福建省莆田市擢英中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考（开学考试）数学试题（解析版）

这是一份福建省莆田市擢英中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考（开学考试）数学试题（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题〈共6小题．每小题4分)，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．是一次函数，故选项不符合题意；
B．右边是分式，不是二次函数，，故选项不符合题意；
C．时，不是二次函数，故选项不符合题意；
D．是二次函数，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的函数叫做二次函数．
2. 任意下列两个图形不一定相似的是（ ）
A. 正方形B. 等腰直角三角形C. 矩形D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．
【详解】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意；
故选C．
【点睛】此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键．
3. 抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（ ）
A. （1，﹣3）B. （1，3）C. （﹣1，3）D. （﹣1，﹣3）更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【答案】C
【解析】
【分析】根据函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线y＝2（x＋1）2＋3的顶点坐标是（﹣1，3）．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
4. 在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
【详解】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴一次函数y＝kx+1的图象经过经过第一、二、四象限，
∴A、D选项不符合题意，C符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象与待定系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
5. 如图，在中，点D在边上，，若，则的值是( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接运用平行线分线段成比例定理得出比例式求解即可．
【详解】解： ∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
6. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，

由图可知，，，
.
根据镜面的反射性质，
∴，
∴，
，
，
小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，
，，.
.
.
故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.
7. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是( )

A. 平分B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵平分，
∴，
∵，
∴，故选项不符合题意；
B．∵，
∴，不一定能判定和相似，故选项符合题意；
C．∵，，
∴，故选项不符合题意；
D．∵，，
∴，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
8. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后所得到的拋物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答．
【详解】解：∵抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，
∴平移之后二次函数的解析式为，
故选．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，熟记平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
9. 下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A. 点在函数图像上B. 开口方向向上
C. 对称轴是直线D. 与直线有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
10. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②图象上有两点和，若，且，则一定有；③；④若方程没有实数根，则；正确的是()

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】①根据抛物线的性质判断、、的正负性，据此解答即可；②由抛物线开口向下，对称轴为，，，得在的右侧，分与两种情况讨论求解即可；③由抛物线与轴的另一个交点在点和之间，得，根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出，据此判断即可；④根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可．
【详解】解∶∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线开口向下，
∴，抛物线与轴的另一个交点在点和之间，抛物线开口向下，
∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为，，，
∴在的右侧，
当时，
∴在抛物线的右侧，随的增大而减小，
∵，
∴，
当时，
∵，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
∴，
综上所述，故②正确；
∵抛物线的对称轴，
∴，
∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵的最大值是，
∴方程没有实数根，则，
结论④正确．
综上，可得正确结论的序号是∶②③④．
故选∶B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图像及性质以及二次函数与一元二次方程的关系．
二、填空题〈共6小题．每小题4分)
11. 已知抛物线与x轴有且只有一个交点，则______．
【答案】9
【解析】
【分析】抛物线与x轴有且只有一个交点，可知对应的方程有唯一解，即，即可求出m的值．
【详解】解：∵抛物线与x轴有且只有一个交点，
∴方程有唯一解，
即，
解得：，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是明确和抛物线与x轴的交点个数之间的关系．
12. 如图，中，，于，，，则的长为___________．

【答案】2
【解析】
【分析】先根据题意得出，然后根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵中，，
∴．
∵于点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度一般，解答本题的关键是根据垂直证明三角形的相似，根据对应边成比例求边长是解题的．
13. 如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，______．

【答案】4
【解析】
【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当时，，即，
∵轴，
∴，关于直线对称，
∴，
∴；
故答案为：4
【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．
14. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________．

【答案】或##或
【解析】
【分析】根据函数图象可知直线在抛物线上方时，取值范围．
【详解】解：如图所示
∵抛物线与直线交于，
∴由图象可知，不等式的解集为：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了图象法解一元一次不等式的解集的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
15. 如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为_________．

【答案】
【解析】
【分析】设交于点，由矩形的边在．上证明，，则，得，其中，，，可以列出方程“解方程求出的值即可．
【详解】解：设交于点，

∵矩形的边在上，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵，，，，
∴四边形是矩形,
∴，
∵，，
∴，
∴
解得，
∴的长为，
故答案为∶．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
16. 如图，在中，，，，平分，点D是的中点，与交于点O，则的值__________．

【答案】
【解析】
【分析】：如图，过点E作，垂足为F，过点D作，交于点G，由角平分线性质定理，得，由三角形面积可求证，由可进一步求证，可得，于是，求证，可得，进一步得证，，从而．
【详解】解：如图，过点E作，垂足为F，过点D作，交于点G，

∵平分，，，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴．
又，
∴．
∴．
∴，．
∵，
∴，
又，
∴
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，角平线的性质定理；运用相似三角形的性质推证线段之间的数量关系是解题的关键．
三、解答题(共9小题，共86分)
17. 如图，中，，，．E是上一点，，，垂足为D．求的长．
【答案】4
【解析】
【分析】通过证明，可得，即可求解.
【详解】解：∵
∴，
∴，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
18. 已知抛物线的顶点坐标是（3，2），且经过点（1，-2）． 求这条抛物线的解析式．
【答案】y=-（x-3）2+2
【解析】
【详解】试题解析：抛物线的顶点坐标是,
设抛物线解析式为
把代入得，解得
所以抛物线解析式为
点睛：抛物线常见的有三种形式：一般式顶点式交点式
根据题意选择合适的形式,可以简化运算.
19. 如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍；
（2）分别写出A，B两点的对应点A′，B′的坐标．
【答案】（1）见详解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.
【解析】
【分析】(1)把B、A的横纵坐标都乘以−2得到B′、A′的坐标，然后描点即可；
(2)分别求出点B、A的横坐标与纵坐标的2倍的相反数即可．
【详解】解：(1)如图，△OBꞌAꞌ为所作；
(2) ∵
∴A，B两点对应点A′，B′的坐标为A′（-6,2），B′（-4，-2）.
【点睛】本题考查了作图−−位似变换：熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标是解决问题的关键．
20. 如图，在中，．在BC的延长线上取一点B，使，连接AE，AE与CD交于点F．
（1）求证：；
（2）求DF的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，从而得出，即证明；
（2）由平行四边形的性质可得出，，即得出，再根据相似三角形的性质可得出，即，最后结合，即可求出DF的长．
【小问1详解】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，即．
∵，
∴，即．
∵,
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．
21. 抛物线的图象如图所示，点О为原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形为正方形，求点B的坐标．

【答案】
【解析】
【分析】连接交于点D，设B点坐标为，四边形为正方形，则，，得到，则，解得，即可得到点B的坐标．
【详解】解：连接交于点D，

∵点B在抛物线上，
∴可设B点坐标为，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
【点睛】此题考查了正方形的性质、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握正方形的性质和数形结合是解题的关键．
22. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植雪花梨获得大丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为5千元/吨时，每天可售出15吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本3千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于5千元，不高于7千元，请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少千元/吨时，每天所获利润最大？最大利润是多少千元？
【答案】（1），；
（2）批发价定为7千元/吨，最大利润44千元．
【解析】
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量批发价成本价，列出销售利润w（千元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【小问1详解】
解：根据题意可得，，
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式为，
自变量x的取值范围是；
小问2详解】
解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得
，
∵，
∴当时，w取最大值；时，w随x的增大而增大；
∴，
∴当时，w有最大值，最大值为44，
∴将批发价定为7千元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是44千元．
【点睛】本题考查二次函数应用，以及利用二次函数的性质求最大值，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23. 如图，平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点、，交y轴于点，在y轴上有一点，连接．

（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意利用待定系数法将点、，代入，列出关于a、b、c的方程组，解方程组即可得出二次函数的表达式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，过点D作轴于点M，延长交于点H，设，则，表示出，化为顶点式即可得出的面积的最大值．
【小问1详解】
解：∵二次函数经过点、，，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为；
【小问2详解】
设直线的解析式为，
∵过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点D作轴于点M，延长交于点H，

设，则，
∴，
∴
，
，
∴当时，的面积取得最大值为．
【点睛】本题属于二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识点，数形结合是解题的关键．
24. 问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展：
（3）将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论．
（2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．
（3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出．
【小问1详解】
延长过点F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．

故答案为：．
【小问2详解】
解：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．
【小问3详解】
解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，连接，作于点O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
．
【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．
25. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点和，连接，点为抛物线上一动点，过点Р作轴交直线于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
（3）当Р点在运动过程中，在y轴上是否存在点，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点Р与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）或或
（3）存在，，或，或，或，
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分，三种请况讨论求解即可；
（3）分点在点左侧和右侧，以及分，，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点和，
设，
把，代入得：，解得：，
∴；
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴直线的解析式为：；
【小问2详解】
∵点为抛物线上一动点，过点Р作轴交直线于点M，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
①当时：，解得：（负值已舍去）；
②当时：，解得：（舍去）或；
③当时：，解得：；
综上：或或；
【小问3详解】
存在；
∵点Р与点C相对应
∴或；
①当点在点左侧时，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
当时，，
∴，
∴，即：，解得：（负值已舍掉）；
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
当时，，
在点上方时，过点作轴，则：，
∴，，
∴，即：，
解得：（不合题意，舍去）；
当在点下方时，如图，
则：，
∴，即：，
解得：（负值已舍去），且满足分式方程；
∴，；
②当点在点右侧时：则：，，
当，，
∴，
∴，即：，解得：（负值已舍掉）；
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
当时，，
过点作轴，则：，
∴，
∴，，
∴，即：，
解得：（负值已舍去），且满足分式方程；
∴，；
综上：，或，或，或，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．