人教A版普通高中数学一轮复习第六章第四节直线、平面垂直的判定与性质学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第六章第四节直线、平面垂直的判定与性质学案，共28页。

自查自测
知识点一 直线与平面垂直
判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直．( × )
(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直．( × )
(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线和这个平面内的所有直线都垂直．( √ )
(4)已知△ABC和两条不同的直线l，m，若l⊥AB，l⊥AC, m⊥BC，m⊥AC，则直线l∥m.( √ )
核心回扣
1．判定定理：
文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
符号表示：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.
2．性质定理：
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
符号表示：a⊥α，b⊥α⇒a∥b．
注意点：
判定定理中平面内的两条直线必须是相交直线．
自查自测
知识点二 平面与平面垂直
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，那么α⊥β.( × )
(2)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．( × )
(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × )
(4)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面．( × )
2．(教材改编题)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥矩形底面ABCD，则四棱锥的四个侧面中，一定垂直的侧面有 对．
3 解析：由题意知PA⊥矩形底面ABCD，所以PA⊥CD．又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB．
核心回扣
1．面面垂直的定义：两个相交平面所成的二面角是直二面角．
2．判定定理：
文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
符号表示：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.
3．性质定理：
文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
符号表示：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α．
注意点：
面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
自查自测
知识点三 线面角和二面角
1．(教材改编题)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为( B )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
2．在正四面体A-BCD中，二面角A-BC-D的余弦值是( )
A．13B．12
C．33D．32
A 解析：如图，取BC的中点F，连接AF，DF，
则AF⊥BC，DF⊥BC，所以∠AFD为二面角A-BC-D的平面角．
设正四面体D-ABC的棱长为6，在正三角形ABC中，AF＝AB sin 60°＝33.
同理DF＝BD sin 60°＝33.
在△AFD中，由余弦定理得cs ∠AFD＝FD2+FA2−AD22FD·FA＝27+27−362×33×33＝13．
3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为( )
A．60°B．30°
C．45°D．15°
C 解析：由条件得，PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.
核心回扣
1．线面角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角．
(2)特例：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°．
(3)取值范围：0，π2．
2．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角．
(3)取值范围：[0，π]．
【常用结论】
1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
3．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
4．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
应用1 已知l1，l2是平面α内的两条直线，l是空间中的一条直线，则“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A 解析：当l⊥α时，l1⊂α，l2⊂α，所以l⊥l1且l⊥l2；当l⊥l1且l⊥l2，l1⊂α，l2⊂α时，因为无法判断l1，l2是否相交，所以l⊥α可能成立，也可能不成立．综上，“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的充分不必要条件．
应用2 (多选题)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列说法中正确的是 ( )
A．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
B．若m∥n，m∥α，则n∥α
C．若α∩β＝n，α⊥γ，β⊥γ，则n⊥γ
D．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
ACD 解析：由线面平行的性质可知A正确．
若m∥n，m∥α，则n⊂α或n∥α，故B错误．
若α⊥γ，则在γ内可作a⊥α.因为α∩β＝n，所以n⊂α，则a⊥n.同理，在γ内可作b⊥β，可得b⊥n.因为α∩β＝n，所以a，b也相交，所以n⊥γ，故C正确．
若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又α∥γ，由平行的传递性可得β∥γ，故D正确．
垂直关系的基本问题
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有( )
A．l⊥mB．m∥β
C．m⊥βD．l∥m
A 解析：因为m⊥γ，且l⊂γ，所以l⊥m，A正确，D错误．直线m和平面β不能确定关系．
2．(多选题)(2024·聊城模拟)已知空间中的两条直线m，n和两个平面α，β，则“α⊥β”的充分条件是( )
A．m⊥α，m∥β
B．m⊂α，n⊂β，m⊥n
C．m⊂α，m∥n，n⊥β
D．m⊥n，m⊥α，n⊥β
ACD 解析：若m∥β，则存在一条直线l⊂β，使得m∥l.因为m⊥α，所以l⊥α.又l⊂β，所以α⊥β，即条件“m⊥α，m∥β”能够推出“α⊥β”，故A正确．
当m⊂α，n⊂β，m⊥n时，α，β可能相交或平行，故B错误．
若n⊥β，m∥n，则m⊥β.因为m⊂α，所以α⊥β，故C正确．
若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α.因为n⊥β，所以α⊥β，故D正确．
3．(多选题)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是真命题的为( )
A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
ACD 解析：由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，所以该直线平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确．
与线面垂直关系有关命题真假的判断方法
(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无须作图通过空间想象来判断．
(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．
(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明．
几何法求线面角和二面角
【例1】(1)(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形．若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为( )
A．15B．25
C．35D．25
C 解析：如图，取AB的中点E，连接CE，DE.
因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，所以CE⊥AB．
因为△ABD是等边三角形，所以DE⊥AB，所以∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即∠CED＝150°.
因为CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，
所以AB⊥平面CDE.
因为AB⊂平面ABC，
所以平面CDE⊥平面ABC．
因为平面CDE∩平面ABC＝CE，CD⊂平面CDE，
所以直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，
所以∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角．
令AB＝2，则CE＝1，DE＝3，
在△CDE中，由余弦定理，得
CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE cs ∠CED＝1＋3－2×1×3×−32＝7，所以CD＝7.
由正弦定理，得DEsin∠DCE＝CDsin∠CED，
即sin ∠DCE＝3sin150°7＝327．
显然∠DCE是锐角，所以cs ∠DCE＝1−sin2∠DCE＝1−3272＝527，
tan∠DCE＝sin∠DCEcs∠DCE＝35，
所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为35．
(2)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C1-BD-C的大小为 ．
30° 解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.
因为C1D＝C1B，O为BD的中点，所以C1O⊥BD．
因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角．
在Rt△C1CO中，C1C＝2，CO＝12AC＝6，则C1O＝C1C2+CO2＝22，所以sin ∠C1OC＝C1CC1O＝12，所以∠C1OC＝30°.
由图可知，二面角C1-BD-C为锐二面角，
即二面角C1-BD-C的大小为30°.
求线面角、二面角的常用方法
(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．
(2)二面角大小的求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有定义法和垂面法．注意利用等腰三角形和等边三角形的性质．
1．在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是边长为8的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA＝14，则直线AB与平面PBC所成角的正弦值为( )
A．7183122B．793122
C．5183122D．61122
A 解析：因为PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC．
由题意可得PB＝PC＝82+142＝265.
在△PBC中，设边BC上的高为h，则h＝PB2−BC2 2＝261，所以△PBC的面积S△PBC＝12×8×261＝861.
设点A到平面PBC的距离为d，
因为VP-ABC＝VA-PBC，即
13×14×12×8×8×32＝13×d×861，
解得d＝2818361．
设直线AB与平面PBC所成的角为θ，
则sin θ＝dAB＝28183618＝7183122．
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PCD；
证明：如图，取PD的中点G，连接GE，GC．
因为E，F分别为PA，BC的中点，底面ABCD为菱形，
所以GE∥DA∥CF，GE＝12DA＝12CB＝CF，
所以四边形GEFC是平行四边形，
所以EF∥GC．
又因为GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．
(2)若PD⊥平面ABCD，∠ADC＝120°，且PD＝2AD＝4，求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值．
解：如图，取AD的中点H，连接EH，则EH∥PD，EH＝12PD＝2.
因为PD⊥平面ABCD，
所以EH⊥平面ABCD．
因为∠ADC＝120°，四边形ABCD为菱形，
所以∠DCB＝60°，所以△BCD为正三角形．
又因为F为BC的中点，
所以∠CDF＝30°，∠FDA＝∠ADC－∠CDF＝90°，即AD⊥DF.
因为平面DEF∩平面ABCD＝DF，
所以∠EDH(或其补角)为平面DEF与平面ABCD的夹角，
cs ∠EDH＝DHDE＝12AD12AD2+EH2＝55，
所以平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为55．
线面垂直、面面垂直的判定与性质
考向1 线面垂直的判定与性质
【例2】(2024·淄博质检)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD．
因为AC⊥CD，PA∩AC ＝A，PA，AC⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC．因为AE⊂平面PAC,
所以CD⊥AE.
(2)因为PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，故AC＝PA．
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．因为PD⊂平面PCD，
所以AE⊥PD．
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB．
又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．因为PD⊂平面PAD，
所以AB⊥PD．
又因为AB∩AE ＝A，AB，AE⊂平面ABE，
所以PD⊥平面ABE.
1．证明线面垂直的四种方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则其与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理．
2．证明线线垂直的四种方法
(1)利用特殊图形(直角三角形、矩形、直角梯形)中的垂直关系．
(2)利用等腰三角形底边中线的性质．
(3)利用勾股定理的逆定理进行计算证明．
(4)利用直线与平面垂直的定义和性质．
考向2 面面垂直的判定与性质
【例3】(1)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在( )
A．直线AC上B．直线AB上
C．直线BC上D．△ABC内部
B 解析：如图，连接AC1.因为BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA⊂平面ABC1，
所以AC⊥平面ABC1.
又因为AC⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面ABC1.
因为平面ABC∩平面ABC1＝AB，
由面面垂直的性质可知，要过点C1作C1H⊥平面ABC，则只需过点C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上．
(2)(2024·济南模拟)在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝6，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC＝30°，则PC＝( )
A．6B．26
C．10D．210
C 解析：如图，三棱锥P-ABC．
因为PA＝PB＝6，PA⊥PB，所以AB＝23.
因为AB⊥BC，∠BAC＝30°，
所以BC＝AB tan 30°＝2.
因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，AB⊥BC，BC⊂平面ABC，
所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
所以PC＝PB2+BC2＝10.
证明面面垂直的常用方法
(1)证明平面和平面垂直的方法：
①利用面面垂直的定义．
②利用面面垂直的判定定理．
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
1．(多选题)(2024·丽水模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E是BC1的中点，则( )
A．AE∥平面A1BB1
B．BD1⊥AC
C．A1E⊥AD1
D．A1E⊥平面BCC1B1
BC 解析：如图1，连接A1B，AE.由图可知AE与平面A1BB1相交于点A，故A错误．
图1
如图2，连接AC，BD，BD1，因为AC⊥DD1，AC⊥BD，DD1∩BD＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1.因为BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1，故B正确．
图2
如图3，连接A1B，A1C1，AD1，A1E，则△A1BC1为等边三角形．
因为E为BC1的中点，所以A1E⊥BC1.
因为AD1∥BC1，所以A1E⊥AD1，故C正确．
图3
由于A1B1⊥BCC1B1，过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故A1E不垂直于平面BCC1B1，故D错误．
2．如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA＝PC＝AB＝2，且平面PAC⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，PC的中点．
(1)求证：BD⊥PC；
(2)求点E到平面PAD的距离．
(1)证明：由正方形ABCD，可知BD⊥AC．
因为平面PAC⊥平面ABCD，
平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC．
因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．
(2)解：如图，设AC∩BD＝O，连接PO，DE，PE.
因为PA＝PC＝2，O为AC的中点，
所以PO⊥AC．
因为平面PAC⊥平面ABCD，
平面PAC∩平面ABCD＝AC，PO⊂平面PAC，
所以PO⊥平面ABCD，即PO是三棱锥P-ADE的高．
因为AB＝2，所以AO＝OD＝2，
所以PO＝PA2−OA2＝2.
因为Rt△POD≌Rt△POA，
所以PA＝PD＝2，△APD是等边三角形．
设点E到平面PAD的距离为d，
因为VE-PAD＝VP-ADE，
所以13S△PAD·d＝13S△ADE·PO，
即34×4×d＝12×2×1×2，解得d＝63，
所以点E到平面PAD的距离为63．
课时质量评价(三十五)
1．(多选题)下列说法正确的是( )
A．若直线a不平行于平面α，a⊄α，则α内不存在与a平行的直线
B．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α∥β
C．设l，m，n为直线，m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充要条件
D．若平面α⊥平面α1，平面β⊥平面β1，则平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补
AB 解析：若α内存在直线与a平行，则由直线和平面平行的判定定理知直线a与平面α平行，与条件相矛盾，故A正确；
由面面平行的判定定理可知B正确；
由线面垂直的判定定理知，当直线m，n不相交时，由l⊥m且l⊥n，得不到l⊥α，故C错误；
当α1∥β1且α⊥β时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90°，平面α1与平面β1所成的二面角为0°，故D错误．
2．(数学与文化)在《九章算术》中，将一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形．如图，在四面体P-ABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF(此外不再增加任何连线)，则图中直角三角形最多有( )
A．6个B．8个
C．10个D．12个
C 解析：为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体P-ABC为“鳖臑”，其中PA⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB．若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC．又AE⊥PB，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC．又EF⊥PC，知四面体P-AEF也是“鳖臑”，则题图中的10个三角形全是直角三角形．
3．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则平面BCD与平面BCA夹角的大小是 ( )
A．π4B．π3
C．π2D．2π3
C 解析：如图，取BC的中点为E，连接AE，DE.
因为△ABC，△DBC和△BAD全等，又AB＝AC＝3，BC＝2，所以DB＝DC＝3，AD＝2.
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，DE⊥BC，
所以∠AED为平面BCD与平面BCA夹角的平面角．
在△ABC中，AE⊥BC，AB＝AC＝3，BC＝2，
所以AE＝2，同理可得DE＝2.
在△AED中，因为AE＝2，DE＝2，AD＝2，
所以DE2＋AE2＝AD2，所以∠AED＝π2，
因此平面BCD与平面BCA夹角的大小为π2．
4．(2024·惠州模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
DM⊥PC(或BM⊥PC) 解析：连接AC(图略)，由三垂线定理可知，BD⊥PC．
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面CDD1C1所成的角为β，则α＋β＝ ．
π2 解析：如图，因为AD∥BC，所以∠D1BC为直线BD1与直线AD所成的角，即∠D1BC＝α.
因为BC⊥平面CDD1C1，所以∠BD1C为直线BD1与平面CDD1C1所成的角，即∠BD1C＝β，且BC⊥D1C．
在Rt△BD1C中，∠BCD1＝π2，所以∠D1BC＋∠BD1C＝π2，即α＋β＝π2．
6．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，△PBA为锐角三角形，且PB⊥BC．求证：
(1)AD∥平面PBC；
(2)平面PBC⊥平面PAB．
证明：(1)因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，
所以BC∥AD．
因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD∥平面PBC．
(2)过点P作PH⊥AB于点H，如图．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以PH⊥平面ABCD．
因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH.
因为△PBA为锐角三角形，所以点H与点B不重合，即PB∩PH＝H.
又因为PB⊥BC，PB，PH⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB．
因为BC⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAB．
7．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
A 解析：如图，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC．
由正方体的性质知AC⊥BD，AC⊥DD1.
因为BD∩DD1＝D，且BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1.
因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确．
由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在该正方体中，试想D1运动至A1时，平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，故B错误．
在平面ABB1A1中，易知AA1与B1E相交，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误．
易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，故D错误．
8．(多选题)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝22，则下列结论中正确的有( )
A．当点E运动时，A1C⊥AE总成立
B．当点E向点D1运动时，二面角A-EF-B逐渐变小
C．二面角E-AB-C的最小值为45°
D．三棱锥A-BEF的体积为定值
ACD 解析：对于A，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中可证其体对角线A1C⊥平面AB1D1，而AE⊂平面AB1D1，所以A1C⊥AE恒成立，故A正确；
对于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以当点E向点D1运动时，二面角A-EF-B的大小不变，故B错误；
对于C，当点E向点D1运动时，平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢，这个过程中，二面角E-AB-C 越来越小，所以二面角E-AB-C的最小值为∠D1AD＝45°，故C正确；
对于D，因为S△BEF＝12×22×1＝24，点A到平面BDD1B1的距离为22，所以三棱锥A-BEF的体积为13×24×22＝112，即三棱锥A-BEF的体积为定值，D正确．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD．若在边BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝ ．
2 解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ. 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ.又因为PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，PA，PQ⊂平面PAQ，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上．又因为在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，所以BC与圆O相切，所以OQ⊥BC．因为AD∥BC，所以OQ＝AB＝1，所以BC＝AD＝2OQ＝2，即a＝2.
10．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．
(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以A1C⊥BC．
因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．
因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因为BC⊂平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C．
(2)解：如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O.
因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1，
所以A1O⊥平面BCC1B1，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O.
因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以A1C⊥BC，
所以∠ACB＝∠A1CB＝90°.
因为A1B＝AB，BC为公共边，
所以△ABC≌△A1BC，
所以A1C＝AC．
设A1C＝AC＝x，则A1C1＝x，
所以O为CC1的中点，所以OC1＝12CC1＝12AA1＝1.
因为A1C⊥AC，
所以A1C2＋AC2＝AA12，
即x2＋x2＝22，解得x＝2，
所以A1O＝A1C12−OC12＝22−12＝1，
所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
11．(2024·广州模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A-PB-C的平面角的大小．
(1)证明：如图，作AD⊥PC交PC于点D．
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，
所以AD⊥平面PBC．
因为BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC．
又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC．
因为PA，AD⊂平面PAC，PA∩AD＝A，
所以BC⊥平面PAC．
(2)解：如图，作AD⊥PC交PC于点D，作DE⊥PB交PB于点E，连接AE.
由(1)知AD⊥平面PBC，
因为PB⊂平面PBC，所以AD⊥PB．
因为AD，DE⊂平面ADE，AD∩DE＝D，
所以PB⊥平面ADE.
因为AE⊂平面ADE，
所以AE⊥PB，
则∠AED即为二面角A-PB-C的平面角．
因为DE⊂平面PBC，所以AD⊥DE.
不妨设AC＝BC＝PA＝1，
则PC＝2，AD＝1×12＝22．
由(1)知BC⊥平面PAC，
因为AC⊂平面PAC，
所以BC⊥AC，
所以AB＝2.
因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以PA⊥AB，则PB＝3，AE＝1×23＝63．
在Rt△ADE中，sin ∠AED＝ADAE＝2263＝32．
所以∠AED＝π3，
即二面角A-PB-C的平面角的大小为π3．