2022-2023学年江西省抚州市资溪一中高二（下）期末数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年江西省抚州市资溪一中高二（下）期末数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省抚州市资溪一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．若集合A＝{x|x﹣2＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，则集合A∪B＝（　　）
A．（﹣1，4） B．{x|x＞2} C．{﹣1，4} D．（﹣1，+∞）
2．已知直线l1：3x﹣（a+2）y+6＝0，直线l2：ax+（2a﹣3）y+2＝0，则“a＝﹣9”是“l1∥l2”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．已知平面内两定点F1（﹣2，0），F2（2，0），下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（　　）
A．|PF1|﹣|PF2|＝±3 B．|PF1|﹣|PF2|＝±4
C．|PF1|﹣|PF2|＝±5 D．
4．下列说法中正确的个数是（　　）
①命题：“x，y∈R，若|x﹣1|+|y﹣1|＝0，则x＝y＝1”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠l．
②若a+b＞2，则a，b中至少有一个大于1．
③若﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则y＝±2．
④命题：“∃m∈[0，1]，使得x+＜2m”的否定形式是：“∀m∈[0，1]，总有x+≥2m．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数f（x）＝ex﹣e，g（x）＝lnx+1，若对于∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x1﹣x2的最大值为（　　）
A．e B．1﹣e C．1 D．
6．设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1（n≥2且n∈N*），则a18＝（　　）
A． B． C．3 D．
7．已知函数f（x）是定义域为{x|x≠0}的奇函数，f'（x）是其导函数，f（2）＝2，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则不等式的解集是（　　）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）
8．已知圆与抛物线y2＝2px（b＞p＞0）的两个交点是A，B．过点A，B分别作圆和抛物线的切线l1，l2，则（　　）
A．存在两个不同的b使得两个交点均满足l1⊥l2
B．存在两个不同的b使得仅一个交点满足l1⊥l2
C．仅存在唯一的b使得两个交点均满足l1⊥l2
D．仅存在唯一的b使得仅一个交点满足l1⊥l2
二、多选题（每题5分，共20分）
（多选）9．在空间直角坐标系中，已知向量（其中abc≠0），定点P0（x0，y0，z0），异于点P0的动点P（x，y，z），则以下说法正确的是（　　）
A．若为直线PP0的方向向量，则
B．若为直线PP0的方向向量，则a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0
C．若为平面α的法向量，面α经过P0和P，则
D．若为平面α的法向量，面α经过P0和P，则a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0
（多选）10．设离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结果正确的有（　　）
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
A．q＝0.1 B．E（X）＝2，D（X）＝1.4
C．E（X）＝2，D（X）＝1.8 D．E（Y）＝5，D（Y）＝7.2
（多选）11．已知数列为等差数列，Sn为{an}的前n项和，若a2＝5，S5＝35，则下列结论中正确的是（　　）
A．a1＝2
B．
C．若数列的前n项和为Tn，则
D．若，则g（n）的最小值为
（多选）12．已知定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数f'（x）满足xf'（x）﹣f（x）＝xlnx，且f（e）＝e，其中e是自然对数的底数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）＞0
B．若f（x）+x＞2e，则x∈（e，+∞）
C．f（x）在（0，+∞）上单调递增
D．任意x1，x2∈（0，+∞），都有
三、填空题（共20分）
13．已知，，，则P（B）＝　 　．
14．若（1+x）9﹣ax（1+x）9的展开式中，所有x的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为 　 　．
15．已知等差数列{an}的公差d∈（0，1），cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）＝2sin，且sina5≠0，当且仅当n＝10时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值，则首项a1的取值范围是　 　．
16．已知函数的定义域为，若对任意的x1，，恒成立，则实数m的取值范围为 　 　．
四、解答题（共70分）
17．已知等差数列{an}满足an+an+1＝4n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn＝ancosnπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n．
18．如图所示四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，E为PD的中点，F为PC中点．
（1）求证：BF∥平面ACE；
（2）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．

19．某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[495，510）内的产品为合格品，否则为不合格品．
注：表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．
产品重量（克）
频数
[490，495）
6
[495，500）
8
[500，505）
14
[505，510）
8
[510，515]
4

（1）根据上面表1中的数据在图2中作出甲流水线样本的频率分布直方图；
（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线上分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；
（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．

甲流水线
乙流水线
合计
合格



不合格



合计



参考公式：，其中n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．已知函数，数列{an}的前n项和为Sn，点在y＝f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，证明：；
（3）设bn＝ln（an﹣1），是否存在k（k∈N，k≥2），使得bk，bk+1，bk+2成等比数列，若存在，求出所有的k，若不存在，请说明理由．
21．设椭圆E的方程为（a＞1），点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，1），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线l与椭圆E交于P，Q两点，且恒有OP⊥OQ，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由．
22．已知：函数．
（1）求函数g（x）在点（1，0）处的切线方程；
（2）求函数f（x）在（0，1]上的最大值；
（3）当b＝0，a＞0时，试讨论函数h（x）＝f（x）﹣a•g（x）﹣1的零点个数．


参考答案
一、单选题（每题5分，共40分）
1．若集合A＝{x|x﹣2＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，则集合A∪B＝（　　）
A．（﹣1，4） B．{x|x＞2} C．{﹣1，4} D．（﹣1，+∞）
【分析】根据集合并集概念直接得到．
解：A＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，
A∪B＝{x|x＞2}∪{x|﹣1＜x＜4}＝{x|x＞﹣1}．
故选：D．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2．已知直线l1：3x﹣（a+2）y+6＝0，直线l2：ax+（2a﹣3）y+2＝0，则“a＝﹣9”是“l1∥l2”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据直线平行，充分必要条件的定义，判断即可．
解：直线l1：3x﹣（a+2）y+6＝0，直线l2：ax+（2a﹣3）y+2＝0，
∵l1∥l2，∴，解得a＝﹣9．
则“a＝﹣9”是“l1∥l2”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查直线平行，充分必要条件的定义，属于基础题．
3．已知平面内两定点F1（﹣2，0），F2（2，0），下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（　　）
A．|PF1|﹣|PF2|＝±3 B．|PF1|﹣|PF2|＝±4
C．|PF1|﹣|PF2|＝±5 D．
【分析】由双曲线的定义对选项分别判断可得结论．
解：对于A，当|PF1|﹣|PF2|＝±3时，||PF1|﹣|PF2||＝3＜|F1F2|＝4，
满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线；
对于B，当|PF1|﹣|PF2|＝±4时，||PF1|﹣|PF2||＝4＝|F1F2|＝4，
点P的轨迹是两条射线；
对于C，当|PF1|﹣|PF2|＝±5时，||PF1|﹣|PF2||＝5＞|F1F2|＝4，
点P的轨迹不存在；
对于D，|PF1|2﹣|PF2|2＝±4时，设P（x，y），则（x+2）2+y2﹣[（x﹣2）2+y2]＝8x＝±4，
解得x＝±，P的轨迹为两条直线．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的定义，考查方程思想和推理能力，属于基础题．
4．下列说法中正确的个数是（　　）
①命题：“x，y∈R，若|x﹣1|+|y﹣1|＝0，则x＝y＝1”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠l．
②若a+b＞2，则a，b中至少有一个大于1．
③若﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则y＝±2．
④命题：“∃m∈[0，1]，使得x+＜2m”的否定形式是：“∀m∈[0，1]，总有x+≥2m．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由反证法的反设可判断①；由反证法可判断②；由等比数列的中项性质可判断③；由特称命题的否定为全称命题可判断④．
解：①命题：“x，y∈R，若|x﹣1|+|y﹣1|＝0，则x＝y＝1”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠l，故①正确；
②若a+b＞2，若a≤1，且b≤1，可得a+b≤2，这与a+b＞2矛盾，故a，b中至少有一个大于1，故②正确；
③若﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，可得y2＝﹣1×（﹣4）＝4，由于﹣1，y，﹣4都为奇数项，可得y＝﹣2．
故③错误；
④命题：“∃m∈[0，1]，使得x+＜2m”的否定形式是：
“∀m∈[0，1]，总有x+≥2m”，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查简易逻辑的知识，主要是反证法的步骤、等比数列的性质和命题的否定，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
5．已知函数f（x）＝ex﹣e，g（x）＝lnx+1，若对于∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x1﹣x2的最大值为（　　）
A．e B．1﹣e C．1 D．
【分析】令f（x1）＝g（x2）＝t＞﹣e，则e﹣e＝t，lnx2+1＝t，x1＝ln（e+t），x2＝et﹣1，令h（t）＝x1﹣x2＝ln（e+t）﹣et﹣1，（t＞﹣e），再通过二次求导可求得最大值．
解：令f（x1）＝g（x2）＝t＞﹣e，
则e﹣e＝t，lnx2+1＝t，
x1＝ln（e+t），x2＝et﹣1，
令h（t）＝x1﹣x2＝ln（e+t）﹣et﹣1，（t＞﹣e），
∴h′（t）＝﹣et﹣1，h″（t）＝﹣﹣et﹣1＜0在（﹣e，+∞）上恒成立，
∴h′（t）为（﹣e，+∞）上的减函数，
又 h′（0）＝﹣e﹣1＝0，∴﹣e＜t＜0时，h′（t）＞h′（0）＝0，x＞0时，h′（t）＞h′（0）＝0，
∴h（t）在（﹣e，0）上递增，在（0，+∞）上递减，
∴t＝0时，h（t）取得最大值h（0）＝ln（e+0）﹣e0﹣1＝1﹣．
即x1﹣x2的最大值为1﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．
6．设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1（n≥2且n∈N*），则a18＝（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】令bn＝nan，则由2nan＝（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1，得2bn＝bn﹣1+bn+1，从而数列{bn}构成以1为首项，以2a2﹣a1＝3为公差的等差数列，推导出an＝，由此能求出a18．
解：∵数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1（n≥2且n∈N*），
∴令bn＝nan，
则由2nan＝（n﹣1）an﹣1+（n+1）an+1，得2bn＝bn﹣1+bn+1，
∴数列{bn}构成以1为首项，以2a2﹣a1＝3为公差的等差数列，
则bn＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，
即nan＝3n﹣2，∴an＝，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查数列的第18项的求法，考查构造法、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7．已知函数f（x）是定义域为{x|x≠0}的奇函数，f'（x）是其导函数，f（2）＝2，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则不等式的解集是（　　）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）
【分析】由题意构造函数，利用导数判断单调性，再由奇偶性解不等式即可．
解：令，则，
当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，故g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，又，
所以即g（x）＜g（2），
因为函数f（x）是定义域为{x|x≠0}的奇函数，
所以，
即g（x）为定义域为{x|x≠0}的偶函数，
所以由g（x）＜g（2）可得g（|x|）＜g（2），
所以|x|＞2，即x＞2或x＜﹣2，
即不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
8．已知圆与抛物线y2＝2px（b＞p＞0）的两个交点是A，B．过点A，B分别作圆和抛物线的切线l1，l2，则（　　）
A．存在两个不同的b使得两个交点均满足l1⊥l2
B．存在两个不同的b使得仅一个交点满足l1⊥l2
C．仅存在唯一的b使得两个交点均满足l1⊥l2
D．仅存在唯一的b使得仅一个交点满足l1⊥l2
【分析】利用抛物线方程设出交点坐标，再由直线l1与l2垂直及交点在圆上求出b，p的关系，然后逐项分析作答．
解：设圆与抛物线的交点为，y0＞0，
显然直线l2的斜率存在且不为0，设l2方程为：，
联立直线l2方程与抛物线方程，可得，
而k≠0，则，解得，
由l1⊥l2及圆的性质知，直线l2过圆心及点，则，即，
又，即，因此有，
解得（负值舍去），于是有满足l1⊥l2的两曲线交点只有点，故A，C错误；
显然，即正数p值确定，b值也随之确定，并且唯一，故B错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多选题（每题5分，共20分）
（多选）9．在空间直角坐标系中，已知向量（其中abc≠0），定点P0（x0，y0，z0），异于点P0的动点P（x，y，z），则以下说法正确的是（　　）
A．若为直线PP0的方向向量，则
B．若为直线PP0的方向向量，则a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0
C．若为平面α的法向量，面α经过P0和P，则
D．若为平面α的法向量，面α经过P0和P，则a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0
【分析】由直线的方向向量、平面向量的概念能求出结果．
解：直线是直线P0P的一个方向向量，
＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），
是直线PP0的方向向量，则，故A正确，B错误；
P0P在平面α内，为平面α的法向量，则⊥，
∴＝a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0，故C错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查平面的法向量、直线的方向向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．设离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y满足Y＝2X+1，则下列结果正确的有（　　）
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
A．q＝0.1 B．E（X）＝2，D（X）＝1.4
C．E（X）＝2，D（X）＝1.8 D．E（Y）＝5，D（Y）＝7.2
【分析】对于A，结合分布列的性质，即可求解，对于B，C，结合期望和方差公式，即可求解，对于D，结合期望和方差的线性公式，即可求解．
解：由分布列的性质可得，q+0.4+0.1+0.2+0.2＝1，解得q＝0.1，故A正确，
E（X）＝0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2＝2，
D（X）＝（0﹣2）2×0.1+（1﹣2）2×0.4+（2﹣2）2×0.1+（3﹣2）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝1.8，故B错误，C正确，
∵Y＝2X+1，
∴E（Y）＝E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×2+1＝5，D（Y）＝D（2X+1）＝22D（X）＝4×1.8＝7.2，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了分布列的性质，以及期望和方差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
（多选）11．已知数列为等差数列，Sn为{an}的前n项和，若a2＝5，S5＝35，则下列结论中正确的是（　　）
A．a1＝2
B．
C．若数列的前n项和为Tn，则
D．若，则g（n）的最小值为
【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式，求出首项a1和公差d，从而知an和Sn，再由裂项求和法求Tn，最后结合基本不等式，可得g（n）的最小值．
解：设数列{an}的公差为d，
由a2＝5，S5＝35，知，解得a1＝3，d＝2，即选项A错误；
所以an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1，Sn＝＝n（n+2）＝n2+2n，即选项B正确；
所以＝＝（﹣），
故Tn＝（1﹣+﹣+﹣+……+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜，即选项C正确；
＝＝n++2（n∈N*）在（2，+∞）上单调递增，
而g（1）＝g（2）＝5，所以g（n）的最小值为5，即选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查数列的综合问题，熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，裂项求和法，基本不等式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
（多选）12．已知定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数f'（x）满足xf'（x）﹣f（x）＝xlnx，且f（e）＝e，其中e是自然对数的底数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）＞0
B．若f（x）+x＞2e，则x∈（e，+∞）
C．f（x）在（0，+∞）上单调递增
D．任意x1，x2∈（0，+∞），都有
【分析】由xf'（x）﹣f（x）＝xlnx，得，推出（其中C为常数），求出函数的解析式，通过f（e）＝e，求解C，判断函数值判断A；导函数的符号判断C；函数的单调性判断B；结合函数的凹凸性，判断D即可．
解：由xf'（x）﹣f（x）＝xlnx，得，即，
从而得（其中C为常数），即，
由，得，所以，故A正确；
又≥0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增，故C正确；
令g（x）＝f（x）+x，则g（x）在（0，+∞）上递增，不等式f（x）+x＞2e⇔g（x）＞g（e），得x∈（e，+∞），故B正确；
由得，当时，f''（x）＜0；当时，f''（x）＞0，
所以f（x）的图象在部分上凸，在部分下凸，故D不正确，
故选：ABC．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．
三、填空题（共20分）
13．已知，，，则P（B）＝　　．
【分析】根据条件概率公式以及全概率公式列式求解即可．
解：P（A）＝，P（）＝，
P（B）＝P（B|A）P（A）+P（B|）P（）＝P（B|A）P（A）+[1﹣P（|）]P（）＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查全概率公式及条件概率计算公式，是基础题．
14．若（1+x）9﹣ax（1+x）9的展开式中，所有x的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为 　　．
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，以及赋值法，即可求解．
解：设（1+x）9﹣ax（1+x）9＝（1﹣ax）（1+x）9
＝，
令x＝1，得29×（1﹣a）＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10①；
令x＝﹣1，得0＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8﹣a9+a10②，
②+①得29×（1﹣a）＝2（a0+a2+a4+a6+a8+a10），
（1+x）9﹣ax（1+x）9的展开式中，所有x的偶数次幂项的系数和为64，
则a0+a2+a4+a6+a8+a10＝64，所以28（1﹣a）＝64＝26，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15．已知等差数列{an}的公差d∈（0，1），cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）＝2sin，且sina5≠0，当且仅当n＝10时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值，则首项a1的取值范围是　　．
【分析】由cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）＝2sin，利用和差化积可得﹣2sina5sin（﹣2d）＝2sina5，由sina5≠0，可得sin（2d）＝1，由公差d∈（0，1），可得2d＝．根据当且仅当n＝10时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值，可得a10＜0，a11＞0，解出即可得出．
解：∵cos（a5﹣2d）﹣cos（a5+2d）＝2sin，
∴﹣2sina5sin（﹣2d）＝2sina5，
∵sina5≠0，∴sin（2d）＝1，
∵公差d∈（0，1），∴2d＝，解得d＝．
∵当且仅当n＝10时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值，
∴a10＜0，a11＞0，
∴＜0，＞0，
解得＜a1＜，
∴首项a1的取值范围是：．
故答案为：．
【点评】本题考查了和差化积、等差数列的通项公式及其性质、不等式解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知函数的定义域为，若对任意的x1，，恒成立，则实数m的取值范围为 　（﹣∞，4]　．
【分析】由参数分离可得m＜||恒成立．令g（）＝f（x）＝，求得g（x）的解析式，以及导数，运用导数的几何意义，可得所求范围．
解：对任意的x1，，恒成立，
等价为m（x1+x2）＜||•x12x22，即m＜||恒成立．
令g（）＝f（x）＝，
由x∈（0，]，可得g（x）＝x+xlnx，x≥e2，g′（x）＝2+lnx≥4，
又||＝||表示曲线y＝g（x）在[e2，+∞）上不同两点的割线的斜率的绝对值．
则||＞4，即m≤4，m的取值范围是（﹣∞，4]．
故答案为：（﹣∞，4]．
【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
四、解答题（共70分）
17．已知等差数列{an}满足an+an+1＝4n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn＝ancosnπ，记{bn}的前n项和为Sn，求S2n．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列的通项公式得到an+an+1＝2dn+2a1﹣d，即可求出a1、d，从而得到通项公式；
（2）由（1）可得，即可得到b2k﹣1+b2k＝2，利用并项求和法计算可得．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，所以an＝a1+（n﹣1）d＝nd+a1﹣d，
所以an+an+1＝2dn+2a1﹣d＝4n，
所以，解得，
则an＝2n﹣1；
（2）因为an＝2n﹣1且bn＝ancosnπ，所以，
所以b2k﹣1+b2k＝﹣（4k﹣3）+（4k﹣1）＝2，
所以S2n＝（b1+b2）+（b3+b4）+⋯+（b2n﹣1+b2n）＝2n．
【点评】本题考查了数列的递推式和并项求和，属于中档题．
18．如图所示四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，E为PD的中点，F为PC中点．
（1）求证：BF∥平面ACE；
（2）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．

【分析】（1）法一：连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，证明平面BFG∥平面ACE，即可证得BF∥平面ACE；
法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则证明BF∥OH，即可证得BF∥平面ACE；
（2）确定∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．
解：（1）证明：法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，
则在△PCE中，FG∥CE，
又EC⊂平面ACE，FG⊄平面ACE，
所以FG∥平面ACE，
因为BC∥AD，
所以，
则OE∥BG，
又OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，
所以BG∥平面ACE，
又BG∩FG＝G，
所以平面BFG∥平面ACE，
因为BF⊂平面BFG，
所以BF∥平面ACE；

法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，
连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，
在△DFG中，HE∥FG，
则，
在底面ABCD中，BC∥AD，
所以，
所以，
故BF∥OH，
又OH⊂平面ACE，BF⊄平面ACE，
所以BF∥平面ACE；
（2）由（1）可知，CD⊥平面PAC，
所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，
在Rt△PCD中，，
所以，
所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出线面角．
19．某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[495，510）内的产品为合格品，否则为不合格品．
注：表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．
产品重量（克）
频数
[490，495）
6
[495，500）
8
[500，505）
14
[505，510）
8
[510，515]
4

（1）根据上面表1中的数据在图2中作出甲流水线样本的频率分布直方图；
（2）若以频率作为概率，试估计从两条流水线上分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；
（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．

甲流水线
乙流水线
合计
合格



不合格



合计



参考公式：，其中n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【分析】（1）根据所给的每一组的频数和样本容量求出每一组的频率，作出频率分布直方图；
（2）根据所给的样本中的合格品数，除以样本容量做出合格品的频率，可估计从两条流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率；
（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据求出观测值，同临界值进行比较，得到有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
解：（1）甲流水线样本的频率分布直方图如下：

（2）由表1知甲流水线样本中合格品数为8+14+8＝30，
故甲流水线样本中合格品的频率为，
由图1知乙流水线样本中合格品的频率为（0.06+0.09+0.03）×5＝0.9，
据此可估计从甲流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75；
从乙流水线上任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9．
（3）由（2）知甲流水线样本中合格品数为30，乙流水线样本中合格品数为0.9×40＝36．
2×2列联表如下：

甲流水线
乙流水线
合计
合格
30
36
66
不合格
10
4
14
合计
40
40
80
∵，
∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
【点评】本题主要考查独立性检验，频率分布直方图，考查运算求解能力，属于中档题．
20．已知函数，数列{an}的前n项和为Sn，点在y＝f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，证明：；
（3）设bn＝ln（an﹣1），是否存在k（k∈N，k≥2），使得bk，bk+1，bk+2成等比数列，若存在，求出所有的k，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由于点（n，Sn）在f（x）的图象上，可得Sn＝n2+n，利用“an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）；当n＝1时，a1＝S1，”即可得出；
（2）cn＝+＝+＝2+﹣，利用放缩法即可证明；
（3）假设存在，由已知及bk，bk+1，bk+2成等比数列，可得ln2（ak+1﹣1）＝ln（ak﹣1）ln（ak+2﹣1），设g（x）＝（x≥2），利用导数判断单调性，得出矛盾，即可得结论．
解：（1）∵点（n，Sn）在f（x）的图象上，
∴Sn＝n2+n，
∴Sn﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1），两式相减得an＝Sn﹣Sn﹣1＝n+1（n≥2）；
当n＝1时，a1＝S1＝2，适合上式，
∴an＝n+1（n∈N*），∴数列{an}的通项公式为an＝n+1．
（2）cn＝+＝+＝2+﹣，
∴c1+c2+…+cn＝2+﹣+2+﹣+…+2+﹣＝2n+﹣．
∵﹣＞0（n≥1），∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+．
（3）假设存在，∵bk，bk+1，bk+2成等比数列，
∴bk+12＝bkbk+2，∴ln2（ak+1﹣1）＝ln（ak﹣1）ln（ak+2﹣1），
设g（x）＝（x≥2），∴g′（x）＝
设h（x）＝xlnx﹣（x+1）ln（x+1）（x≥2），∴h′（x）＝lnx﹣ln（x+1）＜0，
∴h（x）在[2，+∞）上单调递减，
∴h（x）≤h（2）＝2ln2﹣3ln3＝ln4﹣ln27＜0，
∴g′（x）＜0，∴g（k）＞g（k+1），
∴＞，
∴＝不成立，
∴不存在k（k∈N，k≥2），使得bk，bk+1，bk+2成等比数列．
【点评】本题主要考查数列的递推式，不等式的证明，反证法的运用，综合考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．设椭圆E的方程为（a＞1），点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，1），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线l与椭圆E交于P，Q两点，且恒有OP⊥OQ，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设点M的坐标为（x0，y0），由已知可得x0＝，y0＝，结合已知可得＝，求解即可；
（2）当直线斜率不存在时，直线l的方程为x＝n，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，进而由•＝x1x2+y1y2＝0，可求解．
解：（1）设点M的坐标为（x0，y0），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，
∴＝＝（﹣a，1）＝（﹣a，），
＝+＝（a，0）+（﹣a，）＝（，），
故x0＝，y0＝，∵＝，∴＝，解得a＝2，
∴椭圆的方程的方程为+y2＝1；
（2）当直线斜率不存在时，直线l的方程为x＝n，
∴n2+4n2＝4，∴n2＝，此时d＝，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），原点O到直线l的距离为d，∴＝d，
整理得m2＝d2（k2+1），
由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
Δ＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+k（x1+x2）+m2
＝k2×+k×（﹣）+m2＝，
•＝x1x2+y1y2＝+＝0，
∴5m2﹣4k2﹣4＝0，∴5d2（1+k2）﹣4k2﹣4＝0恒成立，
∴（5d2﹣4）（1+k2）＝0恒成立，∴5d2﹣4＝0，
∴d＝，∴定圆的方程为x2+y2＝．
∴当•＝0时，存在定圆C与直线l相切，其方程为x2+y2＝．
【点评】本题考查求椭圆的方程，考查求圆的方程，考查运算求解能力，属中档题．
22．已知：函数．
（1）求函数g（x）在点（1，0）处的切线方程；
（2）求函数f（x）在（0，1]上的最大值；
（3）当b＝0，a＞0时，试讨论函数h（x）＝f（x）﹣a•g（x）﹣1的零点个数．
【分析】（1）求得g（x）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程；
（2）求得f（x）的导数，讨论当b≤0时，当b≥1，当0＜b＜1，判断单调性，可得最大值；
（3）当b＝0，a＞0时，函数h（x）＝f（x）﹣a•g（x）﹣1的零点个数即为lnx＝a（1﹣x﹣2）的根的个数，讨论当x＝1，当x＞0且x≠1时，由参数分离，构造函数，求得导数，判断单调性，可得所求零点个数．
解：（1）g（x）＝1﹣x﹣2的导数为g′（x）＝2x﹣3，
可得函数g（x）在点（1，0）处的切线斜率为2，
可得函数g（x）在点（1，0）处的切线方程为y＝2x﹣2；
（2）f（x）＝1+lnx﹣bx的导数为f′（x）＝﹣b，
当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，可得f（x）在（0，1]上的最大值为f（1）＝1﹣b；
当b≥1即≤1，可得f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，可得f（x）的最大值为f（）＝﹣lnb；
当0＜b＜1，即＞1，可得f（x）在（0，1]递增，可得f（x）的最大值为f（1）＝1﹣b；
（3）当b＝0，a＞0时，函数h（x）＝f（x）﹣a•g（x）﹣1的零点个数即为lnx＝a（1﹣x﹣2）的根的个数，
当x＝1时，ln1＝a（1﹣1）恒成立，可得h（x）一定有零点1；
当x＞0且x≠1时，a＝＝，
设m（x）＝，m′（x）＝，
再设n（x）＝x2﹣1﹣2lnx，n′（x）＝2x﹣，当x＞1时，n′（x）＞0，n（x）在x＞1递增，n（x）＞n（1）＝0，
即m′（x）＞0，m（x）在x＞1递增，m（x）＞0；
当0＜x＜1时，n′（x）＜0，n（x）在0＜x＜1递减，n（x）＞n（1）＝0，
即m′（x）＞0，m（x）在0＜x＜1递增，m（x）＞0；
综上可得m（x）＞0恒成立，
当a＞0时，h（x）有两个零点1和一个不为1的正数．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、最值，考查分类讨论思想和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题．