高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.5基本不等式8大题型(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)1.5基本不等式8大题型(精讲)(原卷版+解析)，共23页。

【知识储备】
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
【题型精讲】
【题型一 基本不等式及其应用】
例1 (2023·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
例2 （多选题）(2023·江苏·扬州中学高三开学考试）设，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型精练】
1. (2023·宁夏·银川一中二模）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选题）(2023·河北·模拟预测）已知，则以下不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【题型二 直接法求最值】
例3 (2023·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（ ）
A．18B．27C．54D．90
例4 (2023·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【题型精练】
1．(2023·湖北十堰·三模）函数的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．
2. （多选）(2023·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．上的最小值为2B．的最大值为1
C．的最大值为4D．的最小值为
【题型三 凑配法求最值】
必备技巧 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
例5 (2023·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
例6 (2023·上海虹口·高三期末）已知，则的最大值为______．
【题型精练】
1．(2023·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
【题型四 “1”的代换法求最值】
必备技巧 “1”的代换法求最值
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
例7 (2023·河南·夏邑第一高级中学高三期末）已知，均为正数，若，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．16B．4C．24D．12
例8 (2023·安徽·南陵中学模拟预测）若实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1．(2023·安徽·高三阶段练习）已知，，，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．6
2. (2023·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为____________，此时____________．
【题型五 消元法求最值】
必备技巧 消元法求最值
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．
例9 (2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
例10 (2023·全国·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为_______.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2. (2023·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．
【题型六 二次商式求最值】
例11 (2023·全国·高三专题练习）若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
例12 (2023·江西·宁冈中学高三阶段练习）的最大值为______.
【题型精练】
1．(2023河南平顶山模拟）若对于任意x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,5))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,5)))
2. (2023·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【题型七 基本不等式求参】
例13 (2023·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例14 (2023·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10B．12C．16D．9
2. (2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【题型八 基本不等式的实际应用】
例15 (2023·全国·高三课时练习）根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．
【题型精练】
1．(2023·北京市十一学校高三期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ）
A．72元B．300元C．512元D．816元
2. (2023·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（ ）（精确到1米）
A．8米B．9米C．10米D．11米
1.5 基本不等式8大题型
【题型解读】
【知识储备】
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
【题型精讲】
【题型一 基本不等式及其应用】
例1 (2023·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为，所以，所以，故A错误；
只有在时才成立，故B错误；
因为，所以，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：D.
例2 （多选题）(2023·江苏·扬州中学高三开学考试）设，，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ACD
【解析】对于A选项，，
当且仅当时，等号成立，A对；
对于B选项，取，则，B错；
对于C选项，，，
所以，，即，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，因为，则，
所以，，当且仅当时，两个等号同时成立，D对.
故选：ACD.
【题型精练】
1. (2023·宁夏·银川一中二模）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项，成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
故选：D
2．（多选题）(2023·河北·模拟预测）已知，则以下不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BCD
【解析】对于A，因为，
所以，所以，
当且仅当时取等号，故A错误；
对于B，
，
当且仅当时取等号，
所以，即，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于D，，
当且仅当且，即时取等号，故D正确.
故选：BCD.
【题型二 直接法求最值】
例3 (2023·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（ ）
A．18B．27C．54D．90
答案：C
【解析】由题意可得，
当且仅当时，即等号成立.
故选：C．
例4 (2023·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
答案：D
【解析】因为，当且仅当，即时取等号，
所以，所以，，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2
故选：D.
【题型精练】
1．(2023·湖北十堰·三模）函数的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．
答案：A
【解析】因为，当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为4.
故选：A
2. （多选）(2023·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．上的最小值为2B．的最大值为1
C．的最大值为4D．的最小值为
答案：AB
【解析】∵，
∴，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确；
，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误；
，当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：AB
【题型三 凑配法求最值】
必备技巧 通过配凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
例5 (2023·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
答案：D
【解析】因为，所以3x－1>0，
所以，
当且仅当，即x =1时等号成立，
故函数的最小值为5．
故选：D．
例6 (2023·上海虹口·高三期末）已知，则的最大值为______．
答案：4
【解析】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以的最大值为4.
故答案为：4
【题型精练】
1．(2023·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
2. (2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
答案：（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时.
【解析】（1）∵，
∴，
当且仅当即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时；
（2）令，
将代入得：
，
∵，
∴，
当且仅当，
即，
即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时.
【题型四 “1”的代换法求最值】
必备技巧 “1”的代换法求最值
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
例7 (2023·河南·夏邑第一高级中学高三期末）已知，均为正数，若，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．16B．4C．24D．12
答案：A
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，又因为，所以，，
所以.
故选：A.
例8 (2023·安徽·南陵中学模拟预测）若实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
因为，，所以，
又
所以
当且仅当即，时，取等号
所以
故选：A
【题型精练】
1．(2023·安徽·高三阶段练习）已知，，，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．6
答案：C
【解析】解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；
故选：C
2. (2023·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为____________，此时____________．
答案：
【解析】,为正实数, 且,
当且仅当 即，时取“=”
故答案为:
【题型五 消元法求最值】
必备技巧 消元法求最值
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．
例9 (2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
答案：B
【解析】由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.
故选：B.
例10 (2023·全国·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为_______.
答案：##
【解析】∵，且满足，
∴，
=，
当且仅当时，的最小值为.
故答案为：
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由正实数，，满足，
．
，
当且仅当时取等号，此时．
，当且仅当时取等号，
即的最大值是1．
故选：D
2. (2023·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．
答案：
【解析】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，
所以a＝，
则＝＝＝﹣2 （）2+，
当，即b＝2 时取得最大值．
故答案为：．
【题型六 二次商式求最值】
例11 (2023·全国·高三专题练习）若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
答案：A
【解析】因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
例12 (2023·江西·宁冈中学高三阶段练习）的最大值为______.
答案：
【解析】令，则，，
所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.
故答案为：.
【题型精练】
1．(2023河南平顶山模拟）若对于任意x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,5))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,5)))
答案： A
【解析】由x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)，
令t＝x＋eq \f(1,x)，则t≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，
当且仅当x＝1时，t取得最小值2.
eq \f(x,x2＋3x＋1)取得最大值eq \f(1,5)，所以对于任意的x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a≥eq \f(1,5).
2. (2023·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
答案：A
【解析】因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.
故选：A
【题型七 基本不等式求参】
例13 (2023·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由知，，
当且仅当时，等号成立，则使不等式有解，只需满足即可，
解得故选：C
例14 (2023·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.
答案：2
【解析】解：因为，则，
则，即，
又，
因为，所以，所以，
即，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，即实数的最小值是2.
【题型精练】
1．(2023·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10B．12C．16D．9
答案：D
【解析】由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，
当且仅当时取等
所以．
故选：D．
2. (2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
答案：D
【解析】设，则，
当时，，所以函数在上为增函数，
∵ ∴ ，即，又，
∴ ，∴
当且仅当时等号成立，∵不等式对任意的正实数恒成立，∴ ，故选：D.
【题型八 基本不等式的实际应用】
例15 (2023·全国·高三课时练习）根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．
答案：．
【解析】设球的半径为R，由球的体积，解得．
因为平面PAB，与平面内直线垂直，即，，．
因为，，平面，所以平面ABC，而平面，所以．所以中点是球心，所以．
由可知，AC为截面圆的直径，故可设，
在中，，
在中，，
所以
．
当且仅当，即时，等号成立．
所以当用料最省时，．
【题型精练】
1．(2023·北京市十一学校高三期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ）
A．72元B．300元C．512元D．816元
答案：D
【解析】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为 m，
设箱子总造价为f (x)元，
∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，
当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元．
故选：D．
2. (2023·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（ ）（精确到1米）
A．8米B．9米C．10米D．11米
答案：C
【解析】由题意知，，设，则，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以大约为10米.
故选：C.