中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题14二次函数与面积最值定值问题(江苏真题9道模拟30道)(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题14二次函数与面积最值定值问题(江苏真题9道模拟30道)(原卷版+解析)，共117页。
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
1．（2022·江苏连云港·统考中考真题）已知二次函数y=x2+(m−2)x+m−4，其中m>2．
(1)当该函数的图像经过原点O0,0，求此时函数图像的顶点A的坐标；
(2)求证：二次函数y=x2+(m−2)x+m−4的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y=−x−2上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
2．（2021·江苏南通·统考中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y=12x+12的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y=x+2,y=x2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x(x>0),y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
3．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，点A,B在函数y=14x2的图像上．已知A,B的横坐标分别为－2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA,OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求ΔAOB的面积；
（3）若函数y=14x2的图像上存在点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，则这样的点P共有___________个．
4．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点．A−1,0、B3,0，与y轴交于点C．
（1）b=________，c=________；
（2）若点D在该二次函数的图像上，且S△ABD=2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且S△APC=S△APB，直接写出点P的坐标．
5．（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，抛物线y=mx2+m2+3x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3,0)．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．
6．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E．
(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
(2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
7．（2019·江苏淮安·统考中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5,0)，点D的坐标为(1,3)．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED=EF，求点E的坐标．
（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得ΔADG的面积是ΔBDG的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2019·江苏苏州·统考中考真题）如图①，抛物线y=−x2+(a+1)x−a与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知ΔABC的面积为6.
(1)求a的值；
(2)求ΔABC外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，ΔQPB的面积为2d，且∠PAQ=∠AQB，求点Q的坐标.
9．（2019·江苏无锡·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx−4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：CA=1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC，
①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；
②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围.
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一、解答题
1．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A−1,0、B3,0，与y轴交于点C．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点P是该二次函数图象上的动点，且P在直线BC的上方，
①如图1，当CB平分∠ACP时，求点P的坐标；
②如图2，连接PA交BC于E点，设S△CPE=kS△CAE，求k的最大值．
2．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A−2,0,B4,0，与y轴正半轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的顶点为D，直线y=mx+n经过B，C两点，与对称轴交于点E．
(1)求抛物线及直线BC的函数表达式；
(2)点M是直线BC上方抛物线上的动点，连接MB,ME，得到△MBE，求出△MBE面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)直线y=kxk>0交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△CDE相似，求k的值；
(4)点N在对称轴上，满足∠BNC=∠ABC，求出点N的坐标．
3．（2022·江苏镇江·模拟预测）如图，直线l：y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a0,n>2
①在x轴上仅存在一点P，使得△APC的外心在线段AC上，求点C的坐标．
②若n=8，过A、C的抛物线顶点在x的正半轴上．点Q是线段AC下方抛物线上的一个动点，且以点Q为圆心的圆与直线l相切，求圆的最大半径．
5．（2021·江苏淮安·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A−3,4、B−3,0、C−1,0．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BG，求△BGD的面积最大值；
(3)如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出t的值：t= ．
6．（2023·江苏苏州·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
7．（2022·江苏淮安·统考二模）二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于A2,0，B6,0两点，与y轴交于点C，顶点为E．
(1)二次函数的表达式为________，点E的坐标为_________；
(2)如图①，D是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
(3)如图②，P是直线CE上方的二次函数图像上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
(4)连接BC，M是平面内一点，将△BOC绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△B1O1C1，点B、O、C的对应点分别是点B1、O1、C1．若△B1O1C1的B1、C1两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点C1的横坐标．
8．（2020·江苏盐城·统考一模）如图，二次函数y=−12x2+bx+c的图像与x轴交于点A（−2，0）和点B（4，0），与y轴交于点E，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点M是x轴上一动点，连接CM，过点M作MN⊥MC，与AD边交于点N，与y轴交于点F．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)在第一象限的抛物线上任取一点P，连接EP、PB，请问：△EPB的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点M在线段OB（点M不与O、B重合）上运动至何处时，线段OF的长有最大值？并求出这个最大值．
9．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，直线l：y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax−3a(a0)的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，图像顶点为D，连接AC、BC、BD、CD，满足∠ACB≥90°．
(1)请直接写出点A、点B的坐标以及a的取值范围；
(2)点E(−12,0)，点F在AC边上，若直线EF平分△ABC的面积，求点F的坐标（用含a的代数式表示）；
(3)△BCD中CD边上的高是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（－3，0），B（1，0），0