数学选择性必修 第三册6.3 二项式定理同步测试题

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1．（2021·首都师范大学附属中学高二期末）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题设知：只有第5项的二项式系数为最大，∴由对称性知：，而展开式通项，∴时，常数项为.
2．（2021·全国高二专题练习）已知，，则自然数等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【详解】由题意，令，则，因为，所以，解得.故选：C.
3．（2021·江西九江一中高二月考）在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（ ）
A．45B．-45C．120D．-120
【答案】A
【详解】∵在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
∴在的展开式有11项，即n=10；而展开式的所有项的系数和为0，
令x=1，代入，即，所以a= -1.
∴是展开式的通项公式为：，
要求含的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为.
4．（2021·全国高二单元测）已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为，
设第项的系数最大，则，即，
求得或6，此时，，，故选：A．
5.（多选题）（2021·江苏南通市·高二月考）若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】分以下三种情况讨论：
①展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；
②展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；
③展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得.
因此，的可能值为、、.故选：ABC.
6．（多选题）（2021·湖南衡阳市八中高二月考）关于及其展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中二项式系数和是B．该二项展开式中第七项为
C．该二项展开式中不含有理项D．当时，除以100的余数是1
【答案】BD
【详解】对于A，该二项展开式中二项式系数和是，故错误；
对于B，由于，即该二项展开式中第七项为，故正确．
对于C，该二项展开式中，最后一项为，是有理项，故错误．
对于D，当时，，除了最后一项（最后一项等于1），前面的所有项都能被100整除，即当时，除以100的余数是1，故正确．故选：BD.
二、填空题
7．（2021·福建厦门双十中学高二月考）如果的展开式中各项系数之和为4096，则展开式中的系数为________.
【答案】1215
【详解】由的展开式中各项系数之和为4096，
令x＝1得，解得n＝6；所以
令得：r＝2，从而得展开式中x的系数为。
8．（2021·全国高二专题练）若，则的值为________.
【答案】-1
【详解】因为，
令可得；令可得：；
故．
9．（2021·河南南阳中学高二月考）在的展开式中，各项系数的和为，二项式系数之和为，且是与的等差中项，则正整数的值为___________.
【答案】3
【详解】的展开式
令二项式中的得到展开式中的各项系数的和为，
又各项二项式系数的和，为，
根据题意得即，
解得或 (负值舍)，故.
10．（2021·湖北黄冈市高二期末）若函数，其中≤x≤，则的最大值为_______．
【答案】22021
【详解】令，则有，按的升幂排列，
，
，
两者相加时，的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同，
所以，则偶数次幂的最大值为1，
所以最大值为：
.
三、解答题
11．（2021·江苏省苏州第十中学校高二期中）已知在的展开式中，_________（填写条件前的序号）
条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；
条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；
条件③.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含的项.
【答案】（1）（2）
【详解】通项公式为，，
若填条件①，
（1）依题意得，即，
所以，整理得，
所以或（舍），
因为，所以的展开式共有项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以.
（2）通项公式为，
令，得，
所以展开式中含的项为.
若填条件②，
（1）依题意得，所以，
所以，即，
所以或（舍），
因为，所以的展开式共有项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以.
（2）通项公式为，
令，得，
所以展开式中含的项为.
若填条件③，
（1）依题意得，则，
所以，所以，
因为，所以的展开式共有项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以.
（2）通项公式为，
令，得，
所以展开式中含的项为.
12．（2021·全国高二单元测）已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求的展开式中：
（1）所有二项式系数之和；
（2）二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项.
【答案】（1）；（2）；（3）第项.
【详解】解：（1）由题意，解得.
二项式系数和为
（2）由于为偶数，所以的展开式中第6项的二项式系数最大，
即.
（3）设第项的系数的绝对值最大，
则
∴，得，即
∴，∴，
故系数的绝对值最大的是第4项，即：