高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第四课时一元二次不等式(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第四课时一元二次不等式(原卷版+解析)，共34页。

【回归教材】
1、一元二次不等式
2、分式不等式
（1） （2）
（3） （4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
4、一元二次不等式恒成立问题
恒成立的充要条件是：且或且．
【典例讲练】
题型一 一元二次不等式及其解法
【例1-1】求下列不等式的解集．
(1)； (2)
【例1-2】解下列关于x的不等式
(1)； (2)； (3)；
归纳总结：
【练习1-1】解下列不等式：
(1)； (2). (3)
【练习1-2】解关于x的不等式．
题型二 分式、绝对值、高次不等式及其解法
【例2-1】不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
【例2-2】解下列不等式：
（1）＜0； （2）(x＋2)2(x－1)3(x＋1)(x－2)＜0.
【例2-3】不等式的解集是____.
【例2-4】不等式的解集是_______．
归纳总结：
【练习2-1】不等式的解集为___________.
【练习2-2】不等式的解集为___________.
【练习2-3】写出下列不等式的解集．
（1）：_____________； （2）：_____________；
（3）：_____________； （4）：_____________．
题型三 三个二次之间的关系
【例3-1】关于实数x的不等式的解集是或，则关于x的不等式的解集是________．
【例3-2】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
归纳总结：
【练习3-1】若关于的不等式的解集为或，求，的值.
【练习3-2】已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型四 不等式恒（能）成立问题
【例4-1】根据已知条件，求参数的取值范围.
(1)已知函数的定义域为，求的取值范围；
(2)已知函数.若对于，恒成立，求实数的取值范围.
【例4-2】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【练习4-1】已知不等式．
(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求实数x的取值范围．
【请完成课时作业（四）】
【课时作业（四）】
A组 基础题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
3．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(-1，0)
6．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（多选题)如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（ ）
A．B．0C．1D．2
9．（多选题)若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．关于的不等式解集为
D．关于的不等式解集为
10．当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________．
11．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ．
12．已知函数，.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若对，不等式都成立，求实数的取值范围.
13．已知函数，的解集为或，
(1)求a､b的值； (2)若对一切，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
B组 能力提升能
1．若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题)已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数，又.
(1)求函数在上的最小值；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
判别式
的图象
一元二次方程的根
有两相异实根
有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式的解集



一元二次不等式的解集



第 4 课时 一元二次不等式及其解法
编写：廖云波
【回归教材】
1、一元二次不等式
2、分式不等式
（1） （2）
（3） （4）
3、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
4、一元二次不等式恒成立问题
恒成立的充要条件是：且或且．
【典例讲练】
题型一 一元二次不等式及其解法
【例1-1】求下列不等式的解集．
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先将二次项系数化正，再因式分解求解即可；
（2）先去括号，再因式分解求解即可
(1)
即，故，解得，故的解集为
(2)
即，即，即，解得或，故解集为
【例1-2】解下列关于x的不等式
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）首先因式分解，即可求出不等式的解集；
（2）对根的判定式分两种情况，当时求出所对应的方程的根，即可求出不等式的解集；
（3）首先因式分解，再对分三种情况讨论，即可求出所对应的不等式的解集；
(1)
解：因为，即，
所以，解得
∴原不等式的解集为.
(2)
解：因为，
若，即，解得或，
当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为；
当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为；
当，即，解得时，所以原不等式的解集为；
当，即，解得或时，方程有两不相等实数根、，由，解得或，所以原不等式的解集为；
(3)
解：因为，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
归纳总结：
【练习1-1】解下列不等式：
(1)；
(2).
(3)
【答案】(1)或
(2)
(3)答案见解析
【解析】
(1)因为，
所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.
所以原不等式的解集为或.
(2)因为，
所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝
所以原不等式的解集为.
(3)解：即，
则对应方程的根为，
①当或时，原不等式的解集为，
②当或时，原不等式的解集为，
③当时，原不等式的解集为.
【练习1-2】解关于x的不等式．
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
分，，三种情况进行讨论，在时直接求解范围，在与时判断的正负，有根的情况下判断根的大小，即可的解.
【详解】
解：（1）当时，原不等式，解得，
不等式解集为；
（2）当时，，
开口向上，由图象得：
若时，，
的两个零点为，，
不等式的解集为；
若时，，不等式解集为；
（3）当时，，
的两个零点为，
开口向下，
由图象得不等式解集为；
综上可知，当时不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
题型二 分式、绝对值、高次不等式及其解法
【例2-1】不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
将分式不等式等价转化为整式不等式，求解即可.
【详解】
原不等式变形为，即，且，解得，
∴原不等式的解集为.
故选：.
【例2-2】解下列不等式：
（1）＜0；
（2）(x＋2)2(x－1)3(x＋1)(x－2)＜0.
【答案】（1）(－∞， －2)∪(1, 2)；（2）{x|1＜x＜2或－2＜x＜－1或x＜－2}．
【解析】
【分析】
（1） 解法1：由原不等式等价于 或 求解；解法2：利用穿根法求解；
（2）由 原不等式等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0且x≠－2, x≠1，利用穿根法求解.
【详解】
（1） 解法1：原不等式等价于或 ，
解得1＜x＜2或x＜－2，
综上，所以原不等式的解集是{x|1＜x＜2或x＜－2}．
解法2：原不等式等价于(x＋2)(x－1)(x－2)＜0，
所以由穿根法可得原不等式的解集为(－∞， －2)∪(1, 2)．
（2） 原不等式等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0且x≠－2, x≠1，
所以由数轴标根法可得原不等式的解集为{x|1＜x＜2或－2＜x＜－1或x＜－2}．
【例2-3】不等式的解集是____.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据给定不等式，分段去绝对值符号求解作答.
【详解】
当时，，解得，则有，
当时，，解得，则有，
所以原不等式的解集是：或.
故答案为：或
【例2-4】不等式的解集是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据零点分段法讨论的范围，解各个区间上的不等式，最后取并集即可求出结果.
【详解】
当时，原不等式可化为，无解；
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式可化为，即恒成立．
综上，原不等式的解集为.
故答案为：.
归纳总结：
【练习2-1】不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先将分式不等式转化为，再解一元二次不等式即可.
【详解】
，解得，故解集为，
故答案为.
【练习2-2】不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将分式不等式移项通分分解因式化为，然后转化为整式不等式组，进而利用数轴标根法求解.
【详解】
等价于，即，即，又等价于，
利用数轴标根法解得或,
所以原不等式的解集为，
故答案为：
【练习2-3】写出下列不等式的解集．
（1）：_____________；
（2）：_____________；
（3）：_____________；
（4）：_____________．
【答案】 R
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式和绝对值不等式的解法求解即可.
【详解】
解：（1）因为，所以，所以不等式的解集为；
（2）由得或，即或，所以不等式的解集为；
（3）由得不等式的解析为R；
（4）由得，
又，所以，所以，解得，
所以不等式的解集为：，
故答案为：（1）；（2）；（3）R；（4）.
题型三 三个二次之间的关系
【例3-1】关于实数x的不等式的解集是或，则关于x的不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式的解集求得，然后再解一元二次不等式．
【详解】
因为关于实数x的不等式的解集是或，
所以，解得，
所以不等式为，即，或．
故答案为：．
【例3-2】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.
【详解】
由题意得，即，
所以即，解得．
故选：B
归纳总结：
【练习3-1】若关于的不等式的解集为或，求，的值.
【答案】，
【解析】
【分析】
由题意可得和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，解得即可
【详解】
因为关于的不等式的解集为或，
所以和为方程的两根，
所以，解得
【练习3-2】已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，且，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：C
题型四 不等式恒（能）成立问题
【例4-1】根据已知条件，求参数的取值范围.
(1)已知函数的定义域为，求的取值范围；
(2)已知函数.若对于，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)的取值范围为；
(2)实数的取值范围为.
【解析】
【分析】
由条件可得恒成立，由此可求的取值范围；(2)由已知可得当时 ，再结合二次函数性质求的取值范围.
(1)
因为函数的定义域为，
所以恒成立，
所以或，
所以或，
所以，
所以的取值范围为.
(2)
由可得，
由已知对于恒成立，
所以当时，，
当时，函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以，由此可得；
当当时，函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以，由此可得；
当时，对于恒成立，
综上，，
所以实数的取值范围为.
【例4-2】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】
由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，
故 ，
故选：A
【例4-3】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将化为，将看成主元，令，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】
解：恒成立，
即，对任意得恒成立，
令，，
当时，，不符题意，故，
当时，函数在上递增，
则，
解得或（舍去），
当时，函数在上递减，
则，
解得或（舍去），
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
归纳总结：
【练习4-1】已知不等式．
(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求实数x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解集为全体实数的条件可得，，从而解出a的范围即可．
（2）化简整理为关于a的一次函数再分析．构造函数利用，解不等式组．
(1)
当时，不等式为，解得，显然不符合题意；
当时，由已知，得 即
解得,
综上，实数a的取值范围为
(2)
原不等式可化为，
设，
由题意，当， 恒成立，
所以 ，即 ,
解得，
所以实数x的取值范围为
【请完成课时作业（四）】
【课时作业（四）】
A组 基础题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解出集合中对应的不等式，然后可得答案.
【详解】
由可得，由可得，，即或，
所以，所以，
故选：C
2．不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用穿根法，求解不等式的解集即可.
【详解】
解：不等式，化为：，
由穿根法可知：不等式的解集为：或.
故选：A.
3．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
讨论和两种情况，即可求解.
【详解】
当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，
等价于．
综上，实数的取值范围为．
故选：B．
4．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
【详解】
不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．
故选：C
5．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．(0，1)C．D．(-1，0)
【答案】C
【解析】
【分析】
不等式 等价于 ，运用二次函数的性质求解即可.
【详解】
不等式 等价于，设 ，
显然a=0不符合题意，
若 ， ， 是开口向上，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，解集为 或 ，不符合题意；
若 ，则是开口向下，零点分别为1和 的抛物线，
对于 ，依题意解集为 ， ，即 ，
故选：C.
6．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求的最小值，根据不等式有解可得答案.
【详解】
，关于的不等式有解，等价于，.
故选：D.
7．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.
【详解】
，
因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，
所以即，
故选：A.
8．（多选题)如果关于的不等式的解集为，那么下列数值中，可取到的数为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据不等式的解集与对应二次函数的关系，求得的取值范围，即可根据选项进行选择.
【详解】
由题设知，对应的，
即，故，
所以数值中，可取到的数为1，2.
故选：.
9．（多选题)若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．关于的不等式解集为D．关于的不等式解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.
【详解】
因为不等式的解集为，
所以，故，此时，所以A正确, B正确；
，解得：或.所以D正确；C错误.
故选：ABD
10．当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
将不等边变形为，令，根据二次函数的性质，判断的值域，再由不等式有解，求解的取值范围.
【详解】
不等式有解即不等式有解，
令，当时，，
因为当时，不等式有解，所以，实数的取值范围是.
故答案为：
11．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】
【分析】
的解集为，则a＜0，且3是方程个根，由此求出a和b的关系，代入化简即能解得答案﹒
【详解】
因为关于x的不等式的解集为，所以，即且．
又，则，得，所以，解得或，即不等式的解集为﹒
12．已知函数，.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若对，不等式都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分， ，三种情况去绝对值再逐个求解即可；
（2）根据绝对值三角不等式可得，再解绝对值不等式即可
(1)
当时，，
则，
当时，，则无解，
当时，令，解得，则，
当时，，则恒成立，则，
综上所述，不等式的解集为.
(2)
因为对都成立，所以恒成立，
只需，
由绝对值三角不等式知，
所以，解得或.
故实数的取值范围为.
13．已知函数，的解集为或，
(1)求a､b的值；
(2)若对一切，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据解集确定的根为-2，b，即可求解a，b；
（2）根据一元二次不等式恒成立的处理方法求解m范围即可.
(1)
∵的解集为或
∴-2，b为方程的两个根
∴，
解得
(2)
由（1）可知，
∴不等式在R上恒成立，
等价于在R上恒成立，即，
∴
∴m的取值范围为
B组 能力提升能
1．若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为恒成立，则恒成立可转化为恒成立，则，即可解得的取值范围
【详解】
因为恒成立
所以恒成立
恒成立
恒成立
故
解之得：
故选：A
2．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.
【详解】
解：命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C
3．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据是奇函数求出，得到，判断出的单调性，再利用单调性和奇偶性可得恒成立，由可得答案.
【详解】
∵是奇函数，∴即恒成立，
即，
则，解得，又∵，∴，则，
所以，
，是奇函数，
因为在是单调递减函数，在是单调递增函数，由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减；由恒成立得，
可得恒成立，
则，即恒成立，
所以恒成立，解得.
故选：B.
4．（多选题)已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由韦达定理得根与系数的关系，对选项逐一判断
【详解】
，即的解集为，
可知，且，故A，D正确，
，故C错误，
由对称性可知，，故B正确，
故选：ABD
5．已知二次函数，又.
(1)求函数在上的最小值；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，是的两个根，利用韦达定理求出、，即可得到的解析式，再根据二次函数的性质计算可得；
（2）设，则，依题意可得对任意的恒成立，参变分离对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可；
(1)
解：二次函数，由，可得，是的两个根，
所以，解得，，所以，
因为，根据二次函数的性质，
可得函数在上单调递增，在上单调递减，
由对称性可知，
所以函数在上的最小值为.
(2)
解：设，因为，可得，
不等式对任意的恒成立，
即不等式对任意的恒成立，
即不等式对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
又由，当且仅当时，取等号，
所以，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
判别式
的图象
一元二次方程的根
有两相异实根
有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集