人教A版普通高中数学一轮复习第六章第五节空间向量及其运算学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第六章第五节空间向量及其运算学案，共24页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．

自查自测
知识点一 空间向量的有关概念、定理
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．( × )
(2)空间中所有的单位向量的模都相等．( √ )
(3)空间任意三个向量都可构成空间的一个基底．( × )
(4)空间向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )
(5)空间中任意两个非零向量都共面．( √ )
2．(教材改编题)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M.设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与C1M相等的向量是( )
A．－12a＋12b＋c
B．12a＋12b＋c
C．－12a－12b－c
D．－12a－12b＋c
C 解析：C1M＝C1C＋CM＝C1C＋12(CB+CD)＝A1A＋12DA＋12BA＝－12a－12b－c.
3．在空间四点O，A，B，C中，若{OA，OB，OC}是空间的一个基底，则O，A，B，C四点 ．(填“共面”或“不共面”)
不共面 解析：若四点共面，则OA，OB，OC共面，构不成基底．
核心回扣
1．空间向量的有关概念
2．空间向量的有关定理及推论
自查自测
知识点二 两个非零空间向量的数量积
如图，若四面体ABCD的每条棱长都等于2，E，F分别为棱AB，AD的中点，则|BC-EF|＝ ，EF与AC所成的角为 ．
3 90° 解析：因为EF＝12BD，BD·BC＝2×2×cs 60°＝2，所以|BC-EF|2＝BC-12BD2＝|BC|2－BC·BD＋14|BD|2＝4－2＋14×4＝3，所以|BC-EF|＝3.
因为EF＝12BD＝12(AD-AB)，所以AC·EF＝12AC·(AD-AB)＝12(AC·AD-AC·AB)＝0，所以〈EF，AC〉＝90°.
核心回扣
数量积及其性质
(1)a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉；
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
(3)|a|2＝a2，|a|＝a·a；
(4)cs 〈a，b〉＝a·bab．
111111
注意点：
(1)a·b＝b·ca＝c；
(2)(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．
自查自测
知识点三 空间向量运算的坐标表示
1．(多选题)已知空间向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A．(2a＋b)∥a
B．5|a|＝3|b|
C．a⊥(5a＋6b)
D．a与b夹角的余弦值为36
BC 解析：因为2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而-1-2≠2-1≠71，故A不正确；因为|a|＝6，|b|＝52，所以5|a|＝3|b|，故B正确；因为a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝5×(4＋1＋1)＋6×(－6－4＋5)＝0，故C正确；又因为a·b＝－5，所以cs 〈a，b〉＝-56×52＝－36，故D不正确．
2．如图，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，E为PB的中点，cs 〈DP，AE〉＝33．若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为 ．
(1，1，1) 解析：由已知得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)．设P(0，0，a)(a＞0)，则E1，1，a2，所以DP＝(0，0，a)，AE＝-1，1，a2，|DP|＝a，|AE|＝-12+12+a2 2＝8+a22．因为cs 〈DP，AE〉＝33，所以0×-1+0×1+a×a2a×8+a22＝33，解得a＝2(负值舍去)，所以E(1，1，1)．
核心回扣
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
【常用结论】
1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA＝xOB+yOC(其中x＋y＝1)，O为平面中的任意一点．
2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP＝xOA+yOB+zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．若x＝y＝z＝13，则点P为△ABC的重心．
应用 在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是( )
A．OM＝2OA-OB-OC
B．OM＝15OA＋13OB＋12OC
C．MA＋2MB+MC＝0
D．OM+OA+OB+OC＝0
C 解析：根据共面向量定理，对于OM＝xOA+yOB+zOC，若A，B，C，M共面，则x＋y＋z＝1，由此可得A，B，D不正确．
选项C可化为MA＝－2MB-MC，所以M，A，B，C四点共面．
空间向量的线性运算
1．在空间四边形ABCD中，AB＝(－3，5，2)，CD＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF的坐标为( )
A．(2，3，3)B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2，1)D．(－5，2，－1)
B 解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，
所以EF＝OF-OE，OF＝12(OA+OD)，OE＝12(OB+OC)．
所以EF＝12(OA+OD)－12(OB+OC)＝12(BA+CD)＝12×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心．若AF＝xAD+yAB＋zAA1，则x－y＋z等于( )
A．12B．1
C．32D．2
B 解析：AF＝AD+DF＝AD＋12(DD1＋DC)＝AD＋12(AA1＋AB)＝AD＋12AB＋12AA1，则x＝1，y＝12，z＝12，所以x－y＋z＝1.
3．(2024·滨州模拟)已知空间向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，则a－b＋2c＝ ．
(－4，3，3) 解析：因为a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3)．
空间向量线性运算的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)将已知向量与所求向量转化到三角形或平行四边形中，利用三角形法则、平行四边形法则、多边形法则把所求向量用已知向量表示出来．
(3)空间向量的坐标运算类似平面向量的坐标运算．
共线向量定理、共面向量定理及其应用
【例1】(1)空间向量a＝(2，2，－1)的一个单位向量的坐标是 ．
23，23，-13(答案不唯一) 解析：|a|＝4+4+1＝3，所以a的一个单位向量的坐标是aa＝13(2，2，－1)＝23，23，-13．
(2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝13(OA+OB+OC)．
①判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
②判断点M是否在平面ABC内．
解：①由题意知OA+OB+OC＝3OM，
所以OA-OM＝(OM-OB)＋(OM-OC)，
即MA＝BM+CM＝－MB-MC，
所以MA，MB，MC共面．
②因为OM＝13(OA+OB+OC)＝13OA＋13OB＋13OC，且13＋13＋13＝1，
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
[变式] 本例(1)若改为：“与空间向量a＝(2，2，－1)共线的单位向量的坐标”，结果如何？
解：|a|＝4+4+1＝3，
所以与a共线的单位向量的坐标为±aa＝±13(2，2，－1)＝23，23，-13或-23，-23，13．
1．共线、共面向量定理的应用
(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线．
(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行、四点共面．
(3)根据向量共线和向量共面求参数取值．
2．证明四点P，M，A，B共面的方法
(1)MP＝xMA+yMB.
(2)对空间内任意一点O，OP＝OM+xMA+yMB.
(3)对空间内任意一点O，OP＝xOM+yOA+zOB(x＋y＋z＝1)．
(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.
1．(2024·湛江模拟)已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝13，y＝1
B．x＝12，y＝－4
C．x＝2，y＝－14
D．x＝1，y＝－1
B 解析：a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，
2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．
由题意得1+2x2-x＝43＝4-y-2y-2(x≠2，y≠－1)，
解得x＝12，y＝－4.
2．如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF＝13AD，AG＝2GA1，AC1与平面EFG交于点M，则AMAC1＝ ．
213 解析：由题可设 AM＝λAC1(0＜λ＜1)，
因为AC1＝AB+AD＋AA1＝2AE＋3AF＋32AG，所以AM＝2λAE＋3λAF＋32λAG.
因为M，E，F，G四点共面，
所以2λ＋3λ＋32λ＝1，解得λ＝213．
空间向量的数量积及其应用
考向1 空间向量数量积的运算
【例2】(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为( )
A．1B．12
C．14D．34
C 解析：此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，如图．
因为点E，F分别是BC，AD的中点，
所以AE＝12AB＋12AC，
所以AE·AF＝12AB+12AC·AF＝12AB·AF＋12AC·AF＝12|AB||AF|cs 60°＋12·|AC|·|AF|cs 60°＝12×1×12×12＋12×1×12×12＝14．
(2)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在正方体的12条棱上(包括顶点)运动，则AC·BP的取值范围是 ．
[－4，4] 解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，AC＝(－2，2，0)，点P在正方体的12条棱上运动，设P(x，y，z)，则BP＝(x－2，y－2，z)，
所以AC·BP＝4－2x＋2y－4＝2y－2x.
因为0≤x≤2，0≤y≤2，所以－4≤2y－2x≤4.
当x＝2，y＝0时，AC·BP取得最小值－4；
当x＝0，y＝2时，AC·BP取得最大值4，
所以AC·BP的取值范围是[－4，4].
空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
考向2 空间向量数量积的应用
【例3】(1)已知a＝(5，3，1)，b＝-2，t，-25，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为 ．
5215，+∞ 解析：由题意得a·b＞0且a，b不共线，所以-2×5+3t+-25×1＞0，-25≠t3，解得t＞5215，且t≠－65．故实数t的取值范围为5215，+∞．
(2)已知A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)．
①求〈AB，BC〉；
②求AC在AB上的投影向量．
解：①因为A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)，
所以AB＝(0，3，3)，BC＝(2，－2，0)．
因为AB·BC＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，|AB|＝32，|BC|＝22，
所以cs 〈AB，BC〉＝AB·BCABBC＝-632×22＝－12，
故〈AB，BC〉＝2π3．
②因为AC＝(2，1，3)，AB＝(0，3，3)，
所以AC·AB＝2×0＋1×3＋3×3＝12.
因为|AB|＝32，|AC|＝14，
所以cs 〈AC，AB〉＝AC·ABACAB＝1214×32＝277，
所以AC在AB上的投影向量为|AC|cs 〈AC，AB〉·ABAB＝14×277×AB32＝23AB＝(0，2，2)．
[变式] 若将本例(1)中“锐角”改为“钝角”，求实数t的取值范围．
解：由题意得a·b＜0且a，b不共线，
所以-2×5+3t+-25×1＜0，-25≠t3，
解得t＜5215，且t≠－65．
故实数t的取值范围为-∞，-65∪-65，5215．
空间向量数量积的应用
1．(2024·青岛模拟)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)．若(2a－b)·b＝1，则x＝( )
A．－3B．3
C．－1D．6
B 解析：2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)．
因为(2a－b)·b＝1，所以－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3.
2．如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
解：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，
c·a＝c·b＝2×1×cs 120°＝－1.
因为AC1＝AB+AD＋AA1＝a＋b＋c，
所以|AC1|2＝|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋4＋0－2－2＝2，所以|AC1|＝2，
即线段AC1的长为2.
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
解：由(1)可得AC1＝a＋b＋c，A1D＝b－c，
所以AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)
＝a·b－a·c＋|b|2－|c|2
＝0＋1＋1－4＝－2，
|A1D|＝|b－c|＝b-c2
＝b2+c2-2b·c
＝1+4+2＝7.
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，
则cs θ＝|cs 〈AC1，A1D〉|＝AC1TX→·A1DTX→AC1TX→A1DTX→
＝-22×7＝147，
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147．
(3)求证：AA1⊥BD．
证明：由(1)可得AA1＝c，BD＝b－a，
所以AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即AA1·BD＝0，
所以AA1⊥BD．
课时质量评价(三十六)
1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA+OB+OC，向量b＝OA+OB-OC，则与a，b不能构成空间的一个基底的向量是( )
A．OAB．OB
C．OCD．OA或OB
C 解析：因为OC＝12(OA+OB+OC)－12(OA+OB-OC)＝12(a－b)，
所以OC与a，b不能构成空间的一个基底．
2．(2024·台州模拟)若向量a＝(1，1，2)，b＝(2，x，y)，且a∥b，则|b|＝( )
A．2B．22
C．6D．26
D 解析：由题意，得21＝x1＝y2，解得x＝2，y＝4，故b＝(2，2，4)，所以|b|＝22+22+42＝26.
3．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．下列结论正确的有( )
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．AP是平面ABCD的一个法向量
D．AP∥BD
ABC 解析：对于A，AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以AP⊥AB，即AP⊥AB，故A正确；
对于B，AP·AD＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以AP⊥AD，即AP⊥AD，故B正确；
对于C，由AP⊥AB，且AP⊥AD，得出AP是平面ABCD的一个法向量，故C正确；
对于D，由AP是平面ABCD的法向量，得出AP⊥BD，故D错误．
4．设向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，向量ma＋nb与x轴垂直时，实数m与n满足( )
A．3m＝2nB．3m＝n
C．m＝2nD．m＝n
A 解析：ma＋nb＝(3m－2n，5m＋n，2m＋3n)，取x轴的方向向量为e＝(1，0，0)．因为向量ma＋nb与x轴垂直，所以3m－2n＝0，解得3m＝2n.
5．如图，在一个120°的二面角的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直．若AB＝2，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( )
A．2B．3
C．23D．4
B 解析：因为CA⊥AB，BD⊥AB，二面角大小为120°，所以CA·AB＝0，BD·AB＝0，CA·BD＝|CA||BD|cs (180°－120°)＝1×2×12＝1.
因为CD＝CA+AB+BD，
所以CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2AB·BD＝1＋2＋4＋0＋2×1＋0＝9，所以|CD|＝3.
6．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为 ．
π6 解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，
所以cs 〈a，b〉＝a·bab＝31+1×1+1+4＝32．
又因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以向量a与b的夹角为π6．
7．(2024·西安模拟)在空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的点，且满足AM＝23AB，DN＝34DC，点G在线段MN上，且满足MG＝3GN.若向量AG满足AG＝xAB+yAC+zAD，则x＋y＋z＝ ．
1112 解析：如图，连接MN，AN，AG.
由于MG＝3GN，故AG-AM＝3(AN-AG)，整理得4AG＝3AN+AM＝3AD＋3DN+AM＝3AD＋94DC＋23AB＝3AD＋94AC－94AD＋23AB＝34AD＋94AC＋23AB，
所以AG＝316AD＋916AC＋16AB，
故x＝16，y＝916，z＝316，
所以x＋y＋z＝1112．
8．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是 ．
89，-49，89 解析：因为空间向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，所以a·b＝4，b＝4+1+4＝3，所以向量a在向量b上的投影向量为a·bb×bb＝43×13(2，－1，2)＝89，-49，89．
9．在棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝13CD，H是C1G的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求cs〈EF，C1G 〉；
(3)求FH的长．
(1)证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，B1(2，2，2)，G0，43，0，
所以EF＝(1，1，－1)，B1C＝(－2，0，－2)，
所以EF·B1C＝1×(－2)＋1×0＋(－1)×(－2)＝0，
所以EF⊥B1C，故EF⊥B1C．
(2)解：因为C1G＝0，-23，-2，
所以|C1G|＝2103．
因为EF＝(1，1，－1)，所以|EF|＝3，EF·C1G＝1×0＋1×-23＋(－1)×(－2)＝43，
所以cs 〈EF，C1G〉＝EF·C1GTX→EFC1GTX→＝433×2103＝3015．
(3)解：因为H是C1G的中点，
所以H0，53，1．
又因为F(1，1，0)，
所以HF＝1，-23，-1，
所以|HF|＝12+-23 2+-12＝223，
即FH＝223．
10．(多选题)(2024·沈阳模拟)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则( )
A．AB与AC是共线向量
B．与向量AB方向相同的单位向量坐标是255，55，0
C．AB与BC夹角的余弦值是5511
D．BC在AB上的投影向量的模为5
BD 解析：由已知得AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，BC＝(－3，1，1)，且-12≠21，
因此AB与AC不共线，故A错误；
|AB|＝5，所以与向量AB方向相同的单位向量坐标是15(2，1，0)＝255，55，0，故B正确；
AB·BC＝－5，|BC|＝11，
cs 〈AB，BC〉＝AB·BCABBC＝-55×11＝－5511，故C错误；
BC在AB上的投影向量的模是BC·ABAB＝-55＝5，故D正确．
11．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A．32B．155
C．105D．33
C 解析：如图，由题意知，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC．
因为BC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以BB1⊥BC，CC1⊥AB．
因为AB1＝BB1－BA，BC1＝BC＋CC1，
所以AB1·BC1＝BB1·BC＋BB1·CC1－BA·BC-BA·CC1＝0＋1－2×1×-12－0＝2.因为AB1TX→＝5，|BC1|＝2，
所以cs 〈AB1，BC1〉＝AB1TX→·BC1TX→AB1TX→BC1TX→＝25×2＝105，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为105．
12．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是( )
A．23B．33
C．23D．53
C 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，C1(0，1，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，所以DC1＝(0，1，2)，DA＝(1，0，0)，AC＝(－1，1，0)．
设DP＝λDC1，AQ＝μAC(λ，μ∈[0，1])，
所以DP＝λ(0，1，2)＝(0，λ，2λ)，
DQ＝DA+AQ＝DA+μAC＝(1，0，0)＋μ(－1，1，0)＝(1－μ，μ，0)．
所以PQ＝DQ-DP＝(1－μ，μ－λ，－2λ)，
所以|PQ|＝1-μ2+μ-λ2+4λ2＝5λ-μ52+95 μ-592+49 ≥49＝23，当且仅当λ＝μ5，μ＝59，即λ＝19，μ＝59时取等号．
所以线段PQ长度的最小值为23．
13．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，C1N＝λNC，且AB1⊥MN，则λ的值为 ．
15 解析：如图，取B1C1的中点P，连接MP，以MC，MA，MP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
因为底面边长为1，侧棱长为2，
则A0，32，0，B1-12，0，2，C12，0，0，C112，0，2，M(0，0，0)．
设N12，0，t，因为C1N＝λNC，
所以N12，0，21+λ，
所以AB1＝-12，-32，2，
MN＝12，0，21+λ．
因为AB1⊥MN，所以AB1·MN＝0，
所以－14＋41+λ＝0，解得λ＝15.
14．如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．
(1)用向量AB和AA1表示向量MN.
(2)向量MN与向量AB，AA1是否共面？
解：(1)因为AN＝AB+BN＝AB＋k(AC-AB)＝(1－k)AB+kAC，AM＝kAC1＝k(AA1＋AC)，
所以MN＝AN-AM＝(1－k)AB+kAC－kAA1－kAC＝(1－k)AB－kAA1．
解：(2)由(1)可知，MN＝(1－k)AB－kAA1，
所以向量MN与向量AB，AA1共面．
15．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P为线段BC的中点．
(1)求|D1P|；
解：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，BP＝PC．
设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底．
所以D1P＝AP－AD1＝(AB+BP)－(AD＋AA1)＝a+12b－(b＋c)＝a－12b－c.
所以D1P2＝a-12b-c2＝a2＋14b2＋c2－a·b－2a·c＋b·c＝4＋14×4＋1－2×2×12－2×2×1×12＋2×1×12＝3，
所以D1PTX→＝3.
(2)求直线AB1与D1P所成角的余弦值．
解：由(1)，知D1P＝a－12b－c，|D1P|＝3.
因为AB1＝a＋c，所以|AB1|＝a+c2＝a2+c2+2a·c＝4+1+2×2×1×12＝7，
AB1·D1P＝(a＋c)a-12b-c＝a2－12a·b－a·c＋a·c－12b·c－c2＝4－12×2×2×12－12×2×1×12－1＝32，
所以cs 〈AB1，D1P〉＝AB1TX→·D1PTX→AB1TX→D1PTX→＝327×3＝2114，
故直线AB1与D1P所成角的余弦值为2114．
名称
概念
零向量
长度(模)为0的向量
单位向量
长度(模)为1的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
语言描述
共线向
量定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb
共面向
量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量
基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc
推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA+yOB+zOC，且x＋y＋z＝1
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，
λ∈R)
a1＝λb1，
a2＝λb2，
a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，
b≠0)
a1b1＋a2b2＋
a3b3＝0
模
a
a12+a22+a32
夹角
〈a，b〉
(a≠0，b≠0)
cs 〈a，b〉＝
a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32&·b12+b22+b32
求夹角
设向量a，b所成的角为θ，则cs θ＝a·bab，进而可求两异面直线所成的角
求长度
(距离)
运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题