高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.2空间几何体外接球、内切球8大模型(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.2空间几何体外接球、内切球8大模型(精讲)(原卷版+解析)，共36页。

【知识必备】
一、正方体、长方体外接球模型
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
二、正四面体外接球模型
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
三、直棱柱外接球模型
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
四、直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
五、正棱锥与侧棱相等模型
1．正棱锥外接球半径： ．
2．侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
六、共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
七、垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
八、二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

九、圆锥圆柱圆台模型
1．球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2．球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3．球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
十、锥体内切球模型
方法：等体积法，即
【题型精讲】
【题型一 长方体、正方体模型】
例1 (2023·陕西安康·高三期末）长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
例2 (2023·海原县高三模拟）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型二 直棱柱模型】
例3 (2023·山西·太原五中高一阶段练习）
在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例4(2023·河南·高三阶段练习）已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国高三模拟）在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
【题型三 正棱锥与侧棱相等模型】
例5 (2023·江西高三模拟）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
例6 （2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．
【题型四 对棱相等模型】
例7 如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. (2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习）已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．
2. (2023·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ）
A．12πB．13πC．D．
【题型五 共斜边拼接模型】
例8 三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______
【题型精练】
1. (2023·四川高三模拟）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.
2. (2023·安徽合肥市高三期末）在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型六 垂面模型】
例9 (2023·江西高三期末）在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. (2023·安徽·巢湖市第一中学高三月考）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．64πB．128πC．40πD．80π
2. (2023·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
【题型七 二面角模型】
例10 (2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.
2. （2023·全国·高三专题练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型八 内切球模型】
例11 (2023·江西·高三阶段练习）在正三棱锥中，，分别是，的中点，且，，则正三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. (2023·湖北·模拟预测）已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7.2 空间几何体外接球、内切球8大模型
【题型解读】

【知识必备】
一、正方体、长方体外接球模型
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
二、正四面体外接球模型
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．
三、直棱柱外接球模型
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
四、直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
五、正棱锥与侧棱相等模型
1．正棱锥外接球半径： ．
2．侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
六、共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
七、垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．
八、二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

九、圆锥圆柱圆台模型
1．球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．
2．球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．
3．球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
十、锥体内切球模型
方法：等体积法，即
【题型精讲】
【题型一 长方体、正方体模型】
例1 (2023·陕西安康·高三期末）长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：求出长方体外接球半径，再由球体体积公式求体积.
【详解】球O的半径为，
∴体积．
故选：A
例2 (2023·海原县高三模拟）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.
答案：
【解析】平面，平面，，，
又，，，
，，则可将三棱锥放入如下图所示的长方体中，
则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
球的半径，
球的表面积.故答案为：.
【跟踪精练】
1. (2023·陕西高三模拟）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题可知，正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，故，
解得，故球的体积为：.故选：D.
2. (2023·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，
则外接球半径.
所以三棱锥外接球表面积.
故选：B.
【题型二 直棱柱模型】
例3 (2023·山西·太原五中高一阶段练习）
在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，
直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为,
故选：C
例4(2023·河南·高三阶段练习）已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．
答案：
【解析】设正三棱柱上下底面中心分别为，连，
取中点为正三棱柱外接球的球心，
连为外接球的半径，如图，
，
设正三棱柱的底面边长为x，
，在中，
，
三棱柱的所有棱长之和为.
，
令，解得，
当时，，当时，，
所以是函数在定义域内有唯一极大值点，
故当时，有最大值.
故答案为: .
【跟踪精练】
1. (2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，因为，
所以，，
而，所以(于是是外接圆的半径)，，即，
如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心，
，
所以外接球为.
于是球的表面积为.
故选：C.
2. (2023·全国高三模拟）在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
答案：
【解析】设BC的中点为D，的中点为，，
由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，
由三棱柱的体积为2，得，即，
由题，得，
所以，外接球表面积
.
故答案为：
【题型三 正棱锥与侧棱相等模型】
例5 (2023·江西高三模拟）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
由图，设，则，而，
因为PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，
由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，
假设为O点，则，因为,所以，
又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，所以,
在三角形ODC中，由勾股定理得,即， 解得，
所以三棱锥P－ABC外接球的体积为.故选：C
例6 （2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为的正三角形，如图所示：
取BC的中点D，点H为底面的中心，所以
设外接球的半径为R，所以，
利用勾股定理可得，解得
则球的表面积为
故选：B.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等.设，则.
根据，得，
解得.
设三棱锥外接球的半径为，则，所以.
故所求外接球的表面积为.
故选：A.
2. (2023·全国·高三专题练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．
答案：
【解析】三棱锥中，取BC中点D，连PD，连AD并延长至O1，使DO1=AD，连接BO1，CO1，PO1，如图：
于是得四边形为平行四边形，而，是菱形，
在中，，由余弦定理有，即，
则，是正三角形，，于是得O1是外接圆圆心，
因，D为BC中点，则PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，从而有平面，，
同理，而，从而得平面，由球的截面小圆性质知，三棱锥外接球球心O在直线上，
又，则，解得，
设球O的半径为R，则，，中，，即，解得，
则球O的表面积为，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
【题型四 对棱相等模型】
例7 如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，
设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，
解得，，．
所以三棱锥外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．故选：C
【题型精练】
1. (2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习）已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．
答案：
【解析】取的中点，连接，，如图所示：
因为，所以为的外接圆圆心，
又因为，为的中点，所以.
因为平面平面，所以平面，
所以三棱锥的外接球球心在直线上.
在上取一点，使得，即为三棱锥的外接球球心，
设，，所以，
.
在中，，
所以，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
2. (2023·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ）
A．12πB．13πC．D．
答案：B
【解析】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面，
，所以，
又，
，，
又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角，
所以，
所以，
因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，
此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为，
则，解得，
所以外接球的直径为，，
球表面积为．
故选：B．

【题型五 共斜边拼接模型】
例8 三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为______
答案：1
【解析】因为，，故是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为．
故答案为：1
【题型精练】
1. (2023·四川高三模拟）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.
答案：
【解析】由题意可知：球为鳖臑的外接球，
面，面，，，
又，面，，面，
又面，；
取中点，连接，
，，同理可知：，
点与球的球心重合，球的半径，
球的表面积.故答案为：.
2. (2023·安徽合肥市高三期末）在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，所以和为以为斜边的直角三角形，则的中点到各个顶点的距离都相等，则为外接球的球心.即为直径.
过做平面，垂足为，连结，，
则，解得：.
，，，，则
分别为在平面内的射影，所以有，
又，为公共边，所以，则，所以在的角平分线上，，
，，，所以有平面，平面，则有，
因为，，所以，则，
则
故外接球的表面积为.
故选：D.
【题型六 垂面模型】
例9 (2023·江西高三期末）在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】中，，
所以，，
设是中点，则是外心，又是等边三角形，所以，
而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱锥外接球的球心，
所以球半径，球体积为．故选：C．
【题型精练】
1. (2023·安徽·巢湖市第一中学高三月考）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．64πB．128πC．40πD．80π
答案：D
【解析】由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图，
则三棱柱的外接球即为所求.
设外接球的球心为，则的外心为，则，
又，则外接球的半径，
表面积，故选：D
2. (2023·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意，为直角三角形，故在三棱维的外接球的一个切面圆上，为该圆直径；
又平面平面，故外接球的球心在所在的平面内，又，故为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上 ，点到线段的距离为，设外接球的半径为，则，
解得，则外接球的表面积为.
故选：C.
【题型七 二面角模型】
例10 (2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图所示，为直角三角形，又，
所以，
因为为正三角形，所以，
连接，为的中点，E为中点，
则，所以为二面角的平面角
所以．
因为为直角三角形，E为中点，
所以点为的外接圆的圆心，
设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．
则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，
，所以,，
∴．所以，故选：C.
【题型精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.
答案：
【解析】如图，取的中点为，连接AM,DM,则 ,
则二面角的平面角为，，
由四边形ABDC是菱形，可知为正三角形，
设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，
则为的中心，
所以，，，
由于二面角A-BD-C的余弦值为，
故设，则， ，
故，则，
，球的半径，
所求外接球的体积为，
故答案为：．
2. （2023·全国·高三专题练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题，设正三角形与的中心分别为，根据外接球的性质有平面，平面，又二面角的大小为，故，又正三角形与的边长均为2，故，故.易得，故，故，又，故球的半径，故球的表面积为
故选：B
【题型八 内切球模型】
例11 (2023·江西·高三阶段练习）在正三棱锥中，，分别是，的中点，且，，则正三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】设点是点在底面上的射影，则平面，平面，
所以，由三棱锥为正三棱锥可得，点为底面的中心，
所以，又，
所以平面，平面，
所以，
因为，分别是，的中点，
所以，因为，
所以，又，
所以平面，又，平面，
所以，，又三棱锥是正三棱锥，
所以三条侧棱两两互相垂直，因为，
所以，
所以，
所以该三棱锥的表面积，
设内切球的半径为，又该三棱锥的体积，
所以，
所以此内切球的表面积为.
故选：D.
【题型精练】
1. (2023·湖北·模拟预测）已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】旋转体的轴截面如图所示，其中为内切球的球心，
过作的垂线，垂足分别为，则（为内切球的半径），
故，，
故，故，故，
故旋转体的内切球的表面积为，故选：B
2. (2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，
在三棱锥中，，，
三棱锥是正四面体，是的中心，平面，
三棱锥的内切球的表面积为，
，解得球的半径，
设，则，，
，
，，，解得，，
此三棱锥的体积为.故选：D.