高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)4.4.1解三角形的实际应用(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)4.4.1解三角形的实际应用(题型战法)(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了三角函数法，基本不等式法，垂线等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
一 解三角形的最值问题
1.三角函数法：
在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外，在解三角形问题中，两大利器就是正弦定理和余弦定理，它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”，将多元问题降元，转变成一元问题，再结合三角函数的有界性即可求解出最值。
2.基本不等式法：
利用正弦定理或余弦定理，转化为二元问题，再利用基本不等式及其推论求解最值。
二 组合图形问题
双-余弦定理
在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中边长比较多可以尝试在两个三角形内分别使用余弦定理，再根据其中一组角的关系将两个等式联立解方程。
双-正弦定理
在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中角度比较多可以尝试在两个三角形内分别使用正弦定理，再将两式相除，带入条件进行求解。
三 中线、角平分线、垂线
1.中线：向量恒等式结论
2.角平分线：等面积法（大三角形面积等于两小三角形面积之和）、角分线定理
3.垂线：等面积法（同一三角形求两次面积相等）
四 解三角形的实际应用
高度测量问题：仰角、俯角
距离测量问题：方位角、方向角
题型战法
题型战法一 角、边的最值
典例1．在中，内角对应的边分别为，若且为钝角.
（1）求角与角的关系；
（2）求的取值范围.
变式1-1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)若，且，求△ABC的面积；
(2)求的最大值．
变式1-2．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
变式1-3．已知分别为三个内角的对边，.
(1)求；
(2)若 ，求的最大值.
变式1-4．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，
(1)求角A；
(2)若，求a的最小值.
题型战法二 周长的最值
典例2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC周长的取值范围．
变式2-1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____________．（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）
(1)求角C；
(2)若时，求周长的最大值．
变式2-2．在中，角的对边分别为，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周长的取值范围.
变式2-3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
变式2-4．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求；
（2）若的面积为，求周长的最小值．
题型战法三 面积的最值
典例3．在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且.
(1)求b的值；
(2)若，求面积的取值范围.
变式3-1．在中，已知向量，，且．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
变式3-2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
变式3-3．的内角，，的对边分别是，，，设．
(1)若，求；
(2)若，求的面积的最大值．
变式3-4．在① ；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.
(1)求角B的大小；
(2)点D在BA的延长线上，且A为BD的中点，线段CD的长度为2，求△ABC的面积的最大值.
题型战法四 组合图形问题
典例4．如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．
(1)求的值；
(2)求的值．
变式4-1．如图，在中，的垂直平分线交边于点．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
变式4-2．如图，在四边形中，，，.
（1）求的长；
（2）若的面积为6，求的值.
变式4-3．如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)在的延长线上有一点D，使得，求．
变式4-4．如图，直角中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间），，，，设.
(1)若，求MN的长；
(2)求面积的最小值.
题型战法五 中线、角分线、垂线
典例5．已知在中，.
(1)求边的长；
(2)求边上的中线的长.
变式5-1．锐角中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围．
变式5-2．在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若，求的中线长度的最小值.
变式5-3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
变式5-4．在中，设内角，，的对边分别为，，，且.
（1）若，，成等比数列，求证：；
（2）若（为锐角），.求中边上的高.
题型战法六 解三角形的实际应用问题
典例6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（即图中线段），旗杆底部与第一排在同一水平面上．
(1)求旗杆长度；
(2)若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？
变式6-1．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为m，，，在处测得大楼楼顶的仰角为.
(1)求两点间的距离；
(2)求大楼的高度.（第（2）问不计经纬仪的高度，计算结果精确到m.参考数据：，，）
变式6-2．已知村庄在村庄的东偏北方向，且村庄之间的距离是千米，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄在村庄的正西方向，现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.
(1)求村庄之间的距离；
(2)求农贸市场到村庄的距离之和.
变式6-3．如图，某轮船从海岛A出发沿正北方向航行，灯塔B在海岛A北偏西75°的方向上，且与海岛A相距，灯塔C在海岛A北偏东30°的方向上，且与海岛A相距，该轮船航行到D处时看到灯塔B在北偏西135°的方向上．
(1)求D与海岛A的距离；
(2)求D与灯塔C的距离．
变式6-4．海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为,.
(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？
(2)若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？
第四章 三角函数与解三角形
4.4.1解三角形的实际应用（题型战法）
知识梳理
一 解三角形的最值问题
1.三角函数法：
在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，这是求解三角最值问题的最常用的方法。另外，在解三角形问题中，两大利器就是正弦定理和余弦定理，它们两个的基本操作方法无非就是“角化边”或者“边化角”，将多元问题降元，转变成一元问题，再结合三角函数的有界性即可求解出最值。
2.基本不等式法：
利用正弦定理或余弦定理，转化为二元问题，再利用基本不等式及其推论求解最值。
二 组合图形问题
双-余弦定理
在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中边长比较多可以尝试在两个三角形内分别使用余弦定理，再根据其中一组角的关系将两个等式联立解方程。
双-正弦定理
在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中角度比较多可以尝试在两个三角形内分别使用正弦定理，再将两式相除，带入条件进行求解。
三 中线、角平分线、垂线
1.中线：向量恒等式结论
2.角平分线：等面积法（大三角形面积等于两小三角形面积之和）、角分线定理
3.垂线：等面积法（同一三角形求两次面积相等）
四 解三角形的实际应用
高度测量问题：仰角、俯角
距离测量问题：方位角、方向角
题型战法
题型战法一 角、边的最值
典例1．在中，内角对应的边分别为，若且为钝角.
（1）求角与角的关系；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理的边角互化即可求解.
（2）由（1）可得，由，解得，再利用三角函数的性质即可求解.
【详解】
∵，由正弦定理得，
∴.
∵B为钝角，∴A为锐角，
∴，
∴.
（2）
.
∵，∴，
∴，∴，
∴.
变式1-1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)若，且，求△ABC的面积；
(2)求的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可.
（2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值.
(1)
由，故，而，
所以，故.
(2)
由，故，即，
由余弦定理知：，即，
所以，即，又，
故，
由，则或（舍），
所以，则，即，
，而，
所以，当时有最大值为.
【点睛】
关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值.
变式1-2．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再利用三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得；
(1)
解：因为，
由正弦定理得，
即，
即，
因为，所以，
所以.
因为，所以，
所以，因为，所以.
(2)
解：由正弦定理得，
所以
，
所以.
因为，所以，
所以，所以.
变式1-3．已知分别为三个内角的对边，.
(1)求；
(2)若 ，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理，结合两角和差的正弦公式进行求解即可．
（2）利用正弦定理得到、，则，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
(1)
解： ，
，
即，
即，
得，
即，
，
，又，所以．
(2)
解：因为，，
由正弦定理
其中，由于，所以当时，
变式1-4．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，
(1)求角A；
(2)若，求a的最小值.
【答案】(1)
(2)2
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式及正弦定理将边化角，再结合二倍角公式计算可得；
（2）由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式计算可得；
(1)
解：在，由，
所以，即，
再由正弦定理得，
，因为，
∴，
因为，所以，
∴.
(2)
解：由，即，所以.
由
当且仅当时，所以的最小值为2.
题型战法二 周长的最值
典例2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;
（2）先利用余弦定理及基本不等式得到，然后根据三角形两边之和大于第三边，即可求出周长的取值范围..
(1)
由，又，
由，则.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理得，
因为，所以.
(2)
由余弦定理得，
∴，得，当且仅当时取等号．
又，（三角形任意两边之和大于第三边）
∴，
∴周长的取值范围为．
变式2-1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____________．（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）
(1)求角C；
(2)若时，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【解析】
【分析】
（1）若选①，首先根据正弦定理得到，再利用余弦定理即可得到，若选②，首先根据正弦定理得到，再利用辅助角公式即可得到，若选③，首先根据正弦定理得到，再利用余弦定理即可得到.
（2）利用余弦定理再结合基本不等式求解即可.
(1)
若选①，
因为，
所以，，
因为，所以.
若选②，
因为，所以，
因为，所以，即.
因为，所以，即.
若选③，
因为，
所以，即，
所以，，所以.
(2)
由①②③可得，
由余弦定理：，即 ，
所以，解得，
当且仅当时取等号.
所以周长的最大值是.
变式2-2．在中，角的对边分别为，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根据求出的取值范围，即可得解；
(1)
解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以；
(2)
解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为
变式2-3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可得，结合余弦定理可得结果；
（2）由余弦定理及均值不等式即可得到结果.
(1)
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴；
(2)
由余弦定理，
得，
即．
因为，
所以．即（当且仅当时等号成立）．
所以．
故周长的最大值.
变式2-4．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求；
（2）若的面积为，求周长的最小值．
【答案】（1）；（2）9.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理进行边化角的运算，化简可得，求正切值，由角的范围可求出具体值；（2）由面积公式可知，由余弦定理可求出的最小值，由基本不等式可求出的最小值，从而求出周长最小值.
【详解】
解：（1）由正弦定理：
化简，
可得，
所以，即．
又，
所以．
（2）结合三角形的面积公式得到，即．
所以，当且仅当时取等号．
又由余弦定理得，
所以，当且仅当时取等号．
所以周长的最小值为．
题型战法三 面积的最值
典例3．在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，并且.
(1)求b的值；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，从而求得的值.
（2）利用余弦定理求得的取值范围，结合三角形的面积公式求得三角形面积的取值范围.
(1)
由正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，其中R为的外接圆半径.
因为，从而，
整理得；
又在中，，从而，则.
(2)
由及余弦定理，
又为锐角三角形，因此，即，解得.
又，
因此面积的取值范围是.
变式3-1．在中，已知向量，，且．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，可得，根据数量积的坐标表示及正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；
（2）由（1）可得且，利用基本不等式及三角形面积公式计算可得；
(1)
解：设中，角的对边分别为，
∵，∴
又，，
∴，
即，
∴由正弦定理得，
∴由余弦定理得，
又∵ ∴.
(2)
解：由（1）得，
又∵
∴即且
∴面积
又由基本不等式得即
当且仅当取等号
∴面积
故面积的最大值为
变式3-2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理将边化角或根据余弦定理将角化边.
（2）根据正弦定理和面积公式求解即可.
(1)
(解法一)因为，
所以
则，
即
因为，所以，
因为所以.
(解法二)由全弦定理，
得
整理得.
所以，
因为所以.
(2)
因为，所以，.
所以
因为△ABC为锐角三角形，所以解得.
所以，
所以.
变式3-3．的内角，，的对边分别是，，，设．
(1)若，求；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合正、余弦定理对进行化简，再由余弦定理，即可得解；
（2）由余弦定理得出，再结合三角形面积公式和同角三角函数的平方关系，推出关于的函数，从而得解．
(1)
解： ，
结合正、余弦定理，可得，
化简得，，
代入，得，
由余弦定理知，，
，
．
(2)
解：由（1）知，，
由余弦定理知，，
的面积
，
当时，取得最大值，即．
变式3-4．在① ；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且___________.
(1)求角B的大小；
(2)点D在BA的延长线上，且A为BD的中点，线段CD的长度为2，求△ABC的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正余弦定理，在三角形中实现边角互化，借助和差公式即可求解.
（2）在 中，根据余弦定理可得，然后根据不等式即可求解 最大值，即可求解面积的最大值.
(1)
若选①；在中，因为
故由可得
由正弦定理得，即，
则，又，故.
选②∴∴.
若选③由及正弦定理.．又，所以.
即，因为，所以，
又，得.
综上所述：选择①②③，都有
(2)
在 中，由余弦定理知∴，
当且仅当，即时取等号，
此时 的最大值为2，面积取得最大值
题型战法四 组合图形问题
典例4．如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）同角三角函数关系可得，再应用差角正弦公式求、，进而求.
（2）应用正余弦定理分别求出BC、AC即可得结果.
(1)
∵，
∴，
则
．
所以，
所以．
(2)
在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，
在中，由余弦定理得，即AC＝7，
所以．
变式4-1．如图，在中，的垂直平分线交边于点．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
【分析】
（1）在中，利用余弦定理可求出的长；
（2）由（1）可得，在中，由余弦定理求出，再利用正弦定理可求出的值
【详解】
解：（1）在中，，
整理得，
即，所以或．
（2）因为，由（1）得，
所以．
在中，由余弦定理得．
所以．
由，得．
在中，由正弦定理得，
即，
所以．
变式4-2．如图，在四边形中，，，.
（1）求的长；
（2）若的面积为6，求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理可得的长；（2）利用面积得出，结合正弦定理可得.
【详解】
解：（1）由题可知.
在中，，
所以.
（2），则.
又，
所以.
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.
变式4-3．如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)在的延长线上有一点D，使得，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合正弦定理边化角可求得，进而结合同角基本关系的平方关系即可求出结果.
（2）求出，进而在中结合正弦定理即可求出结果.
(1)
在中，由正弦定理得，
又在中，，
所以上式可化为．
因为，所以，
又因为是锐角三角形，．解得．
(2)
由（1）得：，又是锐角三角形，所以，
所以．
在中，
由正弦定理得：，即，
解得．
变式4-4．如图，直角中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间），，，，设.
(1)若，求MN的长；
(2)求面积的最小值.
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）且为锐角，，然后在和中，利用正弦定理可分别求得，，；
（2）在和中，由正弦定理分别求得和（均用含的式子表示），所以，然后令，求得其在上的最大值，即可得到面积的最小值.
(1)
解：，，，，
且为锐角，，
在中，，
由正弦定理得：，代入数据求得，，，
在中，，，
由正弦定理得：，解得．
(2)
由正弦定理可知，
在中，，
在中，，
，
令，，
，
当即时，，
此时面积取得最小值，为．
题型战法五 中线、角分线、垂线
典例5．已知在中，.
(1)求边的长；
(2)求边上的中线的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先由正弦定理求出AB，再用余弦定理求出或，通过验证得到正确答案；（2）在第一问的基础上，用余弦定理进行求解.
(1)
由得：，正弦定理得：，即，解得：，由余弦定理得：，解得：或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，满足题意，综上：
(2)
因为D为BC中点，所以BD=2，在△BCD中，由余弦定理得：，所以.
变式5-1．锐角中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知利用正弦定理化边为角，结合商数关系及和角公式化简求得，即可得出答案；
（2）由已知结合余弦定理及向量数量积的性质表示，然后结合正弦定理和差角公式进行化简，在结合正弦函数的性质即可得解.
(1)
解：因为，
所以，
即，
又因，所以，
所以，因为，所以；
(2)
解：由余弦定理可得，
又，
则
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以
，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为.
变式5-2．在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若，求的中线长度的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选①，则根据正弦定理，边化角，再利用余弦定理即可求得答案；若选②，则根据正弦定理，边化角，再利用两角和的正弦公式化简，求得答案；若选③，则根据正弦定理，边化角，再利用诱导公式结合倍角公式化简，求得答案；
（2）根据可得，利用余弦定理得到，在三角形中，由余弦定理求得，即可求得答案.
(1)
选择条件①：由及正弦定理，得：，
即，由余弦定理，得,
因为，所以；
选择条件②：由及正弦定理，
得：，
即.
即.
在中，，所以，
即，因为，所以，所以,
因为，所以；
选择条件③：由及正弦定理，
得：，
因为,，所以.
在中，，则，
故.
因为，所以，则，
故；
(2)
因为，所以，
整理得，
在三角形中，由余弦定理得.
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，即，
即长度的最小值为.
变式5-3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理将边向角转化，然后利用三角函数的公式变形可得答案；
（2）由可得，然后利用基本不等式可得答案.
(1)
由正弦定理，得，
得，
得，
因为，所以，即.
(2)
因为，
所以.
因为，即（当且仅当b＝c＝6时，等号成立），
所以．故△ABC面积的最小值为.
变式5-4．在中，设内角，，的对边分别为，，，且.
（1）若，，成等比数列，求证：；
（2）若（为锐角），.求中边上的高.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）由，，成等比数列得，再利用余弦定理及基本不等式求出的范围，从而证明；
（2）先利用二倍角公式解得；再由正弦定理求得；下面可采用种方法求解.方法一：由余弦定理求得，再利用边上的高代入即得；方法二：先由同角的三角函数的基本关系算出，进而算出，再利用边上的高代入即得
【详解】
解：（1）证明：因为，，成等比数列，所以
而（当且仅当时取等号）
又因为为三角形的内角，所以
（2）在中，因为，所以.
又因为，，
所以由正弦定理，解得
法1：由，得.
由余弦定理，得.
解得或（舍）
所以边上的高.
法2：由，得.
又因为，所以
所以
或（舍）
（或：因为，且，所以为锐角，）
又因为所以
∴
所以边上的高.
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，同角的三角函数基本关系式，二倍角公式等知识，考查了学生综合应用公式的计算能力.
题型战法六 解三角形的实际应用问题
典例6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（即图中线段），旗杆底部与第一排在同一水平面上．
(1)求旗杆长度；
(2)若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？
【答案】(1)30（米）
(2)0.6（米/秒）
【解析】
【分析】
（1）根据题意在△BCD中利用正弦定理，可求，再在Rt△ABC中根据求解；（2）直接利用速度公式计算．
(1)
在△BCD中，，
，，
由正弦定理，得；
在Rt△ABC中，（米）．
(2)
升旗速度（米/秒）．
变式6-1．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为m，，，在处测得大楼楼顶的仰角为.
(1)求两点间的距离；
(2)求大楼的高度.（第（2）问不计经纬仪的高度，计算结果精确到m.参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)m
【解析】
【分析】
（1）先用三角形内角和定理解出，再利用正弦定理即可求出（2）在中，，利用两角和的正切公式求出的值，代入即得所求
(1)
因为，
在中，因为，，
所以
(2)
在中，因为，，
所以，
又因为，
所以，
答：楼高为m.
变式6-2．已知村庄在村庄的东偏北方向，且村庄之间的距离是千米，村庄在村庄的北偏西方向，且村庄在村庄的正西方向，现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场，使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.
(1)求村庄之间的距离；
(2)求农贸市场到村庄的距离之和.
【答案】(1)千米
(2)千米
【解析】
【分析】
（1）在中，由正弦定理计算即可；
（2）在中，由余弦定理结合可得进而求解
(1)
由题意可得，，
在中，由正弦定理可得，则，故
即村中，之间的距离为千米；
(2)
村庄在村庄的正西方向，因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以.在中，由余弦定理可得，
因为，所以，解得，则，故，
即农贸市场到村庄､的距离之和为千米.
变式6-3．如图，某轮船从海岛A出发沿正北方向航行，灯塔B在海岛A北偏西75°的方向上，且与海岛A相距，灯塔C在海岛A北偏东30°的方向上，且与海岛A相距，该轮船航行到D处时看到灯塔B在北偏西135°的方向上．
(1)求D与海岛A的距离；
(2)求D与灯塔C的距离．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）确定中各角的度数，根据正弦定理即可求得答案；
（2）在中,利用余弦定理即可求得答案.
(1)
根据题意得，，，
所以在中，，，
即.
(2)
在中，，，
所以根据余弦定理得：，
所以.
变式6-4．海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为,.
(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？
(2)若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？
【答案】(1)120海里
(2)能在3小时内赶到救援
【解析】
【分析】
（1）由题意，在中，根据正弦定理即可求解；
（2）在中，根据正弦定理求得，进而在中，利用余弦定理求出，而，从而即可作出判断.
(1)
解：在中，因为，，
所以，，又，
所以由正弦定理可得，即，解得，
所以A船距离雷达站C距离为120海里；
(2)
解：在中，根据正弦定理可得，即，解得，
在中，由余弦定理可得，解得，
因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，
所以能在3小时内赶到救援.