人教A版普通高中数学一轮复习第六章学科特色微专题寻找球心解决与球有关的问题学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第六章学科特色微专题寻找球心解决与球有关的问题学案，共6页。
类型一 定义法
【例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A．3172B．210
C．132D．310
C 解析：如图，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M，连接AM，OA．
因为AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC＝5.
又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA＝522+62＝132．
【例2】(2024·宣城模拟)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝22，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是( )
A．14πB．16π
C．18πD．20π
D 解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝22，AC＝4，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cs 45°＝8＋16－2×22×4×22＝8，则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB．
由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB．
因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，
所以△PBC为直角三角形．
又△PAC为直角三角形，
所以PC是三棱锥P-ABC外接球的直径．
设O是PC的中点，即为球心，
又AC＝4，PA＝2，
所以PC＝AC2+PA2＝42+22＝25，
所以外接球的半径为5，所求外接球的表面积S＝4π×(5)2＝20π.
1．到各个顶点距离相等的点为外接球的球心．
2．方法：借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解．
3．结论：
(1)正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．
(2)棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点．
(3)正棱锥的外接球球心在高线上．
类型二 补形法
【例3】在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，向量BC与AD的夹角为2π3．若AB＝6，BC＝AD＝3，则该四面体外接球的表面积为( )
A．18πB．36π
C．54πD．72π
D 解析：将四面体ABCD补成如图所示的直三棱柱ADE-BFC．
因为向量BC与AD的夹角为2π3，所以∠EAD＝2π3．在△ADE中，由余弦定理得DE2＝AD2＋AE2－2AD·AE·cs ∠EAD＝27，所以DE＝33，△ADE外接圆的半径r＝DE2sin∠EAD＝3.
该四面体外接球的半径R＝32+32＝32，所以该四面体外接球的表面积为4π×(32)2＝72π.
【例4】棱长为a的正四面体的体积与其内切球体积之比为 ．
63π 解析：如图，将正四面体放入正方体中．
显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD的中心O1都在正方体的体对角线上．因为正四面体的棱长为a，所以|DO1|＝33a，|O1A|＝a2-33a2＝63a，|AO|＝64a，所以该正四面体内切球的半径|OO1|＝612a，所以该正四面体与其内切球体积之比为V正四面体V内切球＝13×34a2×63a4π3×612a3＝63π．

1．补形法的解题策略：
(1)侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到正方体或长方体中去求解．
(2)将直三棱锥补成三棱柱求解．
2．常用结论：
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
若球为正方体的内切球，则2R＝a；
若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
(2)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2+b2+c2.
类型三 截面法
【例5】(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球 O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为( )
A．212B．312
C．24D．34
A 解析：如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝2.连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝OA2-AB2 2＝1-222＝22，
所以三棱锥O-ABC的体积V＝13S△ABC·OO1＝13×12×1×1×22＝212．
【例6】为庆祝国庆，某中学将举行全校师生游园活动，其中有一个游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1 cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是( )
A．25+33π3 cm3
B．45+33π3 cm3
C．2(5＋33)π cm3
D．85+33π3 cm3
B 解析：分别作出四个小球和容器的正视截面图和俯视截面图，如图所示．
正视截面图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有OA2＋AB2＝OB2.
俯视截面图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到小球球心的距离O1A1与正视截面图中的OA相等．
设半球的半径为R，已知小球半径r＝1 cm，所以OA＝2 cm，AB＝1 cm，OB＝3 cm，R＝OB＋r＝(3＋1)cm.
因此，半球面形状的容器的容积是V＝12×43πR3＝12×43π×(3＋1)3＝45+33π3(cm3)．

1．与球截面有关的解题策略
(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径．
(2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．
2．正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径之比R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)．