<0，
又ℎπ=πex>0，所以ℎx在0,π上存在唯一零点β，所以函数fx与gx在0,π上具有C关系.
综上所述，k>1，即实数k的取值范围是1,+∞.…………17分