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高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题63三角函数章末复习(原卷版+解析)
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这是一份高一数学同步备好课之题型全归纳(人教A版必修第一册)专题63三角函数章末复习(原卷版+解析)，共44页。
二 规律方法
1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确．
2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα＝eq \f(y,r)≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆．
3．同角三角函数的基本关系式
sin2α＋cs2α＝1及eq \f(sinα,csα)＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．
4．三角函数的诱导公式
诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用．
(1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；
(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角；
(3)eq \f(π,2)±α，π±α，eq \f(3π,2)±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角；
(4)化负为正→化大为小→化为锐角；
(5)记忆规律：奇变偶同，象限定号．
5．正弦函数、余弦函数的图象与性质
(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．
(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期．
解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．
6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α的变形公式：1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α，cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)常用来升幂或降幂．
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)
主要掌握由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换．
注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系．
8．三角函数的应用
(1)根据图象建立解析式；
(2)根据解析式作出图象；
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；
(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．
在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．
考点一 三角函数的概念
1．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，csα，tanα的值．
2．若角α的终边所在直线经过点P(－2,3)，则有( )
A．sin α＝eq \f(2\r(13),13) B．cs α＝－eq \f(2\r(13),13)
C．sin α＝eq \f(3\r(13),13) D．tan α＝－eq \f(3,2)
3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝_____.
4．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是
5．有一个扇形的弧长为eq \f(π,2)，面积为eq \f(π,4)，则该弧所对弦长为
考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用
1．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－eq \f(\r(5),3)，则sin(－5π＋α)＝
2．已知eq \f(1－cs x＋sin x,1＋cs x＋sin x)＝－2，则tan x的值为
3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，
且cs α＝eq \f(\r(30),6)，则|a－b|＝
4．已知tan α＝－eq \r(3)，eq \f(π,2)＜α＜π，则sin α－cs α＝
5．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则eq \f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2cs－π＋α)的值为
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则csα＝
7．已知eq \f(3sin（π＋α）＋cs（－α）,4sin（－α）－cs（9π＋α）)＝2，则tan α＝
8．已知sin(－π＋θ)＋2cs(3π－θ)＝0，则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝________.
9．已知tanα＝－eq \f(4,3)，求下列各式的值：
(1)eq \f(2csα＋3sinα,3csα＋sinα)；(2)2sin2α＋sinαcsα－3cs2α.
10．已知2cs2α＋3csαsinα－3sin2α＝1，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π)).求：
(1)tanα；(2)eq \f(2sinα－3csα,4sinα－9csα).
11．已知tanα＝－eq \f(3,4).
(1)求2＋sinαcsα－cs2α的值；
(2)求eq \f(sin4π－αcs3π＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)π－α)),csπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)π＋α)))的值．
12．已知f(α)＝eq \f(sin2π－α·cs2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α(3)若α＝－eq \f(47π,4)，求f(α)的值．
13．已知－eq \f(π,2)14．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcsθ－2cs2θ等于
15．若sinθ＝eq \f(\r(3),3)，则eq \f(csπ－θ,csθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))的值为________．
16. 已知cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，且角α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)eq \f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cs（α＋2nπ）)(n∈Z)．
考点三 三角恒等变换的综合应用
1．化简eq \r(1－2sinπ＋4csπ＋4)等于( )
A．sin4－cs4 B．cs4－sin4
C．－sin4－cs4 D．sin4＋cs4
2．2sin215°－1的值是
3．若sin2α＝eq \f(1,4)，eq \f(π,4)<α4．已知α为锐角，csα＝eq \f(\r(5),5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2α))＝
5．在eq \r(3)sinx＋csx＝2a－3中，a的取值范围是
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(1,2)))
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值．
7．在△ABC中，3sin A＋4cs B＝6，4sin B＋3cs A＝1，则C的大小为________．
8．在△ABC中，已知taneq \f(A＋B,2)＝sinC，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9．已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为
10．已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，csβ＋csγ＝csα，则β－α的值为________．
11．求值：eq \f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cs20°,cs80°\r(1－cs20°)).
12．化简：eq \f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cs10°)).
13．求证：sinθ(1＋tanθ)＋csθeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,tanθ)))＝eq \f(1,sinθ)＋eq \f(1,csθ).
14．求证：eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csαtanα,1＋csα)＝1.
15．求证：eq \f(1＋2sinαcsα,cs2α－sin2α)＝eq \f(1＋tanα,1－tanα).
16．求证：tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝eq \f(23＋cs4x,1－cs4x).
17．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
18．已知tanα＝4eq \r(3)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，α，β均为锐角，求csβ的值．
19．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(2\r(7),7)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(1,2)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求：
(1)cseq \f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．
20．已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．
21．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．
22．已知函数f(x)＝4tan xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性．
23．已知函数f(x)＝eq \f(sin x－cs xsin 2x,sin x).
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
24．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sinxcsx＋2cs2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
25．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，且－eq \f(π,4)<α考点四 三角函数的图象与性质
1．函数y＝eq \r(16－x2)＋eq \r(sinx)的定义域为______________．
2．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是__________________．
3．对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
4．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝
6．在△ABC中，C>eq \f(π,2)，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )
A．f(csA)>f(csB) B．f(sinA)>f(sinB) C．f(sinA)>f(csB) D．f(sinA)7．已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，当φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，φ的值为________．
8．若函数f(x)＝sinx＋acsx的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，则a＝________.
9．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2，其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
10．给出下列4个命题：①函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期是eq \f(π,2)；②直线x＝eq \f(7π,12)是函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))的一条对称轴；③若sinα＋csα＝－eq \f(1,5)，且α为第二象限角，则tanα＝－eq \f(3,4)；④函数y＝cs(2－3x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3))上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．
11．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,2)))(x∈R)，下列说法错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是π B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))中心对称 D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为
13．对于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，sinx≥csx，,csx，sinxA．该函数的值域是[－1,1]
B．当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π14．函数f(x)＝eq \f(sinx,|csx|)在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )
15．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为2π，且满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx，－π≤x<0，,sinx，0≤x<π，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝________.
16．已知f(x)＝sin2x＋csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，则f(x)的值域为________．
17．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是
18．函数f(x)＝eq \f(sinx1－sinx,1－sinx)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又偶函数 D．非奇非偶函数
19．求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的值域．
20．已知|x|≤eq \f(π,4)，求函数y＝－sin2x＋sinx＋1的最小值．
21．函数f(x)＝lgeq \f(1,2)csx的单调递增区间是___________．
22．下列函数中，周期为4π的是( )
A．y＝sin4x B．y＝cs2x C．y＝taneq \f(x,2) D．y＝sineq \f(x,2)
23．已知函数f(x)＝lgacseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))(其中a>0，且a≠1)．
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．
24．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(其中a为常数)．
①求f(x)的单调区间；
②若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为4，求a的值．
26．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
27．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )
A．A＝3，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(π,6) B．A＝3，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(3π,4)
C．A＝1，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(π,6) D．A＝1，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(3π,4)
28．函数f(x)＝1－2a－2acsx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝eq \f(1,2)，求a及此时f(x)的最大值．
29．在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2)).
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))时，求f(x)的值域．
30．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－eq \r(3)，2]，求实数m的取值范围．
考点五 三角函数的图象变换问题
1．已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C．0 D．－eq \f(π,4)
3．将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式．
5．如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的一段图象．
(1)求此函数的解析式；
(2)分析一下该函数的图象是如何通过y＝sinx的图象变换得来的？
考点六 三角函数的应用
1．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜θ＜\f(π,2))).
(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数；
(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)
2．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝eq \f(π,3)，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
专题63 三角函数章末复习
一 知识系统整合
二 规律方法
1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确．
2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα＝eq \f(y,r)≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆．
3．同角三角函数的基本关系式
sin2α＋cs2α＝1及eq \f(sinα,csα)＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．
4．三角函数的诱导公式
诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用．
(1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；
(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角；
(3)eq \f(π,2)±α，π±α，eq \f(3π,2)±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角；
(4)化负为正→化大为小→化为锐角；
(5)记忆规律：奇变偶同，象限定号．
5．正弦函数、余弦函数的图象与性质
(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．
(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期．
解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．
6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α的变形公式：1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α，cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)常用来升幂或降幂．
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)
主要掌握由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换．
注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系．
8．三角函数的应用
(1)根据图象建立解析式；
(2)根据解析式作出图象；
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；
(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．
在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．
考点一 三角函数的概念
1．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，csα，tanα的值．
[解析] ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(4t2＋－3t2)＝5|t|，
当t>0时，r＝5t，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,5t)＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,5t)＝eq \f(4,5)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4)；
当t<0时，r＝－5t，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,－5t)＝eq \f(3,5)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,－5t)＝－eq \f(4,5)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4).
综上可知，t>0时，sinα＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4)；t<0时，sinα＝eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4).
2．若角α的终边所在直线经过点P(－2,3)，则有( )
A．sin α＝eq \f(2\r(13),13) B．cs α＝－eq \f(2\r(13),13)
C．sin α＝eq \f(3\r(13),13) D．tan α＝－eq \f(3,2)
[解析] 由三角函数的定义可知，|OP|＝eq \r(－22＋32)＝eq \r(13).
∴sin α＝±eq \f(3,\r(13))＝±eq \f(3\r(13),13)，cs α＝±eq \f(2,\r(13))＝±eq \f(2\r(13),13)，tan α＝－eq \f(3,2).
3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝_____.
[解析] r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(16＋y2)，且sinθ＝－eq \f(2\r(5),5)，所以sinθ＝eq \f(y,r)＝eq \f(y,\r(16＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)，
所以θ为第四角限角，解得y＝－8.
4．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是
[解析] ∵tan600°＝eq \f(a,－4)＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝eq \r(3)，∴a＝－4eq \r(3).
5．有一个扇形的弧长为eq \f(π,2)，面积为eq \f(π,4)，则该弧所对弦长为
[解析]设扇形的半径为R，由扇形的面积S＝eq \f(π,4)，得S＝eq \f(π,4)＝eq \f(1,2)×eq \f(π,2)R，得R＝1，
则扇形的圆心角α＝eq \f(l,R)＝eq \f(\f(π,2),1)＝eq \f(π,2)，则弧所对弦长为eq \r(2)R＝eq \r(2)
考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用
1．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－eq \f(\r(5),3)，则sin(－5π＋α)＝
[解析]因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－eq \f(\r(5),3)，所以sin α＝eq \f(\r(5),3)，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－eq \f(\r(5),3)
2．已知eq \f(1－cs x＋sin x,1＋cs x＋sin x)＝－2，则tan x的值为
[解析]已知等式变形得1－cs x＋sin x＝－2－2cs x－2sin x，整理得3sin x＋cs x＝－3，
即cs x＝－3sin x－3，代入sin2x＋cs2x＝1中，得sin2x＋(－3sin x－3)2＝1，整理得5sin2x＋9sin x＋4＝0，即(sin x＋1)·(5sin x＋4)＝0，解得sin x＝－1或sin x＝－eq \f(4,5).当sin x＝－1时，cs x＝0,1＋cs x＋sin x＝0，
分母为0，不合题意，则sin x＝－eq \f(4,5)，所以cs x＝－eq \f(3,5)，因此tan x＝eq \f(4,3)
3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，
且cs α＝eq \f(\r(30),6)，则|a－b|＝
[解析] 依题意得：tan α＝eq \f(a,1)＝a，且tan α＝eq \f(b,2)，因此|a－b|＝|tan α|.
由cs α＝eq \f(\r(30),6)得sin2α＝1－eq \f(5,6)＝eq \f(1,6)，因此|tan α|＝eq \f(\r(5),5)，所以|a－b|＝eq \f(\r(5),5).
4．已知tan α＝－eq \r(3)，eq \f(π,2)＜α＜π，则sin α－cs α＝
[解析]由tan α＝－eq \r(3)得cs2α＝eq \f(1,1＋tan2α)＝eq \f(1,4)，又eq \f(π,2)＜α＜π，所以cs α＝－eq \f(1,2)，
因此sin α＝tan α·cs α＝eq \f(\r(3),2)，∴sin α－cs α＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)
5．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则eq \f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2cs－π＋α)的值为
[解析]依题意得tan α＝eq \f(y,x)＝3，则eq \f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2cs－π＋α)＝eq \f(sin α－cs α,－sin α－2cs α)＝eq \f(tan α－1,－tan α－2)＝eq \f(3－1,－3－2)＝－eq \f(2,5).
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则csα＝
[解析]由tanα＝eq \f(sinα,csα)＝2，sin2α＋cs2α＝1，联立得cs2α＝eq \f(1,5)，由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))知csα<0，所以csα＝－eq \f(\r(5),5).
7．已知eq \f(3sin（π＋α）＋cs（－α）,4sin（－α）－cs（9π＋α）)＝2，则tan α＝
[解析]由已知得eq \f(－3sin α＋cs α,－4sin α＋cs α)＝2，则5sin α＝cs α，所以tan α＝eq \f(1,5).
8．已知sin(－π＋θ)＋2cs(3π－θ)＝0，则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝________.
[解析]由已知得－sin θ－2cs θ＝0，故tan θ＝－2，则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝eq \f(－2＋1,－2－1)＝eq \f(1,3).
9．已知tanα＝－eq \f(4,3)，求下列各式的值：
(1)eq \f(2csα＋3sinα,3csα＋sinα)；(2)2sin2α＋sinαcsα－3cs2α.
[解析] (1)∵tanα＝－eq \f(4,3)，∴eq \f(2csα＋3sinα,3csα＋sinα)＝eq \f(2＋3tanα,3＋tanα)＝eq \f(2＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))),3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))))＝－eq \f(6,5).
(2)2sin2α＋sinαcsα－3cs2α＝eq \f(2sin2α＋sinαcsα－3cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan2α＋tanα－3,tan2α＋1)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))－3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))2＋1)＝－eq \f(7,25).
10．已知2cs2α＋3csαsinα－3sin2α＝1，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π)).求：
(1)tanα；(2)eq \f(2sinα－3csα,4sinα－9csα).
[解析] (1)2cs2α＋3csαsinα－3sin2α＝eq \f(2cs2α＋3csαsinα－3sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)，
则eq \f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0.解得tanα＝－eq \f(1,4)或tanα＝1.
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π))，∴α为第二象限角，∴tanα<0，∴tanα＝－eq \f(1,4).
(2)原式＝eq \f(\f(2sinα,csα)－\f(3csα,csα),\f(4sinα,csα)－\f(9csα,csα))＝eq \f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq \f(－2×\f(1,4)－3,－4×\f(1,4)－9)＝eq \f(7,20).
11．已知tanα＝－eq \f(3,4).
(1)求2＋sinαcsα－cs2α的值；
(2)求eq \f(sin4π－αcs3π＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)π－α)),csπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)π＋α)))的值．
[解析] (1)2＋sinαcsα－cs2α＝eq \f(2sin2α＋cs2α＋sinαcsα－cs2α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(2sin2α＋sinαcsα＋cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan2α＋tanα＋1,1＋tan2α)，
把tanα＝－eq \f(3,4)代入，得原式＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＋1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2)＝eq \f(\f(9,8)－\f(3,4)＋1,1＋\f(9,16))＝eq \f(22,25).
(2)原式＝eq \f(－sinα－csα－sinαcs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),－csαsinπ－α[－sinπ＋α]sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))))＝eq \f(－sin2αcsα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),－csαsinα[－－sinα]sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))
＝eq \f(sin2αcsαsinα,－csαsin2αcsα)＝－eq \f(sinα,csα)＝－tanα，
把tanα＝－eq \f(3,4)代入，得原式＝eq \f(3,4).
12．已知f(α)＝eq \f(sin2π－α·cs2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α(3)若α＝－eq \f(47π,4)，求f(α)的值．
[解析] (1)f(α)＝eq \f(sin2α·csα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·csα.
(2)由f(α)＝sinα·csα＝eq \f(1,8)可知，(csα－sinα)2＝cs2α－2sinα·csα＋sin2α＝1－2sinα·csα＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，
又∵eq \f(π,4)<α(3)∵α＝－eq \f(47π,4)＝－6×2π＋eq \f(π,4)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47π,4)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))
＝cseq \f(π,4)·sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).
13．已知－eq \f(π,2)[解析]由sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，即2sin xcs x＝－eq \f(24,25)，
所以(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25).又因为－eq \f(π,2)所以sin x<0，cs x>0，sin x－cs x<0，故sin x－cs x＝－eq \f(7,5).
14．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcsθ－2cs2θ等于
[解析]sin2θ＋sinθcsθ－2cs2θ＝eq \f(sin2θ＋sinθcsθ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，
又tanθ＝2，故原式＝eq \f(4＋2－2,4＋1)＝eq \f(4,5).
15．若sinθ＝eq \f(\r(3),3)，则eq \f(csπ－θ,csθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))的值为________．
[解析]原式＝eq \f(－csθ,csθ－csθ－1)＋eq \f(csθ,－csθ·csθ＋csθ)＝eq \f(1,1＋csθ)＋eq \f(1,1－csθ)＝eq \f(2,1－csθ·1＋csθ)
＝eq \f(2,sin2θ)＝eq \f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2)＝6.
16. 已知cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，且角α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)eq \f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cs（α＋2nπ）)(n∈Z)．
[解析]因为cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，所以－cs α＝－eq \f(1,2)，cs α＝eq \f(1,2).又角α在第四象限，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(\r(3),2).
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝eq \f(\r(3),2).
(2)eq \f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cs（α＋2nπ）)＝eq \f(sin（α＋2nπ＋π）－sin α,sin αcs α)＝eq \f(sin（π＋α）－sin α,sin αcs α)＝eq \f(－2sin α,sin αcs α)
＝－eq \f(2,cs α)＝－4.
考点三 三角恒等变换的综合应用
1．化简eq \r(1－2sinπ＋4csπ＋4)等于( )
A．sin4－cs4 B．cs4－sin4
C．－sin4－cs4 D．sin4＋cs4
[解析]原式＝eq \r(1－2sin4cs4)＝eq \r(sin4－cs42)＝|sin4－cs4|，因为eq \f(5,4)π<4sin4.
所以|sin4－cs4|＝cs4－sin4.故选B.
2．2sin215°－1的值是
[解析] 原式＝－(1－2sin215°)＝－cs30°＝－eq \f(\r(3),2).
3．若sin2α＝eq \f(1,4)，eq \f(π,4)<α[解析] (csα－sinα)2＝1－sin2α＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).又eq \f(π,4)<α4．已知α为锐角，csα＝eq \f(\r(5),5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2α))＝
[解析] 由α为锐角，csα＝eq \f(\r(5),5)，∴sinα＝eq \f(2\r(5),5)，故tanα＝2，tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(4,1－4)＝－eq \f(4,3)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2α))＝eq \f(tan\f(π,4)＋tan2α,1－tan\f(π,4)tan2α)＝eq \f(1－\f(4,3),1＋\f(4,3))＝－eq \f(1,7)
5．在eq \r(3)sinx＋csx＝2a－3中，a的取值范围是
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(1,2)))
[解析] eq \r(3)sinx＋csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))∈[－2,2]，所以－2≤2a－3≤2，解得eq \f(1,2)≤a≤eq \f(5,2).
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值．
[解析]因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5).
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sineq \f(π,4)cs α＋cs eq \f(π,4)·sin α＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
7．在△ABC中，3sin A＋4cs B＝6，4sin B＋3cs A＝1，则C的大小为________．
[解析]两式左右两边分别平方相加，得sin(A＋B)＝eq \f(1,2)，则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝eq \f(1,2)，
所以C＝eq \f(π,6)或C＝eq \f(5π,6).又3sin A＝6－4cs B>2，得sin A>eq \f(2,3)>eq \f(1,2)，所以A>eq \f(π,6)，所以C8．在△ABC中，已知taneq \f(A＋B,2)＝sinC，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] 在△ABC中，taneq \f(A＋B,2)＝sinC＝sin(A＋B)＝2sineq \f(A＋B,2)cseq \f(A＋B,2)，
所以2cs2eq \f(A＋B,2)＝1，所以cs(A＋B)＝0，从而A＋B＝eq \f(π,2)，即△ABC为直角三角形．故选C.
9．已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为
[解析] sinα＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，则csα＝eq \f(2\r(5),5)，tanα＝eq \f(1,2)，
所以tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.又因为α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＋β＝eq \f(3π,4).
10．已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，csβ＋csγ＝csα，则β－α的值为________．
[解析] 由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，csγ＝csα－csβ.
两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(csα－csβ)2＝1.
所以－2cs(β－α)＝－1，所以cs(β－α)＝eq \f(1,2)，所以β－α＝±eq \f(π,3).因为sinγ＝sinβ－sinα>0，所以β>α，
所以β－α＝eq \f(π,3).
11．求值：eq \f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cs20°,cs80°\r(1－cs20°)).
[解析]∵sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)＝sin50°eq \f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°)＝sin50°eq \f(2sin40°,cs10°)＝1，
cs80°eq \r(1－cs20°)＝sin10°eq \r(2sin210°)＝eq \r(2)sin210°，
∴eq \f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cs20°,cs80°\r(1－cs20°))＝eq \f(1－cs20°,\r(2)sin210°)＝eq \r(2).
12．化简：eq \f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cs10°)).
[解析]原式＝eq \f(2sin50°＋sin80°1＋\r(3)tan10°,\r(1＋cs10°))＝eq \f(2sin50°＋cs10°×\f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°),\r(2cs25°))
＝eq \f(2sin50°＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(2)|cs5°|)＝eq \f(2sin50°＋2sin30°＋10°,\r(2)cs5°)
＝eq \f(2[sin45°＋5°＋sin45°－5°],\r(2)cs5°)＝eq \f(2sin45°cs5°＋cs45°sin5°＋sin45°cs5°－cs45°sin5°,\r(2)cs5°)
＝eq \f(4sin45°cs5°,\r(2)cs5°)＝2.
13．求证：sinθ(1＋tanθ)＋csθeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,tanθ)))＝eq \f(1,sinθ)＋eq \f(1,csθ).
[解析]左边＝sinθeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sinθ,csθ)))＋csθeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(csθ,sinθ)))＝sinθ＋eq \f(sin2θ,csθ)＋csθ＋eq \f(cs2θ,sinθ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinθ＋\f(cs2θ,sinθ)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2θ,csθ)＋csθ))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2θ＋cs2θ,sinθ)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2θ＋cs2θ,csθ)))＝eq \f(1,sinθ)＋eq \f(1,csθ)＝右边．
14．求证：eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csαtanα,1＋csα)＝1.
[解析] eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csαtanα,1＋csα)＝eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csα·\f(sinα,csα),1＋csα)＝eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(sinα,1＋csα)＝eq \f(sin2α,1－cs2α)＝eq \f(sin2α,sin2α)＝1.
15．求证：eq \f(1＋2sinαcsα,cs2α－sin2α)＝eq \f(1＋tanα,1－tanα).
[解析]左边＝eq \f(sin2α＋cs2α＋2sinαcsα,cs2α－sin2α)＝eq \f(sinα＋csα2,csα＋sinαcsα－sinα)＝eq \f(sinα＋csα,csα－sinα)＝eq \f(tanα＋1,1－tanα)＝右边．
∴等式成立．
16．求证：tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝eq \f(23＋cs4x,1－cs4x).
[解析]证法一：左边＝eq \f(sin2x,cs2x)＋eq \f(cs2x,sin2x)＝eq \f(sin4x＋cs4x,sin2xcs2x)＝eq \f(sin2x＋cs2x2－2sin2xcs2x,\f(1,4)sin22x)＝eq \f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x)
＝eq \f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,8)1－cs4x)＝eq \f(8－4sin22x,1－cs4x)＝eq \f(4＋4cs22x,1－cs4x)＝eq \f(4＋21＋cs4x,1－cs4x)＝eq \f(23＋cs4x,1－cs4x)＝右边．原式得证．
证法二：右边＝eq \f(22＋1＋cs4x,2sin22x)＝eq \f(22＋2cs22x,2sin22x)＝eq \f(21＋cs22x,4sin2xcs2x)
＝eq \f(sin2x＋cs2x2＋cs2x－sin2x2,2sin2xcs2x)＝eq \f(2sin4x＋cs4x,2sin2xcs2x)＝tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝左边．原式得证．
17．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
[解析]∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)．∴eq \f(sin2α＋cs2α,cs2α)＝2·eq \f(sin2β＋cs2β,cs2β).
∴eq \f(1,cs2α)＝eq \f(2,cs2β).∴cs2β＝2cs2α.∴1－sin2β＝2(1－sin2α)．∴sin2β＝2sin2α－1.
18．已知tanα＝4eq \r(3)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，α，β均为锐角，求csβ的值．
[解析]因为α，β均为锐角，所以0<α＋β<π，又cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，所以eq \f(π,2)<α＋β<π，
且sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14).因为tanα＝4eq \r(3)，所以sinα＝eq \f(4\r(3),7)，csα＝eq \f(1,7).
所以csβ＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)sinα＝eq \f(1,2).
19．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(2\r(7),7)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(1,2)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求：
(1)cseq \f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．
[解析] (1)∵eq \f(π,2)<α<π，0<β∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2))))＝eq \f(\r(21),7)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))＝eq \f(\r(3),2)，
∴cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))
＝－eq \f(2\r(7),7)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(21),7)×eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(21),14).
(2)∵eq \f(π,4)∴tan(α＋β)＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(5\r(3),11).
20．已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．
[解析] (1)因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(9,25)，因此，cs 2α＝2cs2 α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(2\r(5),5)，因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝－eq \f(24,7)，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tan（α＋β）,1＋tan 2αtan（α＋β）)＝－eq \f(2,11).
21．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．
[解析] (1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x＝cs xsin x－eq \f(\r(3),2)(1＋cs 2x)
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x－eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为eq \f(2－\r(3),2).
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，0≤2x－eq \f(π,3)≤π，从而当0≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)，即eq \f(π,6)≤x≤eq \f(5π,12)时，f(x)单调递增，
当eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤π，即eq \f(5π,12)≤x≤eq \f(2π,3)时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增；在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上单调递减．
22．已知函数f(x)＝4tan xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性．
[解析] (1)f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
f(x)＝4tan xcs xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)＝4sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)＝4sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))－eq \r(3)
＝2sin xcs x＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)＝sin 2x＋eq \r(3)(1－cs 2x)－eq \r(3)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)令z＝2x－eq \f(π,3)，则函数y＝2sin z的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z.
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z.设A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ≤x≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z))))，易知A∩B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4))).
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上单调递减．
23．已知函数f(x)＝eq \f(sin x－cs xsin 2x,sin x).
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
[解析] (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝eq \f(sin x－cs xsin 2x,sin x)＝2cs x(sin x－cs x)＝sin 2x－cs 2x－1＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－1，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递减区间为2kπ＋eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)．
由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(7π,8)(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8)))(k∈Z)．
24．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sinxcsx＋2cs2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
[解析] (1)由f(x)＝2eq \r(3)sinxcsx＋2cs2x－1，
得f(x)＝eq \r(3)(2sinxcsx)＋(2cs2x－1)＝eq \r(3)sin2x＋cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
∴函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z.
(2)∵f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))上为增函数，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上为减函数，又f(0)＝1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－1，∴函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值为2，最小值为－1.
25．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，且－eq \f(π,4)<α[解析]∵－eq \f(π,4)<α∵eq \f(π,4)<β∴cs(α－β)＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))· cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(16,65)，
∴cs[2(α－β)]＝2cs2(α－β)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,65)))2－1＝－eq \f(3713,4225).
考点四 三角函数的图象与性质
1．函数y＝eq \r(16－x2)＋eq \r(sinx)的定义域为______________．
[解析] 依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－x2≥0，,sinx≥0.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4≤x≤4，,2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.))
如图，可得函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．
2．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是__________________．
[解析] 任取x<0，则－x>0，∴f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，又f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝－sinx，故有f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，x≥0,－sinx，x<0))
3．对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
[解析]因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故f(x)的图象关于原点对称，选B.
4．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是
[解析] y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(3,2)π＋2kπ(k∈Z)，
可得eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(5,6)π＋kπ(k∈Z)，∵x∈[0，π]，∴单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))).
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝
[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝Asinφ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，∴k＝0，φ＝0；
又g(x)＝Asineq \f(1,2)ωx，∴T＝eq \f(2π,\f(1,2)ω)＝2π，∴ω＝2，又geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，∴A＝2，∴f(x)＝2sin2x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝eq \r(2).
6．在△ABC中，C>eq \f(π,2)，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )
A．f(csA)>f(csB) B．f(sinA)>f(sinB) C．f(sinA)>f(csB) D．f(sinA)[解析] 由题意，在△ABC中，由C>eq \f(π,2)，可得0f(csB)，即C正确．
7．已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，当φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，φ的值为________．
[解析]由已知得eq \f(π,4)＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－eq \f(π,4)(k∈Z)．又∵φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴当k＝0时，φ＝－eq \f(π,4)符合条件．
8．若函数f(x)＝sinx＋acsx的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，则a＝________.
[解析] ∵f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，∴f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，即a＝sineq \f(π,3)＋acseq \f(π,3)，∴a＝eq \r(3).
9．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2，其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
[解析] 画出函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的图象(如下图)，由图象可得①④正确．
10．给出下列4个命题：①函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期是eq \f(π,2)；②直线x＝eq \f(7π,12)是函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))的一条对称轴；③若sinα＋csα＝－eq \f(1,5)，且α为第二象限角，则tanα＝－eq \f(3,4)；④函数y＝cs(2－3x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3))上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．
[解析]函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))的最小正周期是π，则y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期为eq \f(π,2)，故①正确．
对于②，当x＝eq \f(7π,12)时，2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(7π,12)－\f(π,4)))＝2sineq \f(3π,2)＝－2，故②正确．
对于③，由(sinα＋csα)2＝eq \f(1,25)得2sinαcsα＝－eq \f(24,25)，α为第二象限角，所以sinα－csα＝eq \r(1－2sinαcsα)＝eq \f(7,5)，
所以sinα＝eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，所以tanα＝－eq \f(3,4)，故③正确．
对于④，函数y＝cs(2－3x)的最小正周期为eq \f(2π,3)，而区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3))长度eq \f(7,3)>eq \f(2π,3)，显然④错误．
[答案] ①②③
11．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,2)))(x∈R)，下列说法错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是π B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))中心对称 D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数
[解析]因为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝cs 2x，所以函数f(x)是偶函数，且最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝π，
故A，B正确；由2x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)(k∈Z)，当k＝0时，x＝eq \f(π,4)，所以函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))中心对称，故C正确；当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(3,2)π∈[－eq \f(3,2)π，－eq \f(π,2)]，所以函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数，故D不正确．故选D.
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为
[解析] 因为x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为f(x)的图象的对称轴，所以eq \f(π,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝eq \f(T,4)＋kT，
即eq \f(π,2)＝eq \f(4k＋1,4)·T＝eq \f(4k＋1,4)·eq \f(2π,ω)，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，
所以eq \f(5π,36)－eq \f(π,18)＝eq \f(π,12)≤eq \f(T,2)＝eq \f(2π,2ω)，即ω≤12，由此得ω的最大值为9
13．对于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，sinx≥csx，,csx，sinxA．该函数的值域是[－1,1]
B．当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π[解析]画出此函数的图象(图略)，由图象容易看出：该函数的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))；
当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z时，
函数取得最小值－eq \f(\r(2),2)；当且仅当2kπ＋π14．函数f(x)＝eq \f(sinx,|csx|)在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )
[解析]x∈[－π，π]故排除B，D，当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))时，csx<0，f(x)＝eq \f(sinx,－csx)＝－tanx，故选C.
15．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为2π，且满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx，－π≤x<0，,sinx，0≤x<π，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝________.
[解析]∵T＝2π，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π＋2π×2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝cs(－eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2).
16．已知f(x)＝sin2x＋csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，则f(x)的值域为________．
[解析]f(x)＝1－cs2x＋csx＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4).∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴csx∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，∴f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(5,4))).
17．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是
[解析]因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，所以θ＝eq \f(π,2)，f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝3cs 2x，
令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－eq \f(π,2)≤x≤kπ，可得函数f(x)的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z，
所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
18．函数f(x)＝eq \f(sinx1－sinx,1－sinx)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又偶函数 D．非奇非偶函数
[解析]由题意，知sinx≠1，即f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，此函数的定义域不关于原点对称．
∴f(x)是非奇非偶函数．[答案] D
19．求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的值域．
[解析]令t＝sinx，y＝f(x)，∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴eq \f(1,2)≤sinx≤1，即eq \f(1,2)≤t≤1.
∴y＝2t2＋2t－eq \f(1,2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－1，∴1≤y≤eq \f(7,2)，∴函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(7,2))).
20．已知|x|≤eq \f(π,4)，求函数y＝－sin2x＋sinx＋1的最小值．
[解析]令t＝sinx，因为|x|≤eq \f(π,4)，所以－eq \f(\r(2),2)≤sinx≤eq \f(\r(2),2)，即t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
则y＝－t2＋t＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).
根据二次函数的性质可得当t＝－eq \f(\r(2),2)，即x＝－eq \f(π,4)时，y有最小值，为－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)＝eq \f(1－\r(2),2).
21．函数f(x)＝lgeq \f(1,2)csx的单调递增区间是___________．
[解析]由csx>0得－eq \f(π,2)＋2kπ∴函数f(x)＝lgeq \f(1,2)csx的单调递增区间即为u＝csx，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)的单调递减区间，
即2kπ≤x22．下列函数中，周期为4π的是( )
A．y＝sin4x B．y＝cs2x C．y＝taneq \f(x,2) D．y＝sineq \f(x,2)
[解析] D中：T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，故选D.
23．已知函数f(x)＝lgacseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))(其中a>0，且a≠1)．
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．
[解析] (1)由题意知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))>0，∴2kπ－eq \f(π,2)<2x－eq \f(π,3)<2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即kπ－eq \f(π,12)故函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)．
(2)在定义域范围内求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调区间．
函数u＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)上单调递减，
∴当a>1时，f(x)的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)，单调减区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)；
当0(3)∵函数f(x)的定义域不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)函数f(x)是周期函数，∵f(x＋π)＝lgacseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π－\f(π,3)))＝lgacseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为T＝π.
24．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(其中a为常数)．
①求f(x)的单调区间；
②若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为4，求a的值．
[解析]①由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)，由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))(k∈Z)．
②∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.
26．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
[解析]列表如下：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
(1)由图象可知图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，
所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．
27．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )
A．A＝3，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(π,6) B．A＝3，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(3π,4)
C．A＝1，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(π,6) D．A＝1，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(3π,4)
[解析]由题图知函数的最大值为A＋2＝3，则A＝1，函数的周期T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－\f(π,6)))＝eq \f(4π,3)＝eq \f(2π,ω)，
则ω＝eq \f(3,2)，则y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋φ))＋2，则当x＝eq \f(5π,6)时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)×\f(3,2)＋φ))＋2＝3，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋φ))＝1，
即eq \f(5π,4)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，则φ＝－eq \f(3π,4)＋2kπ，因为|φ|<π，所以当k＝0时，φ＝－eq \f(3π,4)，
故A＝1，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(3π,4).
28．函数f(x)＝1－2a－2acsx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝eq \f(1,2)，求a及此时f(x)的最大值．
[解析] (1)∵f(x)＝2cs2x－2acsx－2a－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx－\f(a,2)))2－eq \f(a2,2)－2a－1，且csx∈[－1,1]．
当eq \f(a,2)<－1时，则a<－2时，g(a)＝1；
当－1≤eq \f(a,2)≤1，即－2≤a≤2时，g(a)＝－eq \f(a2,2)－2a－1；
当eq \f(a,2)>1，即a>2时，g(a)＝－4a＋1.
∴g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a<－2，,－\f(a2,2)－2a－1，－2≤a≤2，,－4a＋1，a>2.))
(2)g(a)＝eq \f(1,2)，则a＝－1.∴f(x)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)，∴f(x)max＝5.
29．在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2)).
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))时，求f(x)的值域．
[解析] (1)由最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，得eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，即T＝π，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2.由点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))在图象上，得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，
故eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ－eq \f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq \f(π,6)，故f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
(2)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))，∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,6)))，
当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值2；当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6)，即x＝eq \f(π,2)时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．
30．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－eq \r(3)，2]，求实数m的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝f(x)min＝－2，此时2x－eq \f(π,3)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，即x＝kπ－eq \f(π,12)，k∈Z，
即此时自变量x的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,12)，k∈Z)))).
(2)把函数y＝sinx的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象；再把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,2)，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象；最后再把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．
(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥eq \f(5π,12).
又函数y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(11π,12)))上是减函数，故m的最大值为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(11π,12)))内使函数值为－eq \r(3)的值，
令2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝－eq \r(3)，得x＝eq \f(5π,6)，所以m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(5π,6))).
考点五 三角函数的图象变换问题
1．已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
[解析]因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，所以曲线C1：y＝cs x上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cs 2x，再把得到的曲线y＝cs 2x向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C．0 D．－eq \f(π,4)
[解析]y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位后得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＋φ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋φ)).若该函数为偶函数，则eq \f(π,4)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，故φ＝kπ＋eq \f(π,4).当k＝0时φ＝eq \f(π,4).故选B.
3．将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
[解析]函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的周期为π，将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期即eq \f(π,4)个单位长度，
所得图象对应的函数为y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故选D.
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式．
[解析] (1)由题可知T＝eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.又f(x)min＝－2，所以A＝2.由f(x)的最低点为M，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1.因为0<φ所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
(2)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(横坐标伸长到原来),\s\d5(的2倍（纵坐标不变）))y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2x＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(沿x轴向右),\s\d5(平移\f(π,6)个单位))y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝2sin x，所以g(x)＝2sin x.
5．如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的一段图象．
(1)求此函数的解析式；
(2)分析一下该函数的图象是如何通过y＝sinx的图象变换得来的？
[解析] (1)由图象知A＝eq \f(－\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))),2)＝eq \f(1,2)，k＝eq \f(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))),2)＝－1，T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.
∴y＝eq \f(1,2)sin(2x＋φ)－1.当x＝eq \f(π,6)时，2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).
∴所求函数的解析式为y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1.
(2)把y＝sinx的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的eq \f(1,2)，得到y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象，最后把函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向下平移1个单位长度，得到y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1的图象．
考点六 三角函数的应用
1．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜θ＜\f(π,2))).
(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数；
(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)
[解析] (1)由题意可知：l＝eq \f(2,sin θ)＋eq \f(2,cs θ)＝eq \f(2sin θ＋cs θ,sin θ·cs θ)，其中0＜θ＜eq \f(π,2).
(2)l＝eq \f(2sin θ＋cs θ,sin θ·cs θ)，设t＝sin θ＋cs θ＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，因为0＜θ＜eq \f(π,2)，所以eq \f(π,4)＜θ＋eq \f(π,4)＜eq \f(3π,4)，
所以t∈(1，eq \r(2)]，所以l＝eq \f(4t,t2－1)＝eq \f(4,t－\f(1,t)).因为t－eq \f(1,t)在(1，eq \r(2)]上是增函数，
所以t－eq \f(1,t)的最大值为eq \f(\r(2),2)，所以l＝eq \f(4,t－\f(1,t))的最小值为4eq \r(2).因为4eq \r(2)＞5，
所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊．
2．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝eq \f(π,3)，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
[解析]连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为点H，
在Rt△AOH中，OH＝cs α，AH＝sin α，所以BH＝eq \f(AH,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)sin α，所以OB＝OH－BH＝cs α－eq \f(\r(3),3)sin α，设平行四边形ABOC的面积为S，则S＝OB·AH＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－\f(\r(3),3)sin α))·sin α＝sin αcs α－eq \f(\r(3),3)sin2α＝eq \f(1,2)sin 2α－eq \f(\r(3),6)(1－cs 2α)＝eq \f(1,2)sin 2α＋eq \f(\r(3),6)cs 2α－eq \f(\r(3),6)＝eq \f(1,\r(3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2α＋\f(1,2)cs 2α))－eq \f(\r(3),6)＝eq \f(1,\r(3))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))－eq \f(\r(3),6).
由于0＜α＜eq \f(π,3)，所以eq \f(π,6)＜2α＋eq \f(π,6)＜eq \f(5,6)π，
当2α＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,6)时，Smax＝eq \f(1,\r(3))－eq \f(\r(3),6)＝eq \f(\r(3),6)，
所以当A是eq \x\t(PQ)的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为eq \f(\r(3),6)平方米．
x
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
sinx
0
－1
0
1
0
1－2sinx
1
3
1
－1
1
二 规律方法
1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确．
2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα＝eq \f(y,r)≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆．
3．同角三角函数的基本关系式
sin2α＋cs2α＝1及eq \f(sinα,csα)＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．
4．三角函数的诱导公式
诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用．
(1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；
(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角；
(3)eq \f(π,2)±α，π±α，eq \f(3π,2)±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角；
(4)化负为正→化大为小→化为锐角；
(5)记忆规律：奇变偶同，象限定号．
5．正弦函数、余弦函数的图象与性质
(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．
(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期．
解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．
6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α的变形公式：1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α，cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)常用来升幂或降幂．
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)
主要掌握由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换．
注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系．
8．三角函数的应用
(1)根据图象建立解析式；
(2)根据解析式作出图象；
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；
(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．
在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．
考点一 三角函数的概念
1．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，csα，tanα的值．
2．若角α的终边所在直线经过点P(－2,3)，则有( )
A．sin α＝eq \f(2\r(13),13) B．cs α＝－eq \f(2\r(13),13)
C．sin α＝eq \f(3\r(13),13) D．tan α＝－eq \f(3,2)
3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝_____.
4．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是
5．有一个扇形的弧长为eq \f(π,2)，面积为eq \f(π,4)，则该弧所对弦长为
考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用
1．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－eq \f(\r(5),3)，则sin(－5π＋α)＝
2．已知eq \f(1－cs x＋sin x,1＋cs x＋sin x)＝－2，则tan x的值为
3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，
且cs α＝eq \f(\r(30),6)，则|a－b|＝
4．已知tan α＝－eq \r(3)，eq \f(π,2)＜α＜π，则sin α－cs α＝
5．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则eq \f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2cs－π＋α)的值为
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则csα＝
7．已知eq \f(3sin（π＋α）＋cs（－α）,4sin（－α）－cs（9π＋α）)＝2，则tan α＝
8．已知sin(－π＋θ)＋2cs(3π－θ)＝0，则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝________.
9．已知tanα＝－eq \f(4,3)，求下列各式的值：
(1)eq \f(2csα＋3sinα,3csα＋sinα)；(2)2sin2α＋sinαcsα－3cs2α.
10．已知2cs2α＋3csαsinα－3sin2α＝1，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π)).求：
(1)tanα；(2)eq \f(2sinα－3csα,4sinα－9csα).
11．已知tanα＝－eq \f(3,4).
(1)求2＋sinαcsα－cs2α的值；
(2)求eq \f(sin4π－αcs3π＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)π－α)),csπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)π＋α)))的值．
12．已知f(α)＝eq \f(sin2π－α·cs2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α
13．已知－eq \f(π,2)
15．若sinθ＝eq \f(\r(3),3)，则eq \f(csπ－θ,csθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))的值为________．
16. 已知cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，且角α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)eq \f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cs（α＋2nπ）)(n∈Z)．
考点三 三角恒等变换的综合应用
1．化简eq \r(1－2sinπ＋4csπ＋4)等于( )
A．sin4－cs4 B．cs4－sin4
C．－sin4－cs4 D．sin4＋cs4
2．2sin215°－1的值是
3．若sin2α＝eq \f(1,4)，eq \f(π,4)<α
5．在eq \r(3)sinx＋csx＝2a－3中，a的取值范围是
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(1,2)))
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值．
7．在△ABC中，3sin A＋4cs B＝6，4sin B＋3cs A＝1，则C的大小为________．
8．在△ABC中，已知taneq \f(A＋B,2)＝sinC，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9．已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为
10．已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，csβ＋csγ＝csα，则β－α的值为________．
11．求值：eq \f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cs20°,cs80°\r(1－cs20°)).
12．化简：eq \f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cs10°)).
13．求证：sinθ(1＋tanθ)＋csθeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,tanθ)))＝eq \f(1,sinθ)＋eq \f(1,csθ).
14．求证：eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csαtanα,1＋csα)＝1.
15．求证：eq \f(1＋2sinαcsα,cs2α－sin2α)＝eq \f(1＋tanα,1－tanα).
16．求证：tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝eq \f(23＋cs4x,1－cs4x).
17．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
18．已知tanα＝4eq \r(3)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，α，β均为锐角，求csβ的值．
19．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(2\r(7),7)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(1,2)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求：
(1)cseq \f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．
20．已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．
21．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．
22．已知函数f(x)＝4tan xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性．
23．已知函数f(x)＝eq \f(sin x－cs xsin 2x,sin x).
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
24．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sinxcsx＋2cs2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
25．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，且－eq \f(π,4)<α
1．函数y＝eq \r(16－x2)＋eq \r(sinx)的定义域为______________．
2．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是__________________．
3．对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
4．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝
6．在△ABC中，C>eq \f(π,2)，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )
A．f(csA)>f(csB) B．f(sinA)>f(sinB) C．f(sinA)>f(csB) D．f(sinA)
8．若函数f(x)＝sinx＋acsx的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，则a＝________.
9．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2，其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
10．给出下列4个命题：①函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期是eq \f(π,2)；②直线x＝eq \f(7π,12)是函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))的一条对称轴；③若sinα＋csα＝－eq \f(1,5)，且α为第二象限角，则tanα＝－eq \f(3,4)；④函数y＝cs(2－3x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3))上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．
11．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,2)))(x∈R)，下列说法错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是π B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))中心对称 D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为
13．对于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，sinx≥csx，,csx，sinx
B．当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π
15．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为2π，且满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx，－π≤x<0，,sinx，0≤x<π，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝________.
16．已知f(x)＝sin2x＋csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，则f(x)的值域为________．
17．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是
18．函数f(x)＝eq \f(sinx1－sinx,1－sinx)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又偶函数 D．非奇非偶函数
19．求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的值域．
20．已知|x|≤eq \f(π,4)，求函数y＝－sin2x＋sinx＋1的最小值．
21．函数f(x)＝lgeq \f(1,2)csx的单调递增区间是___________．
22．下列函数中，周期为4π的是( )
A．y＝sin4x B．y＝cs2x C．y＝taneq \f(x,2) D．y＝sineq \f(x,2)
23．已知函数f(x)＝lgacseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))(其中a>0，且a≠1)．
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．
24．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(其中a为常数)．
①求f(x)的单调区间；
②若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为4，求a的值．
26．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
27．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )
A．A＝3，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(π,6) B．A＝3，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(3π,4)
C．A＝1，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(π,6) D．A＝1，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(3π,4)
28．函数f(x)＝1－2a－2acsx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝eq \f(1,2)，求a及此时f(x)的最大值．
29．在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2)).
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))时，求f(x)的值域．
30．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－eq \r(3)，2]，求实数m的取值范围．
考点五 三角函数的图象变换问题
1．已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C．0 D．－eq \f(π,4)
3．将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ
(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式．
5．如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的一段图象．
(1)求此函数的解析式；
(2)分析一下该函数的图象是如何通过y＝sinx的图象变换得来的？
考点六 三角函数的应用
1．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜θ＜\f(π,2))).
(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数；
(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)
2．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝eq \f(π,3)，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
专题63 三角函数章末复习
一 知识系统整合
二 规律方法
1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确．
2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα＝eq \f(y,r)≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆．
3．同角三角函数的基本关系式
sin2α＋cs2α＝1及eq \f(sinα,csα)＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．
4．三角函数的诱导公式
诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用．
(1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；
(2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角；
(3)eq \f(π,2)±α，π±α，eq \f(3π,2)±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角；
(4)化负为正→化大为小→化为锐角；
(5)记忆规律：奇变偶同，象限定号．
5．正弦函数、余弦函数的图象与性质
(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．
(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变量x本身加常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期．
解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．
6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ)，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛；公式cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α的变形公式：1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α，cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)常用来升幂或降幂．
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)
主要掌握由函数y＝sinx的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换．
注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系．
8．三角函数的应用
(1)根据图象建立解析式；
(2)根据解析式作出图象；
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；
(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．
在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．
考点一 三角函数的概念
1．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，csα，tanα的值．
[解析] ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(4t2＋－3t2)＝5|t|，
当t>0时，r＝5t，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,5t)＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,5t)＝eq \f(4,5)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4)；
当t<0时，r＝－5t，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,－5t)＝eq \f(3,5)，csα＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,－5t)＝－eq \f(4,5)，tanα＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4).
综上可知，t>0时，sinα＝－eq \f(3,5)，csα＝eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4)；t<0时，sinα＝eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4).
2．若角α的终边所在直线经过点P(－2,3)，则有( )
A．sin α＝eq \f(2\r(13),13) B．cs α＝－eq \f(2\r(13),13)
C．sin α＝eq \f(3\r(13),13) D．tan α＝－eq \f(3,2)
[解析] 由三角函数的定义可知，|OP|＝eq \r(－22＋32)＝eq \r(13).
∴sin α＝±eq \f(3,\r(13))＝±eq \f(3\r(13),13)，cs α＝±eq \f(2,\r(13))＝±eq \f(2\r(13),13)，tan α＝－eq \f(3,2).
3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝_____.
[解析] r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(16＋y2)，且sinθ＝－eq \f(2\r(5),5)，所以sinθ＝eq \f(y,r)＝eq \f(y,\r(16＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)，
所以θ为第四角限角，解得y＝－8.
4．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是
[解析] ∵tan600°＝eq \f(a,－4)＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝eq \r(3)，∴a＝－4eq \r(3).
5．有一个扇形的弧长为eq \f(π,2)，面积为eq \f(π,4)，则该弧所对弦长为
[解析]设扇形的半径为R，由扇形的面积S＝eq \f(π,4)，得S＝eq \f(π,4)＝eq \f(1,2)×eq \f(π,2)R，得R＝1，
则扇形的圆心角α＝eq \f(l,R)＝eq \f(\f(π,2),1)＝eq \f(π,2)，则弧所对弦长为eq \r(2)R＝eq \r(2)
考点二 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用
1．若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－eq \f(\r(5),3)，则sin(－5π＋α)＝
[解析]因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－eq \f(\r(5),3)，所以sin α＝eq \f(\r(5),3)，所以sin(－5π＋α)＝sin(－π＋α)＝－sin α＝－eq \f(\r(5),3)
2．已知eq \f(1－cs x＋sin x,1＋cs x＋sin x)＝－2，则tan x的值为
[解析]已知等式变形得1－cs x＋sin x＝－2－2cs x－2sin x，整理得3sin x＋cs x＝－3，
即cs x＝－3sin x－3，代入sin2x＋cs2x＝1中，得sin2x＋(－3sin x－3)2＝1，整理得5sin2x＋9sin x＋4＝0，即(sin x＋1)·(5sin x＋4)＝0，解得sin x＝－1或sin x＝－eq \f(4,5).当sin x＝－1时，cs x＝0,1＋cs x＋sin x＝0，
分母为0，不合题意，则sin x＝－eq \f(4,5)，所以cs x＝－eq \f(3,5)，因此tan x＝eq \f(4,3)
3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，
且cs α＝eq \f(\r(30),6)，则|a－b|＝
[解析] 依题意得：tan α＝eq \f(a,1)＝a，且tan α＝eq \f(b,2)，因此|a－b|＝|tan α|.
由cs α＝eq \f(\r(30),6)得sin2α＝1－eq \f(5,6)＝eq \f(1,6)，因此|tan α|＝eq \f(\r(5),5)，所以|a－b|＝eq \f(\r(5),5).
4．已知tan α＝－eq \r(3)，eq \f(π,2)＜α＜π，则sin α－cs α＝
[解析]由tan α＝－eq \r(3)得cs2α＝eq \f(1,1＋tan2α)＝eq \f(1,4)，又eq \f(π,2)＜α＜π，所以cs α＝－eq \f(1,2)，
因此sin α＝tan α·cs α＝eq \f(\r(3),2)，∴sin α－cs α＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)
5．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则eq \f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2cs－π＋α)的值为
[解析]依题意得tan α＝eq \f(y,x)＝3，则eq \f(sinπ－α－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2cs－π＋α)＝eq \f(sin α－cs α,－sin α－2cs α)＝eq \f(tan α－1,－tan α－2)＝eq \f(3－1,－3－2)＝－eq \f(2,5).
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则csα＝
[解析]由tanα＝eq \f(sinα,csα)＝2，sin2α＋cs2α＝1，联立得cs2α＝eq \f(1,5)，由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))知csα<0，所以csα＝－eq \f(\r(5),5).
7．已知eq \f(3sin（π＋α）＋cs（－α）,4sin（－α）－cs（9π＋α）)＝2，则tan α＝
[解析]由已知得eq \f(－3sin α＋cs α,－4sin α＋cs α)＝2，则5sin α＝cs α，所以tan α＝eq \f(1,5).
8．已知sin(－π＋θ)＋2cs(3π－θ)＝0，则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝________.
[解析]由已知得－sin θ－2cs θ＝0，故tan θ＝－2，则eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(tan θ＋1,tan θ－1)＝eq \f(－2＋1,－2－1)＝eq \f(1,3).
9．已知tanα＝－eq \f(4,3)，求下列各式的值：
(1)eq \f(2csα＋3sinα,3csα＋sinα)；(2)2sin2α＋sinαcsα－3cs2α.
[解析] (1)∵tanα＝－eq \f(4,3)，∴eq \f(2csα＋3sinα,3csα＋sinα)＝eq \f(2＋3tanα,3＋tanα)＝eq \f(2＋3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))),3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))))＝－eq \f(6,5).
(2)2sin2α＋sinαcsα－3cs2α＝eq \f(2sin2α＋sinαcsα－3cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan2α＋tanα－3,tan2α＋1)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))－3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))2＋1)＝－eq \f(7,25).
10．已知2cs2α＋3csαsinα－3sin2α＝1，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π)).求：
(1)tanα；(2)eq \f(2sinα－3csα,4sinα－9csα).
[解析] (1)2cs2α＋3csαsinα－3sin2α＝eq \f(2cs2α＋3csαsinα－3sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)，
则eq \f(2＋3tanα－3tan2α,1＋tan2α)＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0.解得tanα＝－eq \f(1,4)或tanα＝1.
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,2)，－π))，∴α为第二象限角，∴tanα<0，∴tanα＝－eq \f(1,4).
(2)原式＝eq \f(\f(2sinα,csα)－\f(3csα,csα),\f(4sinα,csα)－\f(9csα,csα))＝eq \f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq \f(－2×\f(1,4)－3,－4×\f(1,4)－9)＝eq \f(7,20).
11．已知tanα＝－eq \f(3,4).
(1)求2＋sinαcsα－cs2α的值；
(2)求eq \f(sin4π－αcs3π＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)π－α)),csπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)π＋α)))的值．
[解析] (1)2＋sinαcsα－cs2α＝eq \f(2sin2α＋cs2α＋sinαcsα－cs2α,sin2α＋cs2α)
＝eq \f(2sin2α＋sinαcsα＋cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan2α＋tanα＋1,1＋tan2α)，
把tanα＝－eq \f(3,4)代入，得原式＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＋1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2)＝eq \f(\f(9,8)－\f(3,4)＋1,1＋\f(9,16))＝eq \f(22,25).
(2)原式＝eq \f(－sinα－csα－sinαcs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),－csαsinπ－α[－sinπ＋α]sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))))＝eq \f(－sin2αcsα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),－csαsinα[－－sinα]sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))
＝eq \f(sin2αcsαsinα,－csαsin2αcsα)＝－eq \f(sinα,csα)＝－tanα，
把tanα＝－eq \f(3,4)代入，得原式＝eq \f(3,4).
12．已知f(α)＝eq \f(sin2π－α·cs2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α
[解析] (1)f(α)＝eq \f(sin2α·csα·tanα,－sinα－tanα)＝sinα·csα.
(2)由f(α)＝sinα·csα＝eq \f(1,8)可知，(csα－sinα)2＝cs2α－2sinα·csα＋sin2α＝1－2sinα·csα＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，
又∵eq \f(π,4)<α
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))
＝cseq \f(π,4)·sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).
13．已知－eq \f(π,2)
所以(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25).又因为－eq \f(π,2)
14．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcsθ－2cs2θ等于
[解析]sin2θ＋sinθcsθ－2cs2θ＝eq \f(sin2θ＋sinθcsθ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，
又tanθ＝2，故原式＝eq \f(4＋2－2,4＋1)＝eq \f(4,5).
15．若sinθ＝eq \f(\r(3),3)，则eq \f(csπ－θ,csθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))的值为________．
[解析]原式＝eq \f(－csθ,csθ－csθ－1)＋eq \f(csθ,－csθ·csθ＋csθ)＝eq \f(1,1＋csθ)＋eq \f(1,1－csθ)＝eq \f(2,1－csθ·1＋csθ)
＝eq \f(2,sin2θ)＝eq \f(2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2)＝6.
16. 已知cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，且角α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)eq \f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cs（α＋2nπ）)(n∈Z)．
[解析]因为cs(π＋α)＝－eq \f(1,2)，所以－cs α＝－eq \f(1,2)，cs α＝eq \f(1,2).又角α在第四象限，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(\r(3),2).
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝eq \f(\r(3),2).
(2)eq \f(sin[α＋（2n＋1）π]＋sin（π＋α）,sin（π－α）cs（α＋2nπ）)＝eq \f(sin（α＋2nπ＋π）－sin α,sin αcs α)＝eq \f(sin（π＋α）－sin α,sin αcs α)＝eq \f(－2sin α,sin αcs α)
＝－eq \f(2,cs α)＝－4.
考点三 三角恒等变换的综合应用
1．化简eq \r(1－2sinπ＋4csπ＋4)等于( )
A．sin4－cs4 B．cs4－sin4
C．－sin4－cs4 D．sin4＋cs4
[解析]原式＝eq \r(1－2sin4cs4)＝eq \r(sin4－cs42)＝|sin4－cs4|，因为eq \f(5,4)π<4
所以|sin4－cs4|＝cs4－sin4.故选B.
2．2sin215°－1的值是
[解析] 原式＝－(1－2sin215°)＝－cs30°＝－eq \f(\r(3),2).
3．若sin2α＝eq \f(1,4)，eq \f(π,4)<α
[解析] 由α为锐角，csα＝eq \f(\r(5),5)，∴sinα＝eq \f(2\r(5),5)，故tanα＝2，tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(4,1－4)＝－eq \f(4,3)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2α))＝eq \f(tan\f(π,4)＋tan2α,1－tan\f(π,4)tan2α)＝eq \f(1－\f(4,3),1＋\f(4,3))＝－eq \f(1,7)
5．在eq \r(3)sinx＋csx＝2a－3中，a的取值范围是
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(1,2)))
[解析] eq \r(3)sinx＋csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))∈[－2,2]，所以－2≤2a－3≤2，解得eq \f(1,2)≤a≤eq \f(5,2).
6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值．
[解析]因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5).
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sineq \f(π,4)cs α＋cs eq \f(π,4)·sin α＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
7．在△ABC中，3sin A＋4cs B＝6，4sin B＋3cs A＝1，则C的大小为________．
[解析]两式左右两边分别平方相加，得sin(A＋B)＝eq \f(1,2)，则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝eq \f(1,2)，
所以C＝eq \f(π,6)或C＝eq \f(5π,6).又3sin A＝6－4cs B>2，得sin A>eq \f(2,3)>eq \f(1,2)，所以A>eq \f(π,6)，所以C
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] 在△ABC中，taneq \f(A＋B,2)＝sinC＝sin(A＋B)＝2sineq \f(A＋B,2)cseq \f(A＋B,2)，
所以2cs2eq \f(A＋B,2)＝1，所以cs(A＋B)＝0，从而A＋B＝eq \f(π,2)，即△ABC为直角三角形．故选C.
9．已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为
[解析] sinα＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，则csα＝eq \f(2\r(5),5)，tanα＝eq \f(1,2)，
所以tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.又因为α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＋β＝eq \f(3π,4).
10．已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，csβ＋csγ＝csα，则β－α的值为________．
[解析] 由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，csγ＝csα－csβ.
两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(csα－csβ)2＝1.
所以－2cs(β－α)＝－1，所以cs(β－α)＝eq \f(1,2)，所以β－α＝±eq \f(π,3).因为sinγ＝sinβ－sinα>0，所以β>α，
所以β－α＝eq \f(π,3).
11．求值：eq \f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cs20°,cs80°\r(1－cs20°)).
[解析]∵sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)＝sin50°eq \f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°)＝sin50°eq \f(2sin40°,cs10°)＝1，
cs80°eq \r(1－cs20°)＝sin10°eq \r(2sin210°)＝eq \r(2)sin210°，
∴eq \f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cs20°,cs80°\r(1－cs20°))＝eq \f(1－cs20°,\r(2)sin210°)＝eq \r(2).
12．化简：eq \f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cs10°)).
[解析]原式＝eq \f(2sin50°＋sin80°1＋\r(3)tan10°,\r(1＋cs10°))＝eq \f(2sin50°＋cs10°×\f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°),\r(2cs25°))
＝eq \f(2sin50°＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(2)|cs5°|)＝eq \f(2sin50°＋2sin30°＋10°,\r(2)cs5°)
＝eq \f(2[sin45°＋5°＋sin45°－5°],\r(2)cs5°)＝eq \f(2sin45°cs5°＋cs45°sin5°＋sin45°cs5°－cs45°sin5°,\r(2)cs5°)
＝eq \f(4sin45°cs5°,\r(2)cs5°)＝2.
13．求证：sinθ(1＋tanθ)＋csθeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,tanθ)))＝eq \f(1,sinθ)＋eq \f(1,csθ).
[解析]左边＝sinθeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sinθ,csθ)))＋csθeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(csθ,sinθ)))＝sinθ＋eq \f(sin2θ,csθ)＋csθ＋eq \f(cs2θ,sinθ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinθ＋\f(cs2θ,sinθ)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2θ,csθ)＋csθ))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2θ＋cs2θ,sinθ)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2θ＋cs2θ,csθ)))＝eq \f(1,sinθ)＋eq \f(1,csθ)＝右边．
14．求证：eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csαtanα,1＋csα)＝1.
[解析] eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csαtanα,1＋csα)＝eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(csα·\f(sinα,csα),1＋csα)＝eq \f(sinα,1－csα)·eq \f(sinα,1＋csα)＝eq \f(sin2α,1－cs2α)＝eq \f(sin2α,sin2α)＝1.
15．求证：eq \f(1＋2sinαcsα,cs2α－sin2α)＝eq \f(1＋tanα,1－tanα).
[解析]左边＝eq \f(sin2α＋cs2α＋2sinαcsα,cs2α－sin2α)＝eq \f(sinα＋csα2,csα＋sinαcsα－sinα)＝eq \f(sinα＋csα,csα－sinα)＝eq \f(tanα＋1,1－tanα)＝右边．
∴等式成立．
16．求证：tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝eq \f(23＋cs4x,1－cs4x).
[解析]证法一：左边＝eq \f(sin2x,cs2x)＋eq \f(cs2x,sin2x)＝eq \f(sin4x＋cs4x,sin2xcs2x)＝eq \f(sin2x＋cs2x2－2sin2xcs2x,\f(1,4)sin22x)＝eq \f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,4)sin22x)
＝eq \f(1－\f(1,2)sin22x,\f(1,8)1－cs4x)＝eq \f(8－4sin22x,1－cs4x)＝eq \f(4＋4cs22x,1－cs4x)＝eq \f(4＋21＋cs4x,1－cs4x)＝eq \f(23＋cs4x,1－cs4x)＝右边．原式得证．
证法二：右边＝eq \f(22＋1＋cs4x,2sin22x)＝eq \f(22＋2cs22x,2sin22x)＝eq \f(21＋cs22x,4sin2xcs2x)
＝eq \f(sin2x＋cs2x2＋cs2x－sin2x2,2sin2xcs2x)＝eq \f(2sin4x＋cs4x,2sin2xcs2x)＝tan2x＋eq \f(1,tan2x)＝左边．原式得证．
17．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
[解析]∵tan2α＝2tan2β＋1，∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)．∴eq \f(sin2α＋cs2α,cs2α)＝2·eq \f(sin2β＋cs2β,cs2β).
∴eq \f(1,cs2α)＝eq \f(2,cs2β).∴cs2β＝2cs2α.∴1－sin2β＝2(1－sin2α)．∴sin2β＝2sin2α－1.
18．已知tanα＝4eq \r(3)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，α，β均为锐角，求csβ的值．
[解析]因为α，β均为锐角，所以0<α＋β<π，又cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，所以eq \f(π,2)<α＋β<π，
且sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14).因为tanα＝4eq \r(3)，所以sinα＝eq \f(4\r(3),7)，csα＝eq \f(1,7).
所以csβ＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)csα＋sin(α＋β)sinα＝eq \f(1,2).
19．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(2\r(7),7)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(1,2)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求：
(1)cseq \f(α＋β,2)；(2)tan(α＋β)．
[解析] (1)∵eq \f(π,2)<α<π，0<β
∴cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))
＝－eq \f(2\r(7),7)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(21),7)×eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(21),14).
(2)∵eq \f(π,4)
20．已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．
[解析] (1)因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(9,25)，因此，cs 2α＝2cs2 α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(2\r(5),5)，因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝－eq \f(24,7)，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tan（α＋β）,1＋tan 2αtan（α＋β）)＝－eq \f(2,11).
21．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的单调性．
[解析] (1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))sin x－eq \r(3)cs2x＝cs xsin x－eq \f(\r(3),2)(1＋cs 2x)
＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x－eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为eq \f(2－\r(3),2).
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，0≤2x－eq \f(π,3)≤π，从而当0≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)，即eq \f(π,6)≤x≤eq \f(5π,12)时，f(x)单调递增，
当eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤π，即eq \f(5π,12)≤x≤eq \f(2π,3)时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上单调递增；在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上单调递减．
22．已知函数f(x)＝4tan xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3).
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的单调性．
[解析] (1)f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).
f(x)＝4tan xcs xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)＝4sin xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)＝4sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))－eq \r(3)
＝2sin xcs x＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)＝sin 2x＋eq \r(3)(1－cs 2x)－eq \r(3)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)令z＝2x－eq \f(π,3)，则函数y＝2sin z的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z.
由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z.设A＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ≤x≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z))))，易知A∩B＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4))).
所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上单调递减．
23．已知函数f(x)＝eq \f(sin x－cs xsin 2x,sin x).
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
[解析] (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝eq \f(sin x－cs xsin 2x,sin x)＝2cs x(sin x－cs x)＝sin 2x－cs 2x－1＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))－1，
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递减区间为2kπ＋eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)．
由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(7π,8)(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8)))(k∈Z)．
24．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sinxcsx＋2cs2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
[解析] (1)由f(x)＝2eq \r(3)sinxcsx＋2cs2x－1，
得f(x)＝eq \r(3)(2sinxcsx)＋(2cs2x－1)＝eq \r(3)sin2x＋cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
∴函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z.
(2)∵f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))上为增函数，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上为减函数，又f(0)＝1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－1，∴函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值为2，最小值为－1.
25．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，且－eq \f(π,4)<α
∴cs[2(α－β)]＝2cs2(α－β)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,65)))2－1＝－eq \f(3713,4225).
考点四 三角函数的图象与性质
1．函数y＝eq \r(16－x2)＋eq \r(sinx)的定义域为______________．
[解析] 依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－x2≥0，,sinx≥0.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4≤x≤4，,2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.))
如图，可得函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．
2．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是__________________．
[解析] 任取x<0，则－x>0，∴f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，又f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝－sinx，故有f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，x≥0,－sinx，x<0))
3．对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
[解析]因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故f(x)的图象关于原点对称，选B.
4．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是
[解析] y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(3,2)π＋2kπ(k∈Z)，
可得eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(5,6)π＋kπ(k∈Z)，∵x∈[0，π]，∴单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))).
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝
[解析]∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝Asinφ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，∴k＝0，φ＝0；
又g(x)＝Asineq \f(1,2)ωx，∴T＝eq \f(2π,\f(1,2)ω)＝2π，∴ω＝2，又geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，∴A＝2，∴f(x)＝2sin2x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝eq \r(2).
6．在△ABC中，C>eq \f(π,2)，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )
A．f(csA)>f(csB) B．f(sinA)>f(sinB) C．f(sinA)>f(csB) D．f(sinA)
7．已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，当φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，φ的值为________．
[解析]由已知得eq \f(π,4)＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－eq \f(π,4)(k∈Z)．又∵φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴当k＝0时，φ＝－eq \f(π,4)符合条件．
8．若函数f(x)＝sinx＋acsx的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，则a＝________.
[解析] ∵f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，∴f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，即a＝sineq \f(π,3)＋acseq \f(π,3)，∴a＝eq \r(3).
9．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2，其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
[解析] 画出函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的图象(如下图)，由图象可得①④正确．
10．给出下列4个命题：①函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期是eq \f(π,2)；②直线x＝eq \f(7π,12)是函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))的一条对称轴；③若sinα＋csα＝－eq \f(1,5)，且α为第二象限角，则tanα＝－eq \f(3,4)；④函数y＝cs(2－3x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3))上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．
[解析]函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))的最小正周期是π，则y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期为eq \f(π,2)，故①正确．
对于②，当x＝eq \f(7π,12)时，2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(7π,12)－\f(π,4)))＝2sineq \f(3π,2)＝－2，故②正确．
对于③，由(sinα＋csα)2＝eq \f(1,25)得2sinαcsα＝－eq \f(24,25)，α为第二象限角，所以sinα－csα＝eq \r(1－2sinαcsα)＝eq \f(7,5)，
所以sinα＝eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，所以tanα＝－eq \f(3,4)，故③正确．
对于④，函数y＝cs(2－3x)的最小正周期为eq \f(2π,3)，而区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3))长度eq \f(7,3)>eq \f(2π,3)，显然④错误．
[答案] ①②③
11．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,2)))(x∈R)，下列说法错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期是π B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))中心对称 D．函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数
[解析]因为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝cs 2x，所以函数f(x)是偶函数，且最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝π，
故A，B正确；由2x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)(k∈Z)，当k＝0时，x＝eq \f(π,4)，所以函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))中心对称，故C正确；当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(3,2)π∈[－eq \f(3,2)π，－eq \f(π,2)]，所以函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数，故D不正确．故选D.
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为
[解析] 因为x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为f(x)的图象的对称轴，所以eq \f(π,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝eq \f(T,4)＋kT，
即eq \f(π,2)＝eq \f(4k＋1,4)·T＝eq \f(4k＋1,4)·eq \f(2π,ω)，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，
所以eq \f(5π,36)－eq \f(π,18)＝eq \f(π,12)≤eq \f(T,2)＝eq \f(2π,2ω)，即ω≤12，由此得ω的最大值为9
13．对于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，sinx≥csx，,csx，sinx
B．当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π
当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z时，
函数取得最小值－eq \f(\r(2),2)；当且仅当2kπ＋π
[解析]x∈[－π，π]故排除B，D，当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))时，csx<0，f(x)＝eq \f(sinx,－csx)＝－tanx，故选C.
15．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为2π，且满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx，－π≤x<0，,sinx，0≤x<π，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝________.
[解析]∵T＝2π，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,4)π＋2π×2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝cs(－eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2).
16．已知f(x)＝sin2x＋csx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，则f(x)的值域为________．
[解析]f(x)＝1－cs2x＋csx＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4).∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴csx∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，∴f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(5,4))).
17．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是
[解析]因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，所以θ＝eq \f(π,2)，f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝3cs 2x，
令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－eq \f(π,2)≤x≤kπ，可得函数f(x)的增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))，k∈Z，
所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
18．函数f(x)＝eq \f(sinx1－sinx,1－sinx)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又偶函数 D．非奇非偶函数
[解析]由题意，知sinx≠1，即f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，此函数的定义域不关于原点对称．
∴f(x)是非奇非偶函数．[答案] D
19．求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))的值域．
[解析]令t＝sinx，y＝f(x)，∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))，∴eq \f(1,2)≤sinx≤1，即eq \f(1,2)≤t≤1.
∴y＝2t2＋2t－eq \f(1,2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－1，∴1≤y≤eq \f(7,2)，∴函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(7,2))).
20．已知|x|≤eq \f(π,4)，求函数y＝－sin2x＋sinx＋1的最小值．
[解析]令t＝sinx，因为|x|≤eq \f(π,4)，所以－eq \f(\r(2),2)≤sinx≤eq \f(\r(2),2)，即t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，
则y＝－t2＋t＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).
根据二次函数的性质可得当t＝－eq \f(\r(2),2)，即x＝－eq \f(π,4)时，y有最小值，为－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)－\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)＝eq \f(1－\r(2),2).
21．函数f(x)＝lgeq \f(1,2)csx的单调递增区间是___________．
[解析]由csx>0得－eq \f(π,2)＋2kπ
即2kπ≤x
A．y＝sin4x B．y＝cs2x C．y＝taneq \f(x,2) D．y＝sineq \f(x,2)
[解析] D中：T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，故选D.
23．已知函数f(x)＝lgacseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))(其中a>0，且a≠1)．
(1)求它的定义域；
(2)求它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．
[解析] (1)由题意知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))>0，∴2kπ－eq \f(π,2)<2x－eq \f(π,3)<2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即kπ－eq \f(π,12)
(2)在定义域范围内求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调区间．
函数u＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)上单调递减，
∴当a>1时，f(x)的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)，单调减区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)；
当0
(4)函数f(x)是周期函数，∵f(x＋π)＝lgacseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π－\f(π,3)))＝lgacseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为T＝π.
24．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(其中a为常数)．
①求f(x)的单调区间；
②若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为4，求a的值．
[解析]①由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)，由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))(k∈Z)．
②∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.
26．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．
[解析]列表如下：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
(1)由图象可知图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，
所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1
27．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )
A．A＝3，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(π,6) B．A＝3，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(3π,4)
C．A＝1，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(π,6) D．A＝1，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(3π,4)
[解析]由题图知函数的最大值为A＋2＝3，则A＝1，函数的周期T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－\f(π,6)))＝eq \f(4π,3)＝eq \f(2π,ω)，
则ω＝eq \f(3,2)，则y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋φ))＋2，则当x＝eq \f(5π,6)时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)×\f(3,2)＋φ))＋2＝3，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)＋φ))＝1，
即eq \f(5π,4)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，则φ＝－eq \f(3π,4)＋2kπ，因为|φ|<π，所以当k＝0时，φ＝－eq \f(3π,4)，
故A＝1，T＝eq \f(4π,3)，φ＝－eq \f(3π,4).
28．函数f(x)＝1－2a－2acsx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝eq \f(1,2)，求a及此时f(x)的最大值．
[解析] (1)∵f(x)＝2cs2x－2acsx－2a－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx－\f(a,2)))2－eq \f(a2,2)－2a－1，且csx∈[－1,1]．
当eq \f(a,2)<－1时，则a<－2时，g(a)＝1；
当－1≤eq \f(a,2)≤1，即－2≤a≤2时，g(a)＝－eq \f(a2,2)－2a－1；
当eq \f(a,2)>1，即a>2时，g(a)＝－4a＋1.
∴g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a<－2，,－\f(a2,2)－2a－1，－2≤a≤2，,－4a＋1，a>2.))
(2)g(a)＝eq \f(1,2)，则a＝－1.∴f(x)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)，∴f(x)max＝5.
29．在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2)).
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))时，求f(x)的值域．
[解析] (1)由最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，得eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，即T＝π，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2.由点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))在图象上，得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，
故eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，∴φ＝2kπ－eq \f(11π,6)(k∈Z)．又φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq \f(π,6)，故f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
(2)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))，∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,6)))，
当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值2；当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6)，即x＝eq \f(π,2)时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．
30．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－eq \r(3)，2]，求实数m的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝f(x)min＝－2，此时2x－eq \f(π,3)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，即x＝kπ－eq \f(π,12)，k∈Z，
即此时自变量x的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,12)，k∈Z)))).
(2)把函数y＝sinx的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象；再把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,2)，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象；最后再把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．
(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥eq \f(5π,12).
又函数y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(11π,12)))上是减函数，故m的最大值为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(11π,12)))内使函数值为－eq \r(3)的值，
令2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝－eq \r(3)，得x＝eq \f(5π,6)，所以m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(5π,6))).
考点五 三角函数的图象变换问题
1．已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2
[解析]因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，所以曲线C1：y＝cs x上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cs 2x，再把得到的曲线y＝cs 2x向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C．0 D．－eq \f(π,4)
[解析]y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,8)个单位后得y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8)))＋φ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋φ)).若该函数为偶函数，则eq \f(π,4)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，故φ＝kπ＋eq \f(π,4).当k＝0时φ＝eq \f(π,4).故选B.
3．将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
[解析]函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的周期为π，将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期即eq \f(π,4)个单位长度，
所得图象对应的函数为y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，故选D.
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ
(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式．
[解析] (1)由题可知T＝eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.又f(x)min＝－2，所以A＝2.由f(x)的最低点为M，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1.因为0<φ
(2)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(横坐标伸长到原来),\s\d5(的2倍（纵坐标不变）))y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2x＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))eq \(――→,\s\up7(沿x轴向右),\s\d5(平移\f(π,6)个单位))y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝2sin x，所以g(x)＝2sin x.
5．如图，是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的一段图象．
(1)求此函数的解析式；
(2)分析一下该函数的图象是如何通过y＝sinx的图象变换得来的？
[解析] (1)由图象知A＝eq \f(－\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))),2)＝eq \f(1,2)，k＝eq \f(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))),2)＝－1，T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.
∴y＝eq \f(1,2)sin(2x＋φ)－1.当x＝eq \f(π,6)时，2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).
∴所求函数的解析式为y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1.
(2)把y＝sinx的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的eq \f(1,2)，得到y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象，最后把函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向下平移1个单位长度，得到y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－1的图象．
考点六 三角函数的应用
1．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜θ＜\f(π,2))).
(1)将线段AB的长度l表示为θ的函数；
(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)
[解析] (1)由题意可知：l＝eq \f(2,sin θ)＋eq \f(2,cs θ)＝eq \f(2sin θ＋cs θ,sin θ·cs θ)，其中0＜θ＜eq \f(π,2).
(2)l＝eq \f(2sin θ＋cs θ,sin θ·cs θ)，设t＝sin θ＋cs θ＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，因为0＜θ＜eq \f(π,2)，所以eq \f(π,4)＜θ＋eq \f(π,4)＜eq \f(3π,4)，
所以t∈(1，eq \r(2)]，所以l＝eq \f(4t,t2－1)＝eq \f(4,t－\f(1,t)).因为t－eq \f(1,t)在(1，eq \r(2)]上是增函数，
所以t－eq \f(1,t)的最大值为eq \f(\r(2),2)，所以l＝eq \f(4,t－\f(1,t))的最小值为4eq \r(2).因为4eq \r(2)＞5，
所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊．
2．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝eq \f(π,3)，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
[解析]连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为点H，
在Rt△AOH中，OH＝cs α，AH＝sin α，所以BH＝eq \f(AH,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)sin α，所以OB＝OH－BH＝cs α－eq \f(\r(3),3)sin α，设平行四边形ABOC的面积为S，则S＝OB·AH＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α－\f(\r(3),3)sin α))·sin α＝sin αcs α－eq \f(\r(3),3)sin2α＝eq \f(1,2)sin 2α－eq \f(\r(3),6)(1－cs 2α)＝eq \f(1,2)sin 2α＋eq \f(\r(3),6)cs 2α－eq \f(\r(3),6)＝eq \f(1,\r(3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2α＋\f(1,2)cs 2α))－eq \f(\r(3),6)＝eq \f(1,\r(3))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,6)))－eq \f(\r(3),6).
由于0＜α＜eq \f(π,3)，所以eq \f(π,6)＜2α＋eq \f(π,6)＜eq \f(5,6)π，
当2α＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,6)时，Smax＝eq \f(1,\r(3))－eq \f(\r(3),6)＝eq \f(\r(3),6)，
所以当A是eq \x\t(PQ)的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为eq \f(\r(3),6)平方米．
x
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
sinx
0
－1
0
1
0
1－2sinx
1
3
1
－1
1
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