高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.2等比数列5大题型(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.2等比数列5大题型(精讲)(原卷版+解析)，共25页。

【知识储备】
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1(1－qn),1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.
特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝aeq \\al(2,p).
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1<0，,0若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,01，))则等比数列{an}递减．
【题型精讲】
【题型一 等比数列基本量的运算】
必备技巧 等比数列运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq \f(a1,1－q)都可看作一个整体．
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
例1 (2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列中，，．则的公比q为（ ）
A．2 B．2或 C． D．3
例2 (2023·河南信阳市高三模拟）已知正项数列满足，的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.（全国2卷）数列中，，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. (2023·江西·新余四中模拟）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A. B.
C. 或1D. 或1
4.（新全国1山东）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【题型二 等比数列的性质及应用】
必备技巧 等比数列的性质
(1)．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,k).
(2)．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比数列．
(3)．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(4)．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列．
(5)．当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝eq \f(a1,1－q).
(6)．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．
例3 (1) (2023·辽宁沈阳·三模）在等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
(2) (2023·全国高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
(3) (2023·湖南·长沙一中）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
(4)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(n,2n＋1)，则lgb5a5＝________.
(5) (2023·陕西·交大附中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
2．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．12B．30
C．45D．81
3. (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
4．(2023·全国高三检测）已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________.
【题型三 等比数列的判定与证明】
必备技巧 判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
例4 (全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
例4 (2023·江西·赣州市第三中学模拟预测）已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.
【题型精练】
1．(2023·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足，，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
2．(2023·全国·高三专题练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
【题型四 等比数列的最值问题】
例6 (2023·全国·高三专题练习）（多选）等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足.，，下列选项中，正确的结论有（ ）
A．
B．
C．的值是中最大的
D．使成立的最大自然数等于198
例7 (2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值
【题型精练】
1. (2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前n项和，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．
3．（多选）(2023·广东东莞市模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
【题型五 生活中的等比数列】
例8 (2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）
参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6 B．7 C．8 D．9
例9 (2023·江苏南通·模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．
① ② ③ ④
若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．
【题型精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
2. (2023·全国·高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
6.2 等比数列5大题型
【题型解读】
【知识储备】
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1(1－qn),1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at.
特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝aeq \\al(2,p).
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1<0，,0若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,01，))则等比数列{an}递减．
【题型精讲】
【题型一 等比数列基本量的运算】
必备技巧 等比数列运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq \f(a1,1－q)都可看作一个整体．
(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
例1 (2023·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列中，，．则的公比q为（ ）
A．2 B．2或 C． D．3
答案：B
【解析】由题意，
故选：B
例2 (2023·河南信阳市高三模拟）已知正项数列满足，的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由,得，又为正项数列，所以，所以数列是等比数列，且公比，设首项为，则，，则.故选：A.
【题型精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】设公比为，则，得，解得（舍去），
∴.
故选：A.
2.（全国2卷）数列中，，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.故选：C.
3. (2023·江西·新余四中模拟）已知为等比数列的前项和，若，，则公比（ ）
A. B.
C. 或1D. 或1
答案：C
【解析】
分析：设等比数列的公比为q.利用基本量代换列方程组即可求出q.
【详解】设等比数列的公比为q.
因为，，所以，，即，，所以，解得或.
故选：C.
4.（新全国1山东）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
答案：（1）；（2）.
【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.
（2）由于，所以
对应的区间为：，则；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个；
对应的区间分别为：，则，即有个.
所以.
【题型二 等比数列的性质及应用】
必备技巧 等比数列的性质
(1)．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,k).
(2)．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比数列．
(3)．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(4)．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列．
(5)．当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝eq \f(a1,1－q).
(6)．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．
例3 (1) (2023·辽宁沈阳·三模）在等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】解：在等比数列中，
因为为方程的两根，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
(2) (2023·全国高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：A
【解析】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列
∴，∴，∴.故选：A.
(3) (2023·湖南·长沙一中）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
答案：1 024
【解析】由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，
设T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，
∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8⇒p＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1 024.
(4)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(n,2n＋1)，则lgb5a5＝________.
答案： eq \f(9,19)
【解析】由题意知eq \f(S9,T9)＝eq \f(lga1·a2·…·a9,lgb1·b2·…·b9)＝eq \f(lg a\\al(9,5),lg b\\al(9,5))＝eq \f(lg a5,lg b5)＝lgb5a5＝eq \f(9,19).
(5) (2023·陕西·交大附中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
答案：B
【解析】因为等比数列的前项和为，且，
所以，，，
所以，即，解得.故选：B
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
答案：A
【解析】
【详解】
在等比数列{an}中，由，得
则
故选A.
2．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．12B．30
C．45D．81
答案：C
【解析】显然公比不为-1，是等比数列，则也成等比数列，
，，，则，，则.故选：C.
3. (2023·全国·高三专题练习）等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．2B．-2C．1D．-1
答案：A
【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意.故选：A
4．(2023·全国高三检测）已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________.
答案： eq \f(64,7)(1－2－3n)
【解析】 设数列{an}的公比为q，则q3＝eq \f(a5,a2)＝eq \f(1,8)，解得q＝eq \f(1,2)，a1＝eq \f(a2,q)＝4.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝eq \f(1,8)的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝eq \f(8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,8n))),1－\f(1,8))＝eq \f(64,7)(1－2－3n)．
【题型三 等比数列的判定与证明】
必备技巧 判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
例4 (全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
【解析】 (1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝eq \f(1,2)(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，
所以{an＋bn}是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，
所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知，an＋bn＝eq \f(1,2n－1)，an－bn＝2n－1，所以an＝eq \f(1,2)[(an＋bn)＋(an－bn)]＝eq \f(1,2n)＋n－eq \f(1,2)，
bn＝eq \f(1,2)[(an＋bn)－(an－bn)]＝eq \f(1,2n)－n＋eq \f(1,2).
例4 (2023·江西·赣州市第三中学模拟预测）已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列；
(2)设，证明.
【解析】(1)证明：因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，
由已知得，即，
所以，，且，
是首项为，公比为的等比数列.
(2)证明：由（1）知，，，
，
.
【题型精练】
1．(2023·吉林长春·模拟预测）已知数列和满足，，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
【解析】(1)由，，两式相减得：
，，
则，所以是等比数列.
(2)由，，两式相加得：
，
即，
因为，所以，
由（1）知，
所以，
所以的前项和
.
2．(2023·全国·高三专题练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
【解析】(1)设等差数列的公差为，
因为，
则，
解得或（舍去），
所以；
(2)证明：因为，
所以，即，
所以，因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
【题型四 等比数列的最值问题】
例6 (2023·全国·高三专题练习）（多选）等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足.，，下列选项中，正确的结论有（ ）
A．
B．
C．的值是中最大的
D．使成立的最大自然数等于198
答案：ABD
【解析】对于，，，.
，.又，，且.，故正确；
对于，，，即，故正确；
对于，由于，而，故有，故错误；
对于，，
，故正确.不正确的是.故选：.
例7 (2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值
答案：D
【解析】因为是公比为的等比数列，且，，，
所以，，所以，所以在等比数列中，
从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.
对于A：因为，所以，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：根据上面的分析，等比数列中每一项都为正值，所以无最大值，
所以数列无最大值，故C不正确；
对于D：因为在等比数列中，从到的每一项都大于，
从开始后面所有的项的值都小于且大于，所以是数列中的最大值，故D正确.
故选：D.
【题型精练】
1. (2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由已知可得，即，可得，，解得，
，所以，，，
令，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以，数列中，最小，故的最小值为.故选：D.
2. (2023·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前n项和，则的最小值为（ ）
A．B．7C．D．
答案：C
【解析】由于，，成等比数列，所以，
∴，
解得∴，∴
所以，由双勾函数性质知在上单调递增，所以当时，取得最小值为：，所以的最小值为.
故选：C.
3．（多选）(2023·广东东莞市模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
答案：ACD
【解析】由可得与异号，
或，
又，且，可得与同号，即，
且一个大于，一个小于，
若，则，不符合题意；
若，则，为递减数列，
满足，故A正确；
对于B选项，由于，数列为正项递减数列，
，所以，，故B选项错误；
对于C选项，由上可知，正项数列前项都大于，
而从第项起都小于，所以，是数列中的最大值，故C选项正确；
对于D选项，，
D选项正确.
故选：ACD.
【题型五 生活中的等比数列】
例8 (2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）
参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6 B．7 C．8 D．9
答案：B
【解析】第一次操作去掉，设为；
第二次操作去掉，设为；
第三次操作去掉，设为，
依次类推，.
故
，
整理，得，
，
，
故n的最小值为7.
故选：B.
例9 (2023·江苏南通·模拟预测）雪花曲线是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从图①的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边得到图②，重复进行这一过程可依次得到图③、图④等一系列“雪花曲线”．
① ② ③ ④
若第①个图中的三角形的边长为1，则第②个图形的面积为___________；第n个图中“雪花曲线”的周长Cn为___________．
答案：
【解析】第一个三角形面积，
第二个图形在第一个基础上多了三个小正三角形，
故．
记第n个图形为，三角形边长为，边数，周长，
有条边，边长；有条边，边长；有条边，
边长
，即，，
周长．
故答案为：；
【题型精练】
1. (2023·全国·高三专题练习）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
答案：A
【解析】设“宫”的频率为，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是；
“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是，
“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是；
最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是，
由于成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．
故选：A．
2. (2023·全国·高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
答案：C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
所以，即，化简得
解得：或(舍)
故选：C