2022-2023学年江西省抚州市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年江西省抚州市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=x+lnx，则△x→0limf(2+△x)−f(2)△x=( )
A. 2B. 32C. 54D. 3
2.在等差数列{an}中，首项a1=3，前3项和为6，则a3+a4+a5等于( )
A. 0B. 6C. 12D. 18
3.已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，a1=4，S3=84，则lg2(a1a2a3⋯a8)的值为( )
A. 70B. 72C. 74D. 76
4.函数y=f(x)的图象如图，则导函数y=f′(x)的图象可能是下图中的( )
A.
B.
C.
D.
5.“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法、每一个n阶代数方程必有n个复数解等.已知某数列的通项an=2n−512n−52，则a1+a2+⋅⋅⋅+a51=( )
A. 48B. 49C. 50D. 51
6.两人掷一枚硬币，掷出正面多者为胜，但这枚硬币质地不均匀，以致出现正面的概率P1与出现反面的概率P2不相等，已知出现正面与出现反面是对立事件，设两人各掷一次成平局的概率为P，则P与0.5的大小关系是( )
A. P<0.5B. P=0.5C. P>0.5D. 不确定
7.设f(x)=|lnx|，若函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,+∞)上有三个不同的零点，则实数a的取值范围为( )
A. (1e,+∞)B. (0,1e)C. [1e,+∞)D. (0,1e]
8.定义：如果函数f(x)在[a,b]上存在x1，x2(aA. (18,14)B. (112,14)C. (112,18)D. (18,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 相关系数r越大，两变量的线性相关程度越强
B. 若一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差为2，则x1+2，x2+2，x3+2，…，x10+2的方差为2
C. 若随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，P(X≤3)=0.64，则P(1≤X≤2)=0.14
D. 若P(A)=12，P(B|A)=14，P(B−|A−)=23，则P(B)=724
10.若直线l为曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x3的公切线，则直线l的斜率为( )
A. 0B. 2C. 89D. 6427
11.已知正数α，β满足eα−eβ>12α+sinα−12β+sinβ，则下列不等式正确的是( )
A. 1α+1β<4a+βB. 2α−β+1>2
C. lnα+α12.已知各项均为正数的数列{an}满足：an2+1an= 2n+2(n∈N*)，且an<1，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A. S3= 2
B. an= 2n+1− 2n−1
C. an>an+1
D. ln(S1+ 2)+ln(S2+ 2)+⋯+ln(Sn+ 2)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=x2f′(1)−lnx，则f′(1)=______.
14.某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，且第一次投不中，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为______.
15.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S35<0，S36>0.若对任意的正整数n，都有Sn≥Sk，则整数k=______.
16.已知函数f(x)=aln2x+1−x(a∈R)有且仅有一条切线经过点(0,0).若∀x∈[1,+∞),f(x)+mlnx≤0恒成立，则实数m的最大值是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=2处取得极值−14.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[−3,3]上的最值.
18.(本小题12分)
设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=−1，an+1=SnSn+1(Sn≠0).
(1)求Sn；
(2)求数列{Snn+2}的前n项和Tn.
19.
20.(本小题12分)
已知数列{an}(n∈N*)满足a12+a222+⋯+an2n=n−2+12n−1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若bn=an⋅csnπ，求数列{bn}前2n项和T2n.
21.(本小题12分)
红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(1)根据散点图判断，y=bx+a与y=cedx(其中产卵数e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并由判断结果及表中300数据，求出y关于x的回归方程.
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他150情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到100
28℃以上的概率为P.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f(p)，求f(p)的最大值，并求出相应的概率.
附：回归方程y =b x+a 中，b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−i=1nxi2−nx−−2，a =y−−b x−.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x−1)eax(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a=1，证明：曲线y=f(x)与直线y=x+1恰有两个公共点，且这两个公共点关于点(0,1)对称.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=x+lnx，
∴f′(x)=1+1x
∵△x→0limf(2+△x)−f(2)△x=f′(2)=1+12=32
故选：B.
由导数的定义可得△x→0limf(2+△x)−f(2)△x=f′(2)，结合函数的解析式求出函数的导数，代值计算即可．
本题考查了导数的定义和导数的运算法则，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：设公差为d，
则a1+a2+a3=3a1+3d=6，解得d=−1，
所以a3+a4+a5=3a1+9d=0.
故选：A.
根据题意求出公差d，从而可得出答案．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵数列{an}为各项均为正数的等比数列，a1=4，S3=84，
设公比为q，且q>0，
∴a1(1+q+q2)=84，
解得q=4，(q=−5舍)，
故an=4n，
∴a1a2a3⋯a8=41+2+...+8=48×(1+8)2=272，
∴lg2(a1a2a3⋯a8)=lg2272=72，
故选：B.
根据已知条件求得q以及通项公式，再根据等比数列的性质即可求解结论．
本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由f(x)的图象可知，当x<0，时，f(x)先增后减，
则f′(x)的图象在x<0时，应该先在x轴上方，后在x轴下方，
观察选项，可排除选项B、C.
又由f(x)的图象可知，当x>0时，f(x)先增后减，
则f′(x)的图象在x>0时，应该先在x轴上方，后在x轴下方，
观察剩余选项，排除选项D.
故选：A.
由f(x)递增导数大于0.f(x)递减导数小于0，结合图象即可判断．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=2x−512x−52=2x−52+12x−52=1+12(x−26)，
∴f(x)+f(52−x)=1+12(x−26)+1+12(52−x−26)=2，
∴an+a52−n=2，
∴S=a1+a2+⋅⋅⋅+a51，
S=a51+a49+⋅⋅⋅+a1，
∴2S=(a1+a51)+(a2+a49)+⋅⋅⋅+(a51+a1)=2×51，
∴S=51，
故选：D.
利用倒序相加法，即可求解．
本题考查倒序相加法求和，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵这枚硬币质地不均匀，以致出现正面的概率P1与出现反面的概率P2不相等，
出现正面与出现反面是对立事件，设两人各掷一次成平局的概率为P，
∴p=p12+p22=p12+(1−p1)2=2p12−2p1+1，
∵0≤p1≤1，且p1=12，
∴p−0.5=2p12−2p1+1−0.5=2(p1−12)2>0，
∴p>0.5.
故选：C.
由已知得p=p12+p22=p12+(1−p1)2=2p12−2p1+1，由此利用作差法能比较P与0.5的大小关系．
本题考查两个数值大小关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意概率性质、作差法的合理运用．
7.【答案】B
【解析】解：法一：∵函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,+∞)上有三个零点，
∴y=f(x)与y=ax的图象在区间(0,+∞)上有三个交点，
对于函数f(x)=lnx(x>1)，f′(x)=1x，
设切点坐标为(t,lnt)，则lnt−0t−0=1t，
解得t=e，∴k=1e，
由图象可知，0∴实数a的取值范围为a∈(0,1e)；
法二：函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,+∞)上有三个零点⇒，即方程|lnx|x=a在(0,+∞)有三个实根，即y=|lnx|x与y=a的图象在(0,+∞)内有三个不同交点．
对于函数y=lnxx(x≥1)，求导知y′=1−lnxx2列表如下：
注意到当x=1时lnxx=0，当x>1,lnxx>0，
同理，可探究y=−lnxx(0作出函数y=|lnx|x的图象，
由图象可知：0故选：B.
法一：由题可得y=f(x)与y=ax在区间(0,+∞)上有三个交点，利用导数可得f(x)=lnx(x>1)与y=ax相切时的斜率，进而可得；
法二：把问题转化为y=|lnx|x与y=a在(0,+∞)内有三个不同交点．利用导数研究函数的性质，再利用数形结合即得．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，考查数形结合思想及分离变量思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
考查了新定义类型题的解题方法，重点是对新定义性质的理解．
根据定义得出f(2a)−f(0)2a=8a2−2a，相当于6x2−2x=8a2−2a在[0,2a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a的范围即可．
【解答】
解：f(x)=2x3−x2+m是[0,2a]上的“双中值函数”，
∴f(2a)−f(0)2a=8a2−2a，
∵f′(x)=6x2−2x，
∴6x2−2x=8a2−2a在[0,2a]上有两个根，
令g(x)=6x2−2x−8a2+2a，
∴△=4+24(8a2−2a)>0，
g(0)>0，
g(2a)>0，
2a>16，
∴18故选A.
9.【答案】BCD
【解析】解：A：相关系数r的绝对值越大，两变量的线性相关程度越强，错；
B：由D(X)=2，则D(X+2)=2，对；
C：由正态分布的对称性知：P(1≤X≤2)=P(X≤3)−0.5=0.14，对；
D：由P(B)=P(AB)+P(A−B)=P(B|A)P(A)+P(A−)P(B|A−)，
而P(A−)=1−P(A)=12,P(B|A−)=1−P(B−|A−)=13，
所以P(B)=14×12+13×12=724，对．
故选：BCD.
由相关系数的实际意义判断A；由方差性质判断B；根据正态分布对称性求概率判断C；应用全概率公式、条件概率公式求概率判断D.
本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：曲线C1:y=x2，则y′=2x，曲线C2:y=x3，则y′=3x2，
设直线l与曲线C1的切点坐标为(a,a2)，则切线方程为y=2ax−a2，
设直线l与曲线C2的切点坐标为(m,m3)，
则切线方程为y=3m2x−2m3，∴2a=3m2，a2=2m3，
∴m=0或m=89，∴直线l的斜率为0或6427.
故选：AD.
根据导数的几何意义即可求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：因为正数α，β满足eα−eβ>12α+sinα−12β+sinβ，
所以ea−12α+sinα>eβ−12β+sinβ，
构造函数f(x)=ex−12x+sinx，x>0，
令g(x)=2x+sinx，g′(x)=2+csx>0恒成立，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
由复合函数的单调性可知g(x)=−12x+sinx在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)=ex−12x+sinx在(0,+∞)上单调递增，
由f(α)>f(β)，可得α>β>0，
对于A，(1α+1β)(α+β)=2+αβ+βα>2+2 αβ⋅βα=4，所以1α+1β>4α+β，故A错误；
对于B，由α>β>0，可得α−β+1>1，所以2a−β+1>2，故B正确；
对于C，由α>β>0，可得lnα>lnβ，则lnα+α>lnβ+β，故C错误；
对于D，由α>β>0，可得eα>eβ>0，1α<1β，所以1ea<1eβ，所以1ea+1α<1eβ+1β，故D正确．
故选：BD.
构造函数f(x)=ex−12x+sinx，利用导数得出α>β>0，由基本不等式判断A；
由指数和对数的单调性以及不等式的性质判断BCD.
本题考查了导数的综合运用，关键点是构造函数f(x)=ex−12x+sinx，x>0，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由an2+1an= 2n+2(n∈N*)，
得an2−2 2n+2an+2=0，
由求根公式得an=2 2n+2±2 2n2= 2n+2± 2n，
∵0∴an= 2n+2− 2n，选项B错误；
Sn=( 4− 2)+( 6− 4)+( 8− 6)+⋅⋅⋅+( 2n+2− 2n)
= 2n+2− 2，
S3=( 4− 2)+( 6− 4)+( 8− 6)= 8− 2= 2，选项A正确；
∵an>0，
∴an+1an= 2n+4− 2n+2 2n+2− 2n= n+2− n+1 n+1− n
=( n+2− n+1)( n+2+ n+1) n+2+ n+1( n+1− n)( n+1+ n) n+1+ n
= n+1+ n n+2+ n+1<1，
∴an+1ln(Sn+ 2)=ln( 2n+2)=12ln(2n+2)，
设f(x)=lnx−x+1，x>0，
则f′(x)=1x−1=1−xx，
当x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴当x=1时，f(x)取得极大值也是最大值f(1)=0，
∴f(x)≤0，即lnx≤x−1，当x=1时，等号成立，
∴ln(2n+2)<2n+1，n∈N*，
∴ln(S1+ 2)+ln(S2+ 2)+⋅⋅⋅+ln(Sn+ 2)
=12[ln4+ln6+⋅⋅⋅+ln(2n+2)]
<12[3+5+⋅⋅⋅+(2n+1)]
=12×n(3+2n+1)2=n(n+2)2，选项D正确．
故选：ACD.
选项B：已知条件变形，利用求根公式求an，即可判断；
选项A：根据通项公式及数列前n项和公式求S3，即可判断；
选项C：利用作商法，和1比较大小，即可判断；
选项D：利用通项公式及数列前n项和求ln(Sn+ 2)，再构造函数f(x)=lnx−x+1，x>0，证明lnx本题考查由数列递推式求通项公式、数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理和数学运算能力，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：由f(x)=x2f′(1)−lnx可得f′(x)=2xf′(1)−1x，
所以f′(1)=2f′(1)−1，
解得f′(1)=1.
故答案为：1.
求导，计算f′(1)，即可求解．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
14.【答案】2833
【解析】解：设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，由贝叶斯公式可得：
P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A−)P(A−)=+0.1=2833.
故答案为：2833.
设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中”，根据贝叶斯公式直接求解．
本题考查条件概率相关知识，属于基础题．
15.【答案】18
【解析】解：∵数列{an}为等差数列，S35<0，
∴S35=35(a1+a35)2=35a18<0，即a18<0，
∵S36<0，
∴S36=36(a1+a36)2=36(a18+a19)2=18(a18+a19)>0，即a18+a19>0，
∴a19>0，
∴数列{an}的前18项和最小，
∵对任意的正整数n，都有Sn≥Sk，
∴k=18.
故答案为：18.
根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，推得a18<0，a19>0，再结合对任意的正整数n，都有Sn≥Sk，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
16.【答案】0
【解析】解：f′(x)=2alnxx−1，设切点为(x0,aln2x0+1−x0)，依题意，aln2x0+1−x0x0=2alnx0x0−1有且仅有一解，
即aln2x0−2alnx0+1=0有一解，则Δ=4a2−4a=0，解得a=0(舍)或a=1，
∴ln2x+1−x≤−mlnx，x≥1，
设g(x)=ln2x−x+1，则g′(x)=2lnxx−1=2lnx−xx，
令h(x)=2lnx−x,h′(x)=2x−1，易知当x∈(1,2)时，h′(x)>0，当x∈(2,+∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(1,2)单调递增，在(2,+∞)单调递减，
∴g′(x)∴g(x)在[1,+∞)单调递减，则g(x)≤g(1)=0，
由于ln2x+1−x≤−mlnx恒成立，即y=−mlnx的图象恒在g(x)=ln2x−x+1的上方，
当m>0时，y=−mlnx不符合题意；
当m=0时，g(x)≤0恒成立，即m的最大值为0.
故答案为：0.
先根据题意求得a=1，问题等价于ln2x+1−x≤−mlnx，x≥1恒成立，设g(x)=ln2x−x+1，可得g(x)≤0，再分m>0及m=0讨论即可．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因f(x)=ax3+bx+2，故f′(x)=3ax2+b，
由于f(x)在x=2处取得极值，
故有f′(2)=0f(2)=−14，即12a+b=08a+2b+2=−14，
解得a=1b=−12，
经检验，a=1，b=−12时，符合题意，所以a=1，b=−12，
f(x)=x3−12x+2，f′(x)=3x2−12，故f(1)=−9，f′(1)=−9.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为：y−(−9)=−9(x−1)，即9x+y=0.
(2)f(x)=x3−12x+2，f′(x)=3x2−12≥0，
得x≤−2或x≥2；即[−3,−2]单调递增，[−2,2]单调递减，[2,3]单调递增，
f(−3)=11，f(−2)=18，f(2)=−14，f(3)=−7，
因此f(x)在[−3,3]的最小值为f(2)=−14；
最大值为f(−2)=18.
【解析】(1)求出导函数，利用函数的极值，列出方程求解a，b，然后求解切线方程即可．
(2)利用导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值以及端点值，即可得到函数的最值．
本题考查函数的导数的应用，函数切线方程的求法，函数的最值的求法，是中档题．
18.【答案】解：(1)因为an+1=Sn+1−Sn，an+1=SnSn+1(Sn≠0)，
所以Sn+1−Sn=Sn⋅Sn+1，
两边同除以SnSn+1得1Sn+1−1Sn=−1，
因为a1=−1，所以1S1=−1，
因此数列{1Sn}是首项为−1，公差为−1的等差数列，
所以1Sn=−1−(n−1)=−n，
所以Sn=−1n.
(2)由(1)知Sn=−1n，
∴Snn+2=−1n(n+2)=−12(1n−1n+2)，
∴Tn=−12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n−1n+2)]
=−12(1+12−1n+1−1n+2)
=2n+32(n+1)(n+2)−34.
【解析】(1)首先根据an+1与Sn+1，Sn的关系得到1Sn+1−1Sn=−1，然后由等差数列的通项公式可得；
(2)利用裂项相消法求解Tn即可．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】

【解析】
20.【答案】解：(Ⅰ)数列{an}(n∈N*)满足a12+a222+⋯+an2n=n−2+12n−1，①，
当n=1时，a12=1−2+1=0，解得a1=0；
当n≥2时，a12+a222+⋯+an−12n−1=n−1−2+12n−2，②，
①-②得：an2n=1+12n−1−12n−2，
整理得an=2n−2，(首项符合通项)，
故an=2n−2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得：bn=an⋅cs⁡nπ=(2n−2)⋅cs⁡nπ={2−2n(n为奇数)2n−2(n为偶数)，
所以T2n=(−21+22−23+...−22n−1+22n)+(2−23)+(2−2+2−...+2−2)，
=−21+22−23+...−22n−1+22n，
=−2×[1−(−2)2n]1−(−2)=2×4n−23.
【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系求出数列的通项公式；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，使用分组法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
21.【答案】解：(1)由散点图可以判断，y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，
将y=cedx两边同时取自然对数，可得ln⁡y=ln⁡c+dx，
由题中的数据可得，i=17(xizi−7x−z−)=36.6，i=17(xi−x−)2=i=17xi2−7x−2=112，
∴b =i=17(xizi−7x−z−)i=17xi2−7x−2=36.6112≈0.33，
则lnc=z−−dx−=−5.31，
则z关于x的线性回归方程为z =0.33x−5.31，
故y关于x的回归方程为y =e0.33x−5.31；
(2)由f(p)=C53p3(1−p)2，则f′(p)=C53p2(1−p)(3−5p)，
∵00，则3p−5>0，解得0∴f(p)在(0,35)上单调递减，在(35,1)上单调递增，
∴当x=35时，f(p)取得唯一的极大值，即最大值，
∴f(p)的最大值为f(35)=216625，此时对应的概率p=35.
【解析】(1)根据散点图的形状，即可判断y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，然后对回归方程进行变形，转化为求解线性回归方程，即可得到答案；
(2)先求出f(p)，然后利用导数研究f(p)的最值即可．
本题考查回归方程的求解，利用导数研究函数最值的应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)f′(x)=eax+(x−1)eax⋅a=eax(ax−a+1)，
当a>0时，令f′(x)>0，得x>1−1a，
令f′(x)<0，得x<1−1a，
所以f(x)在(−∞,1−1a)上单调递减，在(1−1a,+∞)单调递增，
当a<0时，令f′(x)>0，得x<1−1a，
令f′(x)<0，得x>1−1a，
所以f(x)在(−∞,1−1a)上单调递增，在(1−1a,+∞)单调递减，
综上所述，当a>0时，f(x)在(−∞,1−1a)上单调递减，在(1−1a,+∞)单调递增，
当a<0时，f(x)在(−∞,1−1a)上单调递增，在(1−1a,+∞)单调递减．
(2)证明：①当a=1时，f(x)=(x−1)ex，
令(x−1)ex=x+1，
因为x=−1不是方程(x−1)ex=x+1的根，
所以(x−1)exx+1−1=0，
令g(x)=(x−1)exx+1−1，x≠−1，
g′(x)=(x2+1)ex(x+1)2>0，
所以g(x)在(−∞,−1)，(−1,+∞)上单调递增，
又g(−2)=3e2−1<0，g(−32)=5e32−1>0，
所以由零点存在定理可得g(x)在(−∞,−1)上有一个零点，
又g(1)=−1<0，g(2)=e23−1>0，
所以由零点存在定理知，g(x)在(−1,+∞)上有一个零点，
所以g(x)有两个零点，
即y=f(x)与y=x+1恰有两个公共点，
②接下来证明两个公共点关于(0,1)对称，
设(x0,y0)为f(x)=(x−1)ex与h(x)=x+1的一个交点，
则y0=(x0−1)ex0=x0+1，
又f(−x0)=(−x0−1)e−x0=−(x0+1)×x0−1x0+1=−x0+1=−(y0−1)+1=2−y0
h(−x0)=−x0+1=2−y0，
所以点(−x0,2−y0)也是y=f(x)与y=h(x)=x+1的一个交点，
又因为y=f(x)与y=x+1恰有两个公共点，
所以两交点分别为(x0,y0)，(−x0,2−y0)，
又因为点(x0,y0)与点(−x0,2−y0)关于点(0,1)对称，得证．
【解析】(1)求导得f′(x)=eax(ax−a+1)，分两种情况：当a>0时，当a<0时，分析f′(x)的符号，f(x)的单调性．
(2)①当a=1时，f(x)=(x−1)ex，令(x−1)ex=x+1，则(x−1)exx+1−1=0，令g(x)=(x−1)exx+1−1，x≠−1，分析g(x)的零点，②接下来证明两个公共点关于(0,1)对称，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．平均温度x/℃
21
23
25
27
29
31
33
平均产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
z=lny
1.9
2.4
3
3.2
4.2
4.7
5.8
参考数据：
i=17xi2
i=17xiyi
i=17xizi
y−
z−
5215
17713
715.4
81.3
3.6
x
[1,e)
e
(e,+∞)
y′
+
0
-
y
↗
1e
↘