高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.3空间几何体截面、轨迹问题(精讲)(原卷版+解析)，共28页。

【知识必备】
1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：
3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；
技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；
技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；
技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
【题型精讲】
【题型一 截面形状判断】
技巧方法 确定截面的主要依据
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
(1)平面的四个公理及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质．
例1 (2023·陕西安康·高三期末）已知在一个棱长为12的正方体中，和的中点分别为，，如图，则过，，三点的平面被正方体所截得的截面图形为
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
例2 (2023·海原县高三模拟）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体中，点、分别是楼、中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面图形为
A．矩形B．三角形C．正方形D．等腰梯形
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
2. (2023·全国·高三专题练习）正方体中，、分别是棱和上的点，，，那么正方体的过、、的截面图形是
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【题型二 截面面积求解】
例3 (2023·山西·太原五中高一阶段练习）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A．B．C．D．
例4(2023·河南·高三阶段练习）如图所示，已知球为棱长为3的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为
A．B．C．D．
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，，的平面截得的截面面积为
A．B．36C．D．
2. (2023·全国高三模拟）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别为棱，的中点，则经过，球的截面面积的最小值为
A．B．C．D．
【题型三 平行、垂直有关的轨迹问题】
例5 (2023·江西高三模拟）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为
B．满足的点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得平面AMP经过点B
D．存在点P满足
例6 （2023·全国·高三专题练习）直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
2. (2023·全国·高三专题练习）点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______．
【题型四 距离、角度有关的轨迹问题】
例7 （多选题）(2023·山东·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，M，使得平面与平面平行
B．存在点P，M，使得二面角大小为
C．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为
D．当M为中点时，四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
例8 (2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
【题型精练】
1. （多选题）如图，正方体棱长为2，点M是其侧面上的动点（含边界），点P是线段上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，M，使得平面与平面PBD平行
B．当点P为中点时，过点的平面截该正方体所得的截面是梯形
C．过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形
D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为
2. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且，则点M的轨迹长为___________.
【题型五 翻折中的轨迹问题】
例9 (2023·江西萍乡·三模（理））如图，在正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连接，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上）

①点的轨迹为圆弧；
②存在某一翻折位置，使得；
③棱的中点为，则的长为定值；
【题型精练】
1. (2023·四川高三模拟）（多选）已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体的外接球的表面积为
B．四面体体积取最大值时，与平面ABC所成角为45°
C．点D的运动轨迹的长度为
D．边AD旋转所形成的曲面的面积为
7.3 空间几何体截面、轨迹问题
【题型解读】

【知识必备】
1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：
3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；
技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；
技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；
技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
【题型精讲】
【题型一 截面形状判断】
技巧方法 确定截面的主要依据
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．
(1)平面的四个公理及推论．(2)直线和平面平行的判定和性质．(3)两个平面平行的性质．(4)球的截面的性质．
例1 (2023·陕西安康·高三期末）已知在一个棱长为12的正方体中，和的中点分别为，，如图，则过，，三点的平面被正方体所截得的截面图形为
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
答案：B
【解析】在一个棱长为12的正方体中，和的中点分别为，，如图，
在上取点，使，连结、，
，，，，
平面平面，又平面，平面，
，，
，过，，三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形．
故选：．
例2 (2023·海原县高三模拟）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体中，点、分别是楼、中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面图形为
A．矩形B．三角形C．正方形D．等腰梯形
答案：D
【解析】取的中点，
如图连接、、、，
由题意得：，，
，，
平面平面，
过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．
故选：．
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
答案：D
【解析】分别取、、的中点、、，
连结、、，
在正方体中，，，分别是，，的中点，
，，，
六边形是过，，这三点的截面图，
过这三点的截面图的形状是六边形．
故选：．
2. (2023·全国·高三专题练习）正方体中，、分别是棱和上的点，，，那么正方体的过、、的截面图形是
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
答案：C
【解析】正方体中，、分别是棱和上的点，，，
延长交于，延长交于，连结交于，于，连结，，则正方体的过、、的截面图形是五边形．
故选：．
【题型二 截面面积求解】
例3 (2023·山西·太原五中高一阶段练习）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，截此正方体所得截面面积的最大，
此时正六边形的边长，
截此正方体所得截面最大值为：．
故选：．
例4(2023·河南·高三阶段练习）如图所示，已知球为棱长为3的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】根据题意知，平面是边长为的正三角形，
且球与包含上三角形的三边的平面的切点恰好在此三线段的中点，
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，内切圆的半径是：
，
平面截球的截面面积为：
．
故选：．
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，，的平面截得的截面面积为
A．B．36C．D．
答案：C
【解析】由题意可知，正四棱柱中，，，
可得，，
在上取一点，使得，如图所示，
连结，，可得且，则四边形是平行四边形，
四棱柱被过点，，的平面截得的截面为，
由勾股定理可得，，，
所以，
所以，
所以平行四边形的面积为．
故选：．
2. (2023·全国高三模拟）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别为棱，的中点，则经过，球的截面面积的最小值为
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因为正方体内接于球，所以，，
过球心和点、的大圆的截面图如图所示，
则直线被球截得的线段为，过点作，垂足为点，，
，
所以，在中，．
所以所求经过、的平面截球所得的截面的面积的最小值是：．
故选：．
【题型三 平行、垂直有关的轨迹问题】
例5 (2023·江西高三模拟）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为
B．满足的点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得平面AMP经过点B
D．存在点P满足
答案：AD
【解析】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，
由正方体的性质知，，，，
所以平面平面，又平面，平面，
故点的轨迹为线段，故A正确；
对B，方法一：在平面中过作，交于，设，
则，，，
由，可解得，
同理，在平面中过作，交于，可得，
因为，所以平面，
因为，所以平面，所以点P的轨迹为线段，长度为，故B不正确；
方法二：以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，设，且，，
，，
，即，
又，，则点的轨迹为线段，,
且，故B错误；
对于C，方法一：取中点，连接，正方体中，易得，所以平面截正方体的截面为平面，显然平面，故不存在点P，使得平面AMP经过点B，故C错误；
方法二：设，且，，
若平面AMP经过点B，则，且，
又,
所以，即，
因此，从而，不合题意，所以不存在点P，使得平面AMP经过点B,故C错误；
对于D，方法一：延长至，令，则，
所以，
因为，所以存在点满足，故D正确.
方法二：点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，
故，故存在点满足，故D正确.
故选：AD.
例6 （2023·全国·高三专题练习）直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．
答案：
【解析】解：由点为的中点可得，点到平面的距离是点到平面距离的一半，则点到平面的距离为，
故点到平面的距离为；
，点为的中点，
，
设以为球心，的长为半径的球与平面所截得的圆的半径为，则，
则动点的轨迹即为以正方形的中心为圆心，为半径的圆留在正方形内的圆弧，如图，为中点，所以,所以,
所以，点轨迹所形成的圆弧长为．
故答案为：；.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
答案：AC
【解析】取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，
而，，
故梯形面积为，A正确；
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，
则得，而平面，平面，
故平面，同理平面，
而，平面，故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误；
取MN的中点F，则，
∴，∵，∴，C正确；
因为平面平面且，，
∴即为平面与平面所成二面角，，D错误．
故选：AC.
2. (2023·全国·高三专题练习）点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______．
答案：
【解析】如图，正方体的内切球的半径，
由题意，分别取、的中点、，连接、、，
在正方体中，四边形为平行四边形，
所以、、、四点共面，
则，，，所以，，
所以，，，
平面，平面，，
，平面，
所以，动点的轨迹就是平面截内切球的交线，
取的中点，连接，
则四边形为平行四边形，易知点为的中点，
过点在平面内作，
平面，平面，则，
，平面，，
所以，，
因为点为的中点，则到平面的距离为，
截面圆的半径，
所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长．
故答案为：.
【题型四 距离、角度有关的轨迹问题】
例7 （多选题）(2023·山东·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，M，使得平面与平面平行
B．存在点P，M，使得二面角大小为
C．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为
D．当M为中点时，四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
答案：ACD
【解析】
对于A选项，当M为中点，P为中点时，易得，又平面，平面，
则平面，同理可得平面，又，则平面与平面平行，故A正确；
对于B选项，因为平面，平面，则，又，
可知二面角的平面角为，显然其范围为，故B错误；
对于C选项，取中点E，连接，则平面，则，
则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧，分别交､于､，则，
则，劣弧的长为.故C正确；
对于D选项，当M为中点时，易知为等腰直角三角形，，又平面，则，
又平面，，则平面，则，又，可知四棱锥
外接球的球心即为的中点，所以四棱锥外接球的半径为，设四棱锥外接球的内接
正四面体的棱长为x，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体的面对角线，故正方体的棱长为，
正方体的体对角线为外接球的直径，所以，得，所以正四面体的表面积为，所以D正确.
故选：ACD.
例8 (2023·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
答案：
【解析】如图所示，连接交平面于，连接，
由题意可知平面，
所以是与平面所成的角，
所以＝.
由可得，即.
在四面体中，, ,
所以四面体为正三棱锥，为的重心，
如图所示：
所以解得 ，,
又因为，
所以 ，
即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
所以.
故答案为:.
【题型精练】
1. （多选题）如图，正方体棱长为2，点M是其侧面上的动点（含边界），点P是线段上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，M，使得平面与平面PBD平行
B．当点P为中点时，过点的平面截该正方体所得的截面是梯形
C．过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形
D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为
答案：ABD
【解析】对于A选项，当M为中点，P为中点时，
连接、
，又平面PBD，平面PBD，则平面PBD，
，又平面PBD，平面PBD，则平面PBD，
又，则平面平面PBD. 故A正确；
对于B选项，取BC中点N，连接
则，，则，又则为梯形．
则梯形为截面，故B正确；
对于C选项，当M为中点，P为中点时，
在上取点Q ，使，在上取点T ，使
连接、，则，则四边形为平行四边形，则
在平面内过点M作，交于N，则
连接，则
则五边形为过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面.故C判断错误；
对于D选项，取中点E，连接PE，ME，PM，
则平面，，则，
则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧，
分别交AD、于、，则，
则，劣弧的长为．故D正确.
故选：ABD
2. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且，则点M的轨迹长为___________.
答案：
【解析】由平面，得，三棱锥为直三棱锥，其外接球相当于以为棱的长方体的外接球，故外接球半径为，故三棱锥外接球的表面积为；
如图，中点为F，则易得以为棱的正方体，由正方体的对称性，要使，则M在的角平分面上，即面，故M的轨迹为面与外接球相交出的圆.
取AP、HE中点I、J，由正方体的对称性易得面面，且，故，故IJ上的高，故M的轨迹圆的半径，故轨迹长为.
故答案为：；
【题型五 翻折中的轨迹问题】
例9 (2023·江西萍乡·三模（理））如图，在正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连接，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上）

①点的轨迹为圆弧；
②存在某一翻折位置，使得；
③棱的中点为，则的长为定值；
答案：①③
【解析】设正方形边长为a,
①在正方形中，过点D作于H，则
在翻折到的过程中，，均不变，
则点的轨迹为以H为圆心，以为半径的圆弧.判断正确；
②假设存在某一翻折位置，使得.
在△PAM内，过点P作于N，连接BN，
由，，，可得平面PBN
又平面PBN，则，则
又在正方形中，.
二者互相矛盾，故假设不成立，即不存在某一翻折位置，使得.判断错误；
③棱的中点为.取PA中点K，连接EK，CE，MK， 则
则有，，则，
则四边形为平行四边形，则，
又，则，即的长为定值.判断正确.
故答案为：①③
【题型精练】
1. (2023·四川高三模拟）（多选）已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体的外接球的表面积为
B．四面体体积取最大值时，与平面ABC所成角为45°
C．点D的运动轨迹的长度为
D．边AD旋转所形成的曲面的面积为
答案：ABCD
【解析】对A：，
AC中点即为四面体的外接球的球心，AC为球的直径，
，
四面体的外接球的表面积，故选项A正确；
对B：当平面平面时，四面体体积的最大，此时高为，
此时为与平面ABC所成角，，故选项B正确；
对C：设方形对角线AC与BD交于O，
由题意，翻折后当的最小值为时，为边长为的等边三角形，
此时，所以点D的运动轨迹是以O为圆心为半径的圆心角为的圆弧，
所以点D的运动轨迹的长度为，故选项C正确；
对D：结合C的分析知，边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，
底面圆为以O为圆心为半径的圆锥的侧面积的，
即所求曲面的面积为，故选项D正确.
故选: ABCD.