高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用精品第1课时练习

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【夯实基础】
题型1点到直线的距离
1.已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，根据与平面所成角的正切值为得到，再求到平面的距离即可.
【详解】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，，，，.
，，.
设平面的法向量，
则，令，得，，
故.
因为直线与平面所成角的正切值为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
即，解得.
所以平面的法向量，
故到平面的距离为.
故选：D
【点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题.
2.已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由点A到直线的距离,向量在向量上的投影及勾股定理即可求.
【详解】已知，，，
所以 ，，
点A到直线的距离为.
故选：C.
3.已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）．
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解.
【详解】空间内三点，，，
所以，，，，
由，所以，
所以点A到直线的距离.
故选：A.
4.（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，O为面的中心，E、F分别为BC和的中点，则（ ）
A．平面B．平面与平面相交
C．点О到直线的距离为D．点O到平面的距离为
【答案】BC
【分析】建系，利用空间向量处理线、面关系以及距离问题.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则有：，
设平面的法向量为，
由，则，
令，则，则，
设平面的法向量为，
由，则，
令，则，则，
对A：∵，则，即与不共线，
∴不与平面垂直，A错误；
对B：∵，则与不共线，
∴平面与平面相交，B正确；
对C：∵，则，即为锐角，
∴，
故点О到直线的距离为，C正确；
对D：点O到平面的距离为，D错误.
故选：BC.
题型2点到平面的距离
5.在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】根据向量法计算可得.
【详解】依题意，平面的法向量为，
所以点到平面的距离.
故选：C
6.如图，在正方体中，棱长为2，点分别为棱､中点，则点到平面的距离为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，令，则，所以，
则点到平面的距离为.
故选：B.
7.如图，在棱长为1的正方体中，则（ ）

A．B．三棱锥体积为
C．点到平面的距离为D．与平面所成角的正弦值为
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，用坐标法解空间几何体相关问题
【详解】以为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系，则
对选项A，，，
所以与不垂直.选项A不正确；
对选项B，设平面的一个法向量为 ，.
则 ，令，则，即法向量.
，在法向量上投影的绝对值即为点到平面的距离，
点到平面的距离为
是正方体的面对角线，是边长为的正三角形，
则选项B正确；
对选项C，由选项B的解析过程知，选项C正确；
对选项D，与平面所成角的正弦值等于与法向量所成角余弦值的绝对值.
则 选项D正确.
故选:BCD

8.（多选题）在四棱锥中，平面，直线与平面和平面所成的角分别为和，则（ ）
A．B．
C．直线与平面所成角的余弦值为D．若的中点为，则三棱锥的外接球的表面积为
【答案】BD
【分析】设，易得即为直线与平面所成角的平面角，即为直线与平面所成角的平面角，从而可求得，即可判断AB；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断C；易得为等腰直角三角形，则外接圆的圆心为的中点，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则平面，设，再根据求得半径，即可判断D.
【详解】设，则，
因为平面，平面，所以，
则即为直线与平面所成角的平面角，
所以，所以，即，，
因为平面，
所以平面，
则即为直线与平面所成角的平面角，
所以，
所以，即，
所以，即，故A错误；
，则，
所以，故B正确；
对于C，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
余弦值为，故C错误；
因为的中点为，
所以且，
又，所以四边形为矩形，
所以，
所以为等腰直角三角形，，
则外接圆的圆心为的中点，半径，
如图，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
则平面，设，
则，
即，解得，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确.
故选：BD.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
题型3.异面直线间的距离
9.（多选题）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．与垂直
B．是异面直线与的公垂线段，
C．异面直线与所成的角为
D．异面直线与间的距离为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析.
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立如下图所示坐标系：
则： ，
，
设 ，
则有： ，
又 ，
解得 ， ， ， ，同理可得 ；
对于A， ， ， ，正确；
对于B， ， ，
即，又,
故是异面直线与的公垂线段，正确；
对于C，设 与 所成的角为 ，则 ，
，，错误；
对于D，由B知 是 与 的公垂线段， ，正确；
故选：ABD.
10.（多选题）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（ ）
A．点到直线的距离为B．直线到直线的距离为
C．点到平面的距离为D．直线到平面的距离为
【答案】BD
【分析】建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离，判断A；先证明再转化为点到直线的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则
因为，
所以.
所以点到直线的距离为，故A错误；
因为所以，即
所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，
，
所以直线到直线的距离为，故B正确；
设平面的一个法向量为，.
由令，则，即.
设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为，故C错误；
因为平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离.，
由（3）得平面的一个法向量为，
所以到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为，故D正确.
故选：BD
11.正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则
，，，，．
，．
令向量，且，则，
，，
，．
异面直线和之间的距离为：
．
故选：C.
12.（多选题）如图，为正方体，边长为1，下列说法正确的是（ ）

A．平面B．到面的距离为
C．异面直线与的距离为D．异面直线与的夹角为
【答案】ABC
【分析】先建立空间直角坐标系，然后利用向量法分别判断4个选项即可.
【详解】
选项A：
如图建立空间直角坐标系，
由题意，，，，，，，
，，，
，，
所以，
又因平面，平面，，
所以平面，A正确；
B选项：
由A知为平面的法向量，
，
所以到面的距离为，
故B正确，
C选项：
，，，
设异面直线与的公共法向量为，
则，，
令，则，，
,
则异面直线与的距离为，
故C正确，
D选项：
，，
，
所以异面直线与的夹角的余弦值为，夹角为
故D错误，
故选：ABC
题型4.平面与平面间的距离
13.在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，令得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．
故选：A
14.已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解
【详解】由正方体的性质，∥,∥，，，
易得平面平面，
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，．
连接，由，，且，可知平面，
得平面的一个法向量为，
则两平面间的距离．
故选：D
15.在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，
利用向量的距离公式，即可求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．
【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
16．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B.
【能力提升】
单选题
1.在空间直角坐标系中，已知，则到的距离为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由点的坐标即可得到空间向量的坐标，然后由坐标运算公式即可得到结果.
【详解】由已知，
所以到的距离为，
故选:D．
2.如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，求出与和垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离.
【详解】以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，设与和都垂直，
则，即，取，又因为，
所以异面直线和间的距离为.
故选：B.
3.已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为（ ）
A．10B．3
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用空间向量法计算空间点到平面的距离，即可求解.
【详解】由题意得，，
则到平面的距离为
.
故选：D.
4.如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】取的中点，连接，
因为为等边三角形，为的中点，则，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
故选：A.
5.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量点到平面的距离公式计算作答.
【详解】依题意，，所以点到平面的距离.
故选：B
6.在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】将点到平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系求解.
【详解】如图所示，因为点E，F分别是，的中点，所以，又因为平面，平面，
所以平面，点到平面的距离即为点或到平面的距离.
设到平面的距离为，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
设平面的法向量为，则有，得，
可求得平面的法向量为，，
所以.
故选：D.
7.正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解
【详解】由正方体的性质：∥,∥，
，，
且平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面，
则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
由正方体的棱长为1，所以，，，
，，
所以，，
，．
连接，
由，，
所以，
且，
可知平面，
得平面的一个法向量为，
则两平面间的距离：
．
故选：D.
8.在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．
C．三棱锥外接球的表面积为
D．平面与平面的距离为
【答案】A
【分析】根据线面角的定义即可判断A，建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算即可判断BD，由三棱锥外接球与正方体的外接球相同即可判断C.
【详解】
连接，与相交于点，因为平面，且平面，
所以，又因为，，所以平面，
即直线与平面所成的角为，且，故A错误；
连接，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则，解得，取，则
所以，则，所以平面，
且平面，则，故B正确；
因为三棱锥外接球就是正方体的外接球，
设其外接球的半径为，则，即，
所以，故C正确；
因为平面平面所以平面
同理平面 又平面,
所以平面平面，
由B选项可知，平面的法向量为，且，
则两平面间的距离，故D正确.
故选:A
多选题
9.已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．
B．二面角的大小为
C．点到平面距离的取值范围是
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ACD
【分析】根据几何体为正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后利用数量积可判断A的正误，求出平面的法向量和平面的法向量可利用数量积计算夹角的余弦值后可判断B的正误，利用点到平面的距离的公式计算后可判断C的正误，最后利用直线和平面的法向量计算线面角的正弦值后可判断D的正误.
【详解】
由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，其中，
对于A：，故即，
故A正确.
对于B：，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
故.
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
故.
故，而二面角为锐二面角，
故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故B错误.
对于C：，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
故.
而，
故到平面的距离为，
故C正确.
对于D：设直线与平面所成的角为.
因为平面，故为平面的法向量，
而，故，
而，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：空间中位置关系的判断、角的计算或范围的判断，可结合几何体的规则性建立合适空间直角坐标系，通过向量的共线、向量的数量积等来判断位置关系，通过平面的法向量、直线的法向量等来处理相关角的计算或范围问题.
10.在棱长为2的正方体中，，分别是棱BC，的中点，点满足，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则平面MPQ
B．若，则过点，，的截面面积是
C．若，则点到平面MPQ的距离是
D．若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为
【答案】BD
【分析】时有M与A重合，对于A选项，可以利用反证法判定；对于B选项，根据平面的性质计算即可；时，M为AB中点，对于CD选项，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量处理即可.
【详解】如图所示，时有M与A重合，
对于A选项，延长PQ交BB1于L，连接AL，易得平面平面MPQ=AL，若平面MPQ，则，显然，且B、L不重合，矛盾，故A错误；
对于B项，连接AD1、D1Q，易知平面APQD1即该截面，显然该截面为等腰梯形，易得，，故B正确；

如图所示，时，M为AB中点，以D为中心建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面MPQ的法向量为，则，
令，则，故
对于C项，设点到平面MPQ的距离为，则，即C错误；
对于D项，设AB与平面MPQ所成角为，则，
所以，即D正确.
故选：BD

11.在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．异面直线AC与所成的角为
B．是平面的一个法向量
C．直线到平面的距离为
D．平面与平面间的距离为
【答案】ABD
【分析】对A，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量关系可求出；对B，说明平面即可；对C，等价于点到直线的距离；对D，根据向量关系可求出.
【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，设异面直线AC与所成的角为，
则，因为，所以，故A正确；
在正方体中，平面，平面，
所以，又，，，，
所以平面，所以是平面的一个法向量，故B正确；
因为平面，所以直线平面，
则直线到平面的距离等于点到平面的距离，等于点到直线的距离，为，故C错误；
设平面的一个法向量，
则，即，所以，
则平面与平面间的距离，故D正确．
故选：ABD．
12.已知正方体的棱长为，点，分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．与平面所成角的正弦值是B．点到平面的距离是
C．平面与平面间的距离为D．点到直线的距离为
【答案】ACD
【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出所需直线的方向向量以及平面的法向量，然后利用向量法求解直线与平面所成的角、点到直线的距离、点到平面的距离，即可求解．
【详解】解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
所以，0，，，0，，，1，，，0，，，
则，而平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值是，
故选项A正确；
因为，而平面的一个法向量为，
则点到平面的距离，
故选项B错误；
因为，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
所以点到平面的距离，
因为平面平面，
则平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
故平面与平面间的距离为，
故选项C正确；
因为，则，
又，则，
所以点到的距离，
故选项D正确．
故选：ACD．
填空题
13.如图，在棱长为1的正方体中，
（1）点到直线的距离等于____________；
（2）直线到平面的距离等于____________．
【答案】 .
【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法可得点到直线的距离，利用点到平面的距离公式可得点到平面的距离，进而可得直线到平面的距离.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
所以点A到直线的距离等于；
由题可知，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以点平面的距离为，
又，所以，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离等于直线到平面的距离为.
故答案为：；.
14.已知平面α的一个法向量，点在α内，则到α的距离为
【答案】
【分析】由向量的坐标运算得，再由平面的距离即可求解.
【详解】由题意，得，又知平面的一个法向量，
则到平面的距离.
15.直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为
A．B．C．D．
【答案】2
【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.
【详解】∵，，
∴，又，
∴在方向上的投影，
∴P到l距离.
16.如图，在棱长为1的正方体中，M为BC的中点，则 与所成角的余弦值为___________；C到平面的距离为___________.
【答案】
【分析】第一空根据向量法即可求得异面直线之间的夹角.
第二空利用等体积法即可求得.
【详解】由已知连接，如图所示建立空间直角坐标系,
则，，，


与所成角的余弦值为
如图所示设C到平面的距离为
因为

故答案为：，
解答题
17.在正四棱柱中，，，E在线段上，且.

(1)求证：平面DBE；
(2)求直线与平面DBE所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理作答.
（2）利用空间向量求出线面角的正弦值作答.
【详解】（1）在正四棱柱中，两两垂直，
以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，
，，，
于是，，即且，
而平面DBE，
所以平面DBE.
（2）由（1）得，为平面DBE的一个法向量，
因此，
所以直线与平面DBE所成角的正弦值为.
18.如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取线段的中点，连接，记，连接，证明，，从而可证得平面平面，再根据面面平行的性质即可得证；
（2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）取线段的中点，连接，记，连接，
因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由题意可知四边形是矩形，则是的中点，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，且，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
（2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
故点到平面的距离．

19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，若，．

(1)证明：平面平面；
(2)若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，设为直线BP与平面ABCD所成角，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；
（2）根据题意得到直线两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，结合题意设，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式得到，然后利用二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）在中，，
为直角三角形且，
又底面是矩形，则，
，且均含于面QAD内平面，
又平面，平面平面；
（2）在平面内，取中点为，过点作，交于点，，，
由题意可得平面，且平面，
则，直线两两互相垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
，，
设，
则，，
又，
则，
，，
与平面所成角的正弦值的取值范围为．
20.如图，内接于⊙O，为⊙O的直径，，，，为的中点，且平面平面．

(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过面面垂直的性质，找到后证明线面垂直，从而证明线线垂直，通过两组线线垂直即可得证；
（2）通过已知条件以为正交基底建立空间直角坐标系，通过二面角向量方法计算公式求解即可.
【详解】（1）因为是⊙O的直径，所以，
因为，，
所以，
又因为，为的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
又因为平面ACD，，
所以平面
（2）因为，，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

则，，，．
显然，是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则
令，则，
所以，
设二面角所成角为，，
则，
所以二面角的正弦值为