人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后作业题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后作业题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．长轴长为，焦点坐标为，的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
2．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为，P为直线上一点，若△PAB为直角三角形，且其中较小的锐角的正切值为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（ ）
A．0B．1C．2D．4
6．已知点分别为椭圆的左､右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知点分别是椭圆的左､右焦点，已知椭圆上的点到焦点的距离最大值为9，最小值为1.若点在此椭圆上，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
10．已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
11．过点的直线l与椭圆交于A，B两点，设线段AB中点为M，设直线l的斜率为，直线OM的斜率为，则的值为（ ）
A．B．－2C．D．2
12．已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，的面积为，则的值为（ ）
A．4B．3C．5D．6
二、多选题
13．对于曲线，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线不可能是椭圆
B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
14．点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为5B．
C．存在点，使D．的最大值为
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，为椭圆上一点，连接交轴于点，，，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．椭圆的长轴长为
C．若点Q在椭圆C上，则的最大值为
D．点P到x轴的距离为
17．椭圆:的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为
C．过点的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为
D．的最小值为
18．一般地，我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（ ）
A．若椭圆是黄金椭圆，则
B．在中，，，点在以，为焦点的黄金椭圆上，则的周长为
C．过黄金椭圆上的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于、两点，则
D．设､是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点不存在
三、填空题
19．已知椭圆的两焦点为，，离心率.则此椭圆的方程为______.
20．设，是椭圆的两个焦点，且焦距是4，过右焦点的直线交椭圆于A，B两点，若的周长是，则椭圆方程是__________.
21．若P是上的一点，是其焦点，若，则的面积为________．
22．已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，，经过点的一条直线与椭圆交于A，B两点.若直线AB的倾斜角为，则弦长AB为______.
23．已知椭圆左､右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且.则椭圆的离心率__________.
24．已知、分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线，且，垂足为Q点．若四边形为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
四、解答题
25．已知椭圆C：的离心率，上顶点为A，右顶点为B，△AOB（O为坐标原点）的面积为．
(1)求C的方程；
(2)过C的右焦点的直线l与C交于P，Q两点，若．求l的方程．
26．设是椭圆的两个焦点，点在椭圆上
(1)若线段MN的中点坐标为，求直线的斜率；
(2)是椭圆C上的点，且，求的面积.
27．在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)斜率为的直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点，求弦的长．
28．已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
29．已知椭圆（a＞b＞0）的上顶点E与其左、右焦点构成面积为1的直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆C于，两点，若，求直线l的方程．
30．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C，的内切圆的半径为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)点M为直线上任意一点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q．求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．
参考答案：
1．B
【分析】求解椭圆标准方程，找出，注意焦点所在的轴.
【详解】由题得椭圆焦点在轴上，且，所以，由焦点坐标为，
所以，所以 ，所以椭圆的标准方程为：，
故选：B
2．C
【分析】二次曲线表示椭圆的条件为.
【详解】变形为，要表示椭圆需要满足 ，解得.
故选：C.
3．A
【分析】由题可得，然后利用离心率公式即得.
【详解】由题可得，
∴，即椭圆为，
∴.
故选：A.
4．D
【分析】根据题意分析可得，结合，整理可求离心率.
【详解】设椭圆的右焦点为，则有，
由题意可得：，则，
即，则，即，
∴，解得.
故选：D.
5．C
【分析】根据面积公式可知当为上或下顶点时，面积取最大值，求出点坐标，由数量积公式即可求出结果．
【详解】根据对称性不妨设点， 因为所以
则面积为
当时，面积取最大值，此时，又
则，所以
故选：C．
6．B
【分析】设直线的倾斜角分别为、，，根据及差角正切公式、基本不等式可得，根据的最大值为求参数c，进而求参数a，即可得椭圆方程.
【详解】由题意，直线l为，
设直线的倾斜角分别为、，
由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，
则，且，
，当且仅当，即时取等号，
又的最大值为，得，从而，
故椭圆的标准方程为.
故选：B
7．C
【分析】设，则，利用勾股定理求出，再解方程即得解.
【详解】解：依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故选：C．
8．B
【分析】设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，从而有，由，可得，再根据椭圆的定义计算即可得解.
【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，
则四边形为矩形，
则，
所以，
在中，由，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
9．B
【分析】首先根据题干中的几何条件求出与的值，然后根据余弦定理求出，最后利用面积公式进行求解即可.
【详解】因为椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为.
所以，解得.
则
由余弦定理可知，
代入化简可得，
则.
故选：B.
10．C
【分析】由已知圆的圆心为椭圆的右焦点，由点与圆的位置关系可得，结合椭圆的定义求的最大值.
【详解】因为椭圆的方程为，所以椭圆的长半轴长，短半轴长，圆的圆心的坐标为，半径为1，由圆的几何性质可得，当且仅当为的延长线与圆的交点时等号成立，所以，由椭圆的定义可得．
所以，
故选：C.
11．A
【分析】假设出A，B两点坐标，代入椭圆方程，两式相减求出，已知M坐标求出，最后相乘即可得出答案.
【详解】设，，联立方程
两式相减得，所以，，.
故选:A
12．C
【分析】设，再根据椭圆定义得到焦点弦三角形三边，利用余弦定理和三角形面积公式，得到，再根据之间关系则求出值.
【详解】由题意设，，，，，
根据椭圆定义，
即，则，
，所以，
，
，
即，解得，
，，
故选：C.
13．CD
【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；
对于B选项，因为或，
所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；
对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
又因为，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对；
对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对.
故选：CD.
14．AC
【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.
【详解】设椭圆方程为，
设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，
则需，
，
即，，，
则，所以选项AC满足.
故选：AC.
15．BD
【分析】设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，，三点共线时，有最大值判断D.
【详解】解：对于A选项，设，则，即，
所以，
又，所以当时，，故A错误，
对于B选项，由椭圆定义，，故B正确
对于C选项，当为短轴端点时，
，，，故，进而，故C错误，
对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确.
故选：BD
16．ACD
【分析】对于A选项，由可得，从而有；对于B选项，再由椭圆的定义结合勾股定理解关于的方程，解得；对于C选项，可由椭圆的性质得；对于D选项，设在轴上的投影为，得到，结合勾股定理，进而求解即可.
【详解】对于A选项，由题意得，，，因为，所以，则，故，A选项正确；
对于B选项，，所以，，在中，，解得，所以椭圆的长轴长为，故B选项错误；
对于C选项，因为在椭圆上，则，故C选项正确；
对于D选项，设在轴上的投影为，则，则，所以，又，解得，则到轴的距离为，故D选项正确；
故选：ACD.
17．BD
【分析】利用椭圆标准方程直接求离心率即可判断A；根据椭圆定义以及基本不等式即可判
断B；直接考虑直线斜率不存在的情况即可判断C；利用椭圆的定义将转化成
，进而根据几何关系求其最值即可判断D.
【详解】对于选项，由椭圆的方程知，
所以离心率，故选项不正确；
对于选项B， 由椭圆的定义可得，
所以，
即当且仅当时，的最大值为，故选项B正确；
对于选项C， 当直线的斜率不存在时，所求直线为，满足条件，故选项C错误；
对于选项D， 圆：，
所以，
故选项D正确；
故选：BD.
18．BCD
【分析】对于A选项，由于焦点位置不确定故需分类讨论；对于B选项，为焦点三角形，其周长为，求出即可判断；对于C选项，为通径，易求其长度；对于D选项，设，，利用已知条件可以列出一组关于，的方程，研究其解的情况即可判断
【详解】对于A，若焦点在轴上,则,解得.
若焦点在轴上,则,解得，故A错误；
对于B，易知,所以,所以,故B正确；
对于C，将代人椭圆方程得,则,
因为,所以，故C正确；
对于D，设,,则,
与联立,此方程组无实数解.因此椭圆上满足的点不存在,
故D正确.
故选：BCD.
19．
【分析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
【详解】依题意可知，，且椭圆焦点在轴上，
所以，解得，
所以椭圆方程为.
故答案为：
20．
【分析】根据焦距的定义知，结合题意和椭圆的定义求出，进而求出b即可.
【详解】由题意知，，得，
由椭圆的定义知，，
而，的周长为，
所以，
得.由，解得.
所以椭圆方程为.
故答案为：.
21．##
【分析】根据椭圆定义和焦点三角形，利用余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】根据椭圆的定义有①，，
根据余弦定理得，②
结合①②解得，所以的面积，
故答案为：
22．
【分析】由已知得出直线的方程，与椭圆的标准方程联立，利用韦达定理根据弦长公式可得答案．
【详解】由椭圆的方程可知左焦点，若直线的倾斜角为，则直线的斜率，
故直线的方程为，
联立方程组，消去x整理得，设，，，，
由韦达定理可知，，则由弦长公式得
，
弦长．
故答案为：
23．##
【分析】求出、，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，即可求得椭圆的离心率的值.
【详解】在中，，，则，
，则，
由椭圆的定义可得，则.
故答案为：.
24．
【分析】设，则，根据平行四边形、椭圆的性质有，结合椭圆的有界性及其参数关系求离心率范围.
【详解】
设，则，又四边形为平行四边形，
所以，即，
所以，可得.
故答案为：
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及三角形的面积求得，从而求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合来求得的方程.
（1）
依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
右焦点为，
当直线的斜率不存在时，由，得，不符合题意.
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得：，
由于直线过焦点，所以直线与椭圆有两个交点，设，
则，
所以
，，
所以直线的方程为.
26．(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法，即设，代入椭圆方程，两式相减，即可求得答案;
（2）由椭圆定义结合条件可求得，利用余弦定理求得，可得，根据三角形面积公式即可求得答案.
（1）
设 ，线段MN的中点坐标为，
则由点在椭圆上可得 ，
两式相减得：，
即有 ，
即直线MN的斜率为.
（2）
由，且，
，
在中， ，
， .
27．(1)；
(2)
【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可求椭圆的方程.
（2）联立直线方程和椭圆方程，利用公式可求弦长.
（1）
设椭圆的半焦距为，则，而，则，
故，故，故椭圆方程为：.
（2）
椭圆的右焦点坐标为，则直线，
由，故，
设，故.
28．(1)
(2)存在定点；
【分析】（1）根据题意确定的值，即可求得椭圆方程；
（2）设 ，直线 的方程为，联立方程可得根与系数的关系式，假设x轴上存在定点P，使平分，则可得 ，结合根与系数的关系化简，求得参数的值，可得结论.
（1）
因为椭圆的长轴长为6，故，
椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点，则，
所以椭圆C的方程是 ；
（2）
设 ，直线的方程为，
将直线的方程与椭圆C的方程联立，
消去x得，因为M点在椭圆内，则必有，
所以，，
假设x轴上存在定点P，使平分，则直线的倾斜角互补，
所以 ，
设 ，则有 ，
将代入上式，整理得 ，
所以，
将 ，代入上式，整理得 ，
由于上式对任意实数m都成立，所以 ，
综上，存在定点 ，使平分 ．
29．(1)
(2)或
【分析】（1）根据椭圆的几何性质列等式可解得；
（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，根据韦达定理以及可解得，得到直线方程
（1）
由已知可得，解得，，
椭圆的方程为．
（2）
显然斜率不存在时不满足条件，
当斜率存在时，，设直线l的方程为，
代入的方程得，
，，
，解得，
∴直线l的方程为：或
30．(1).
(2).
【分析】（1）利用等面积法求得的关系，再利用离心率得到.即可得到答案.
（2）设，分别求出的坐标，根据斜率公式求出直线方程，则可得，即可求出定点坐标.
（1）
的内切圆的半径为，有等面积法得 ,解得 ，又离心率为，解得带入得.
综上所述椭圆E的标准方程为：.
（2）
设，则直线的方程为与联立解得同理可得.
则直线 的斜率为，
所以直线的方程为：
故直线PQ恒过定点，定点坐标为.