人教A版普通高中数学一轮复习第八章第三节圆的方程学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第八章第三节圆的方程学案，共22页。

3．能够根据圆的方程解决相关问题．
自查自测
知识点一 圆的定义及方程
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．( × )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.( √ )
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2，3)，3B．(－2，3)，3
C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，13
D 解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝13.
3．(教材改编题)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D 解析：因为圆心为(1，1)且过原点，
所以该圆的半径r＝12+12＝2，
则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
4．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A．(－2，0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2，0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
B 解析：由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，
得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a.
由该曲线表示圆，可知5a2＋10a＞0，
解得a＞0或a＜－2.
核心回扣
1．圆的定义及方程
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为−D2，−E2，半径r＝D2+E2−4F2的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点−D2，−E2；当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．
自查自测
知识点二 点与圆的位置关系
(教材改编题)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，1)B．(－3，3)
C．(－2，2)D．−22，22
C 解析：因为原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－2＜m＜2.
核心回扣
点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
【常用结论】
1．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任意弦的中垂线上．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)·(y－y2)＝0.
应用1 已知A(1，0)，B(0，3)，则以AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2－x－3y＝0B．x2＋y2＋x＋3y＝0
C．x2＋y2＋x－3y＝0D．x2＋y2－x＋3y＝0
A 解析：圆的方程为(x－1)(x－0)＋(y－0)(y－3)＝0，即x2＋y2－x－3y＝0.
应用2 已知圆E经过两点A(0，1)，B(2，0)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为( )
A．x−322＋y2＝254B．x+342＋y2＝2516
C．x−342＋y2＝2516D．x−342＋y2＝254
C 解析：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－12＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为34，0．则圆E的半径为|EB|＝2−342+0−02＝54，所以圆E的标准方程为x−342＋y2＝2516．
圆的方程
1．(2024·桂林模拟)已知圆C的圆心为(1，0)，且与直线y＝2相切，则圆C的方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4
C．(x－1)2＋y2＝2D．(x＋1)2＋y2＝2
A 解析：因为圆心(1，0)到直线y＝2的距离d＝2，所以r＝2，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4.
2．(2024·滨州模拟)已知A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，则△ABC外接圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝2D．x2＋(y－1)2＝4
D 解析：设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则−3−a2+0−b2=r2，3−a2+0−b2=r2， 0−a2+3−b2=r2， 解得a=0，b=1，r=2，
则△ABC外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝4.故选D.
3．(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为 .
(x－1)2＋(y＋1)2＝5 解析：(方法一)设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则2a+b−1=0， 3−a2+b2=r2，a2+1−b2=r2，解得a=1，b=−1，r2=5，
所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
(方法二)设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则M−D2，−E2，
所以2·−D2+−E2−1=0，9+3D+F=0， 1+E+F=0， 解得D=−2，E=2，F=−3，
所以⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
(方法三)设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r，
则kAB＝1−00−3＝－13，线段AB的中点坐标为32，12，
所以线段AB的垂直平分线方程为y－12＝3x−32，
即3x－y－4＝0.
联立3x−y−4=0，2x+y−1=0，解得x=1，y=−1，
所以M(1，－1)，
所以r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值．
提醒：解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
与圆有关的轨迹问题
【例1】已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解：(1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．
(2)设点M(x，y)，直线l的方程为y＝kx，
因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，
所以kC1M·kAB＝－1，
当x≠3时，可得yx−3·yx＝－1，
整理得x−322＋y2＝94．
又当直线l与x轴重合时，点M的坐标为(3，0)，代入上式成立．
当动直线与圆相切时，
联立y=kx， x2+y2−6x+5=0，
消去y，得(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝45，此时方程为95x2－6x＋5＝0，解上式得x＝53，所以由题意可得53＜xM≤3.
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x−322＋y2＝9453＜x≤3．
求与圆有关的轨迹方程的方法
已知定点M(1，0)，N(2，0)，动点P满足|PN|＝2|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6，0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1，0)，N(2，0)，且|PN|＝2|PM|，
所以x−22+y2＝2·x−12+y2，
整理得x2＋y2＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点Q的坐标为(a，b)，点A的坐标为(xA，yA)，
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以AQ＝2QB，即(a－xA，b－yA)＝2(6－a，－b)，
解得xA=3a−12，yA=3b.
又点A在轨迹C上运动，
则由(1)有(3a－12)2＋(3b)2＝2，
化简得(a－4)2＋b2＝29．
故点Q的轨迹方程为(a－4)2＋b2＝29．
与圆有关的最值问题
考向1 斜率型最值问题
【例2】(2024·岳阳模拟)若点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，则nm+4的取值范围为( )
A．0，359B．0，409
C．[0，4]D．−∞，359
B 解析：因为点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，则nm+4的几何意义为圆上的点与定点P(－4，0)的斜率．
圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝16.
如图，由题意可知过点P(－4，0)的切线的斜率存在且PB的斜率为0.
设过点P的圆C的切线方程为y＝k(x＋4)，
则k−4+4k1+k2＝4，解得k＝0或k＝409，
故k的取值范围为0，409．
形如y−bx−a形式的最值问题，可转化为过两点(x，y)，(a，b)的直线斜率k＝y−bx−a，通过斜率的范围求最值．
考向2 截距型最值问题
【例3】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最小值．
解：设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3相切于第四象限时，截距b取得最小值，此时，由点到直线的距离公式，得圆心(2，0)到直线x－y＋b＝0的距离为2+b2＝3，解得b＝－2－6(正值舍去)．
故(y－x)min＝－2－6.
形如ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线ax＋by＝d的截距，通过截距的范围求d的范围，进而得到d的最值．
考向3 距离型最值问题
【例4】 设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是( )
A．6B．25
C．26D．36
D 解析：(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．
因为P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，
所以(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到点(5，－4)的距离与半径之和的平方，
即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[2−52+0+42＋1]2＝36.
形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值．
考向4 构建目标函数求最值
【例5】设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA·PB的最大值为 .
12 解析：由题意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4.
因为点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的点，所以x2＋(y－3)2＝1，2≤y≤4，所以x2＝－(y－3)2＋1，则PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
因为2≤y≤4，所以当y＝4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4－12＝12.
建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
1．设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|PA+PB|的最大值为 ．
10 解析：由题意，知PA＝(－x，2－y)，PB＝(－x，－2－y)，所以PA+PB＝(－2x，－2y)．由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|PA+PB|＝4x2+4y2＝26x−5.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|PA+PB|的值最大，最大值为26×5−5＝10.
2．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求y−3x+2的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝22.又|QC|＝2+22+7−32＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.
(2)可知y−3x+2的几何意义为直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以2k−7+2k+31+k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，所以y−3x+2的最大值为2＋3，最小值为2－3.
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，所以2−7+b12+−12＝22，解得b＝9或b＝1.所以y－x的最大值为9，最小值为1.
阿波罗尼斯圆及应用
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apllnius)在《平面轨迹》一书中研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|，则当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
[典题展示]
已知点P(x，y)与两个定点B(1，0)，A(4，0)的距离之比为12，求点P的轨迹方程．
思路展示 由PBPA＝12，得(x－4)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2＋y2＝4，所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
已知两个定点A(4，0)，B(1，0)，圆O：x2＋y2＝4，若P是圆O上任意一点，求证：PBPA是定值．
思路展示 设P(x，y)是圆O：x2＋y2＝4上任意一点，则y2＝4－x2，所以PBPA＝x−12+y2x−42+y2＝5−2x20−8x＝12．
如图，已知圆O：x2＋y2＝4，点A(4，0)，在x轴上是否存在B(不同于点A)，满足对于圆O上任意一点P，都有PBPA为定值？如果存在，试求所有满足条件的点B的坐标；如果不存在，请说明理由．
思路展示 存在．设点B(s，0)，使得PBPA＝k.
设P(x，y)是圆O上任意一点，
由|PB|2＝k2|PA|2，
得(x－s)2＋y2＝k2[(x－4)2＋y2].
由y2＝4－x2，
化简得(8k2－2s)x＋s2－20k2＋4＝0对x∈[－2，2]恒成立，
所以8k2−2s=0， s2−20k2+4=0，
解得s=1，k=12 或s=4，k=1 (与点A重合，舍去)．
故存在点B(1，0)，对于圆O上任意一点P，
都有PBPA＝12．
课时质量评价(四十八)
1．(2024·宁德模拟)已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为( )
A．－6＜k＜12B．k＜－6或k＞12
C．k＞－6D．k＜12
A 解析：因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
所以圆心坐标为(1，－2)，半径r＝1−2k.
若点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足3−12+1+22＞1−2k，且1－2k＞0，即13＞1－2k且k＜12，所以－6＜k＜12．
2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
A 解析：如图，由圆的几何性质及直角三角形中线的性质，可知圆的半径r＝22+−32＝13.故此圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D＜0”是“圆C与y轴相切于原点”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A 解析：若圆C与y轴相切于原点，则圆C的圆心在x轴上，设圆心的坐标为(a，0)，则半径r＝|a|.当E＝F＝0且D＜0时，圆心为−D2，0，半径为D2，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2＞0.故“E＝F＝0且D＜0”是“圆C与y轴相切于原点”的充分不必要条件．
4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0
D 解析：设圆心为(a，0)(a＞0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝3a+432+42＝3a+45＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0.
5．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0
D 解析：由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．
设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x02+y02＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，
即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意．
6．(多选题)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离的值可以为( )
A．4B．6
C．32＋1D．8
ABC 解析：如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)．
由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为−3−02+3+12＝5，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6，最小值为0.故选ABC.
7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为 ，半径为 ．
(－2，－4) 5 解析：由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，
因为D2＋E2－4F＝12＋22－4×52＜0，
所以a＝2不符合题意；
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
所以圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
8．(新背景)如图所示，两根杆(杆足够长)分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是 ．
x2＋y2＝a2 解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．设P(x，y)，因为PA⊥PB，所以yx+a·yx−a＝－1(x≠±a)．化简得x2＋y2＝a2(x≠±a)．当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故杆的交点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2.
9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．若线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
解：设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D32，−12．
又kAB＝－3，所以km＝13，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由x−3y−3=0，x−y+1=0，得x=−3，y=−2，
即圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝−3−12+−2−12＝5，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
设点M(x，y)，Q(x0，y0)，
因为点P的坐标为(5，0)，M为PQ的中点，
所以x=x0+52，y=y0+02，即x0=2x−5，y0=2y.
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝254．
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝254．
10．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A．2B．2
C．22＋1D．2－1
C 解析：因为圆心(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为22＝2＞1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为2＋1，最小值为点(0，0)到直线x－y－1＝0的距离，为12＝22，所以a－b＝2＋1－22＝22＋1.
11．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则2a＋6b的最小值是( )
A．23B．203
C．323D．163
C 解析：由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39.
因为圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，
所以该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，
所以a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，
所以2a＋6b＝23(a＋3b)1a+3b＝23·1+3ab+3ba+9≥2310+23ab·3ba＝323，
当且仅当3ba＝3ab，即a＝b＝34时取等号，故2a＋6b的最小值为323．
12．(2024·平顶山模拟)已知A，B为圆O：x2＋y2＝4上的两动点，|AB|＝23，点P是圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上的一点，则|PA+PB|的最小值是( )
A．2B．4
C．6D．8
C 解析：设M是AB的中点，因为|AB|＝23，所以|OM|＝4−3＝1，即点M在以O为圆心，1为半径的圆上，
PA+PB＝PM+MA+PM+MB＝2PM，所以|PA+PB|＝2|PM|.
又|PO|min＝|OC|－1＝−32+42－1＝4，所以|PM|min＝|PO|min－1＝4－1＝3，
所以|PA+PB|min＝2×3＝6.故选C.
13．写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程：________________________________________________________________________.
(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一) 解析：设点O(0，0)为圆的直径的端点，
点O(0，0)到直线x＋y－4＝0的距离，d＝0+0−42＝22，
故满足条件的一个圆的半径为r＝2.
由于圆心所在的直线与x＋y－4＝0垂直，且该直线经过原点，所以圆心所在的直线方程为y＝x.
由y=x， x+y−4=0，解得x=2，y=2，
所以圆心的坐标为(1，1)．
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
14．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．
由题设知CM·MP＝0，
故x(2－x)＋(y－4)·(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
所以点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P(2，2)在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，
故直线l的方程为x＋3y－8＝0.
又|ON|＝10，|NP|＝|NM|＝2，|OM|＝|OP|＝22，
O到直线l的距离为0+0−812+32＝4105，
所以|PM|＝2222−41052＝4105，所以S△POM＝12×4105×4105＝165，
故△POM的面积为165．
15．在平面直角坐标系中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x1，0)，B(x2，0)，
由题意知Δ＝m2－8m＞0，
得m＜0或m＞8，
x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，故C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径且过点C的圆，则AC·BC＝0，又AC＝(－x1，2m)，BC＝(－x2，2m)，所以x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，解得m＝0或m＝－12．
因为m＜0或m＞8，所以m＝－12，
此时C(0，－1)，所求圆的圆心为线段AB的中点−14，0，半径r＝142+−12＝174，故所求圆的方程为x+142＋y2＝1716．
证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将C(0，2m)代入，可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令x2+y2−y=0，x+2y−2=0，
解得x=0，y=1 或x=25，y=45．
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和25，45．
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心：(a，b)
半径：r
一般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心：−D2，−E2
半径：r＝D2+E2−4F2
理论
依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种
情况
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内