2023-2024学年江西省抚州市下学期高二年级期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省抚州市下学期高二年级期末考试数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=1x，则limx→0f(2+x)−f(2)x等于( )
A. −14B. 14C. −12D. 12
2.在数列{an}中，若a1=1，an+1=42−an，则a2024=( )
A. −2B. 4C. 1D. −43
3.2024年是安徽省实施“3+2+1”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是( )
A. 16B. 12C. 23D. 56
4.设01，即a>12，
所以实数a的取值范围是(12,+∞).
故选：B．
7.A
【解析】解：因为S2023=a1+a2+⋯+a2022+a2023，
所以S2023+a2=a1+a2+a2+⋯+a2022+a2023=a3+a2+⋯+a2022+a2023=a4+a3+⋯+a2022+a2023=⋯=a2024+a2023=a2025，
所以S2023+1=a2025，
所以a2025=a+1，a12+a22+a32+⋯+a20242=a1a2+a22+a32+⋯+a20242=a2(a1+a2)+a32+⋯+a20242=a2a3+a32+⋯+a20242=⋯=a2024a2025
所以a2024a2025=b，
所以a2024=ba2025=ba+1，
8.C
【解析】解：f(x)的定义域为(0,+∞)，
当00)，
令F(t)=t−lnt+1，F′(t)=1−1t=t−1t(t>0)，
当00，都有|AB|≥a恒成立，所以a≤ 2，
所以实数a的最大值为 2．
15.解：(1)设等差数列 an 的公差为 d ，
由题意，得 a1a1+4d=a1+d2，
解得 d=2a1=2 或 d=0 (舍)，
∴ an=1+2n−1=2n−1 ；
(2) an=2n−1 ， bn=2n−1⋅2n ，
此时 Sn=1×21+3×22+5×23+...+2n−1⋅2n ，
2Sn= 1×22+3×23+...+2n−3⋅2n+2n−1⋅2n+1 ，
∴−Sn=1×21+2×22+2×23+...+2×2n−2n−1⋅2n+1 ，
−Sn=2+8(1+2+⋯+2n−2)−(2n−1)⋅2n+1 =3−2n⋅2n+1−6 ，
所以 Sn=2n−3⋅2n+1+6 ．

【解析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的前n项和，错位相减法数列求和，属于中档题．
(1)根据题意a1a1+4d=a1+d2，求出公差d，再利用等差数列的通项公式求解．
(2)利用错位相减法求和．
16.解：(1)f(x)=x3+x2−x+1的定义域为R，
f′(x)=3x2+2x−1=(x+1)(3x−1)，
当x∈(−∞,−1)∪(13,+∞)时，f′(x)>0;x∈(−1,13)时，f′(x)0求出单调递增区间；
(2)先求出fx在区间[−1,2]上的最大值和最小值为，从而得到答案．
17.解：(1)因为 nan=(n+1)an−1 ， n⩾2 ， ∴ann+1=an−1n ，且 a12=1 ，
∴ 数列 ann+1 是以每一项均为1的常数列，
则 ann+1=1 ，即 an=n+1(n∈N∗) ；
(2)由(1)得an=n+1，
∴1an2=1(n+1)20．
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)=ex−x2−1>g(0)=0，即ex>x2+1.
(3)首先证明：当x>0时，恒有ex>13x3．
证明如下：令ℎ(x)=ex−13x3，则ℎ′(x)=ex−x2．
由(2)知，当x>0时，ex>x2，所以ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ(0)=1>0，所以ex>13x3．
所以x>ln(13x3)，即x+ln3>3lnx．
依次取x=21,32,…,n+1n，代入上式，则21+ln3>3ln21，32+ln3>3ln32，…n+1n+ln3>3lnn+1n．
以上各式相加，有21+32+…+n+1n+nln3>3ln(21×32×…×n+1n)
所以n+(1+12+13+…+1n)+nln3>3ln(n+1)，
所以1+12+13+…+1n>3ln(n+1)−nln3−n，即1+12+13+⋯1n>ln(n+1)3(3e)n．
【解析】本题考查函数的导数的应用，构造法以及累加法的应用，函数的导数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
(1)求出函数的f′(x)=ex−a，通过f′(x)=ex−2>0，即可求解函数f(x)在区间(−∞,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增．
(2)求出f(x)的最小值，化简f(x)≥1−ln4.构造g(x)=ex−x2−1，通过g′(x)>0.判断g(x)在(0,+∞)上单调递增，得到g(x)>g(0)，推出结果．
(3)首先证明：当x>0时，恒有ex>13x3.令ℎ(x)=ex−13x3，则ℎ′(x)=ex−x2.推出ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，得到x+ln3>3lnx，利用累加法推出1+12+13+⋯1n>ln(n+1)3(3e)n．X
n
n+1
p
1−a
a