福建省莆田市秀屿区毓英中学2024届九年级上学期第二次月考数学试卷(含解析)

这是一份福建省莆田市秀屿区毓英中学2024届九年级上学期第二次月考数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了 一元二次方程的根为， 如图，中，，，，则， 要得到抛物线y=， 如图，中，，则的度数为等内容，欢迎下载使用。
1. 下面四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它原图重合，即不满足中心对称图形的定义．故本选项不符合题意．
故选：A．
2. 一元二次方程的根为（ ）
A. B. C. ，D. ，
答案：C
解析：
详解：解：，
即，
解得：，，
故选：C．
3. 如图，中，，，，则
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：∵在中，，，，
∴，
∴.
故答案为A.
4. 要得到抛物线y=（x﹣4）2，可将抛物线y=x2（ ）
A 向上平移4个单位B. 向下平移4个单位
C. 向右平移4个单位D. 向左平移4个单位
答案：C
解析：
详解：解：∵的顶点坐标为（4，0），的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线向右平移4个单位，可得到抛物线．故选C．
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
5. 已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是2，则这点在（ ）
A. 圆内B. 圆上C. 圆外D. 都有可能
答案：A
解析：
详解：解：∵点到圆心的距离是2，圆的半径为3，且，
∴这点在圆内．
故选：A
6. 如图，与位似，点为位似中心．已知，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：与位似，点为位似中心．已知，
与的相似比为
与的面积比为
故选D
7. 如图，中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠APC=∠BOC，
∵∠APC=28°，
∴∠BOC=56°，
故选：D．
8. 如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A、C，点D在⊙O上，则∠B的度数是（ ）
A. 45°B. 50°C. 60°D. 65°
答案：C
解析：
详解：解：连接OA、OC，
∵AB，BC与⊙O相切，
∴OA⊥AB，OC⊥BC，
∴∠BAO=∠BCO=90°，
∴∠B+∠AOC=360°-∠BAO-∠BCO=180°
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B=∠D，
又∵点D在⊙O上，
∴∠AOC=2∠D，
∴∠B+2∠B =180°
∴∠B＝60°．
故选：C．
9. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
详解：解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为，
故选：A．
10. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点，已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：令，即，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴，即，
又∵方程的根为，
∴，，
∴函数，
∴该函数图象的顶点为，
如图，在对称轴直线右侧，随的增大而减小，在左侧，随的增大而增大，
当时，函数的最小值为，最大值为，
当时，解得或，
∴．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11. 已知二次函数，当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）.
答案：减小
解析：
详解：∵二次函数，开口向下，对称轴为y轴，
∴当x>0时，y随x的增大而减小．
故填：减小.
12. 若，且相似比为，的周长为，则的周长是______．
答案：
解析：
详解：解：∵，且相似比为，的周长为，
的周长是，
故答案为：15．
13. 若正方形的边长为8，则其外接圆的半径是______．
答案：
解析：
详解：解：如图：作点O作于点E，
∵圆O是四边形的外接圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故其半径等于．
故答案为：．
14. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
那么该抛物线的顶点坐标是______．
答案：
解析：
详解：解：∵当时，，当时，，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数顶点坐标为，
故答案为：．
15. 如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为______．
答案：##
解析：
详解：解：过C作于点F，交于点E，设交于点G，
由题意得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在边长为的等边△ABC中，点D、点E分别是边BC、AC上的点，且BD＝CE，连接BE、AD，相交于点F．连接CF，则CF的最小值为_________．
答案：6
解析：
详解：解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动，此时∠AHB＝180°-120°=60°，∠AOB=2∠AHB=120°，
∵AB=，OA=OB，
∴OA＝AB ÷=÷=6，
∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，
∴，
∴∠AOC=∠AOB=60°，∠ACO=∠ACB=30°，
∴∠CAO=90°，
∴OC＝2OA＝12，
设OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC−ON＝12−6＝6．
故答案为6．
三．解答题（共9小题）
17. ．
答案：3
解析：
详解：解：
．
18. 解方程：
答案：，
解析：
详解：解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，．
19. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，若AE＝1，BE＝．
（1）求EF的长；
（2）当EC＝时，求∠AEB的度数．
答案：（1）2 （2）135°
解析：
小问1详解：
解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
∴△ABE≌△CBF，
∴BE＝BF＝，AE＝CF＝1，∠EBF＝90°，∠AEB＝∠BFC，
∴△BEF为等腰直角三角形，
由勾股定理得，，
即EF=2．
小问2详解：
解：在△CEF中，CE＝，CF＝1，EF＝2，
∵，CE2＝5，
∴，
∴△CEF为直角三角形，
∴∠EFC＝90°，
∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，
∴∠AEB＝∠BFC=135°．
20. 如图，已知⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．
（1）用尺规作图作出劣弧的中点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
解：如图，AE为所作；
∵平分，
∴，
∴．
小问2详解：
解：连接交于F，连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，．
21. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？
答案：（1），；（2）应上涨2元或6元；（3）当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．
解析：
详解：（1）由题意得：当销售单价上涨x元时，每天销售量会减少瓶，
则每天的销售量为瓶，
每瓶洗手液的利润是（元），
故答案为：，；
（2）由题意得：，
解得，，
答：销售单价应上涨2元或6元；
（3）由题意得：，
化成顶点式为，
由二次函数的性质可知，当时，y取得最大值，最大值为320，
答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．
22. 设计货船通过圆形拱桥的方案
答案：任务一：10m；任务二：不能，需增加吨货物
解析：
详解：解：任务1
记拱桥所在圆弧的圆心为点O，拱顶离水面的距离为，水面宽，则点O在延长线上，连接（如图1）

设桥拱的半径为，
∵，，
∴，
∴，即圆形拱桥的半径为10米．
任务2
当是的弦时，记与的交点为M（如图2），

则，
∴，
∴，
∴根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱，
为了能顺利通过，船在水面部分至少需要下降的高度米．
∵，
∴吨，
∴至少需要增加吨的货物．
23. 如图，为直径，、为上不同于、的两点，，连接．过点作交延长线于点，分别延长与交于点．

（1）求证：为的切线；
（2）当，时，求长．
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：
小问1详解：
证明：连接．

∵，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵为的半径，
∴为的切线；
小问2详解：
连接． 而，，，
∴，
解得：，
∵是直径，
∴， ，而，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 证明体验：
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
思考探究：
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．
拓展延伸：
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．
答案：（1）见解析；（2）；（3）
解析：
详解：解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）如图，在上取一点F，使得，连结．
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴．
25. 已知抛物线过点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知过原点的直线与该抛物线交于，两点（点在点右侧），该抛物线的顶点为，连接，，点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合）．
①当点A的横坐标是时，若的面积与的面积相等，求点的坐标；
②点，点为抛物线上动点，以线段为直径的圆截定直线所得弦长为定值，求和弦长的值．
答案：（1）
（2）①；②，弦长为
解析：
小问1详解：
解：∵抛物线过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将点代入，
得
∴抛物线的解析式为：
小问2详解：
①∵点的横坐标是，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立方程组，
解得或，
∴，
如图1，过点作轴交直线于点，设，则，
∴，
∴，
，
∵的面积与的面积相等，
∴，∴，
∴，
∴或，
∵点在点，之间的抛物线上运动（不与点，重合），
∴，
∴；
②设，
∵
∴
∴
设圆心为点，则
∴圆心到直线距离，设弦长为
由勾股定理知：，代入得：，
∵弦长为定值，
∴与无关，
∵的值大于0，
∴x
…

0
…
y
…
…
素材1
图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形拱桥的示意图，测得水面宽16m，拱顶离水面的距离为4m．
素材2
一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．

问题解决
任务1
确定拱桥半径
求圆形拱桥的半径．
任务2
确定设计方案
根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少能增加多少吨货物才能通过？