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专题07 一元一次方程实际应用的六种考法-2023-2024人教版七年级数学上学期期末复习培优专题
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1. 数字问题
例．(1)把100拆分成2个数的和，使得第一个数加3，第二个数减3，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是 和 ；
(2)把100拆分成2个数的和，使得第一个数乘2．第二个数除以2，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是 和 ；
(3)把100拆分成4个数的和，使得第一个数加5，第二个数减5，第三个数乘5，第4个数除以5，得到的的结果都相等，问拆分成的这四个数分别是多少．
【变式训练1】将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表．
(1)写出数表所表示的规律；(至少写出4个)
(2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？
【变式训练2】如图所示的10×5(行×列)的数阵，是由一些连续奇数组成的．
(1)形如图框中的四个数，设第一行的第一个数为x，用含x的式子表示另外三个数；
(2)若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数；
(3)是否存在这样的四个数，它们的和为296？为什么？
【变式训练3】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数表．
(1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数是x，用代数式表示十字形框内五个数之和为______；
(2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？直接写出答案，不需要证明；
(3)十字形框能否框到五个数，使这五个数之和等于2400呢？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．
2.配套问题
例．列方程解应用题
某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．
(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒(用含x的代数式表示)？该车间内灌装生产线有多少条？
(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？
【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．
(1)按B种方法剪裁的有______张白板纸；(用含x的代数式表示)
(2)将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？
【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．
(1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？
(2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？(本问直接写出结果)
【变式训练3】某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务． 已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成． 工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？
(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置． 请问至少需要补充多少名新工人？
3. 销售利润问题
例.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？
【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．
(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；
(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．
【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为300元．
(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求a的值．
【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
(1)如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？
(2)超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？
【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．
(1)每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？
(3)在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”(比如：某顾客购物1200元，他只需付款700元)．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？
4. 工程问题
例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135米．
(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？
(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？
【变式训练1】某校职工周转房已经落成，有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3名一级技工去粉刷8个房间，结果有30m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间，另外又多粉刷20m2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m2墙面．
(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；(列方程解决问题)
(2)若粉刷1m2墙面给付一级技工6元费用，给付二级技工5.5元费用，问一级技工和二级技工每人每天各挣多少工钱？
【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的，设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍，
(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？
(2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？
5. 行程问题
例．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为)与甲行驶的时间为之间的关系如图所示．
(1)以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上．
①甲到达终点_________．
②甲乙两人相遇_________．
③乙到达终点_________．
(2)AB两地之间的路程为_________千米；
(3)求甲、乙各自的速度；
(4)如果乙到达A地后立刻原路原速返回到B地，在甲到达B地的过程中，甲出发_________小时，甲乙相距100千米．
【变式训练1】为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【变式训练2】随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快车等网约车，收费标准见下图．
(1)若乘坐这两种网约车的里程数都是9公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费用为多少元？
(2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15元，求甲、乙两地间的里程数．
【变式训练3】A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速
行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．
(1)当两车相遇时，求轿车行驶的时间；
(2)当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；
(3)若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．
6. 方案问题
例.2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
(1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
(3)如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你
如何购买门票才能最省钱？
【变式训练1】2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；
方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．
某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双()．
(1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款_______元(用含x的代数式表示)；
若该户外俱乐部按方案B购买，需付款_______元(用含x的代数式表示)．
(2)若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算：
(3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．
【变式训练2】某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时．
(1)当时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？
(2)某一天，该企业把吨原材料分配到、两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的吨数是多少？
【变式训练3】某校计划购买20张书柜和一批书架(书架不少于20只)，现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只．
(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款(用含a的式子表示)；
(2)在(1)的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？
(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？
课后作业
1．[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容．
问题3 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：
(1)两人合作需要__________天完成．
(2)李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？
[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．
2．为打造“安全、环保、生态”的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点(每处需安装相同长度的排污治理管道)，一天甲队3名工人去完成5个治理点管道铺设，但还有60米管道未来得及完成，乙队4名工人完成5个治理点后，仍多铺设了40米管道，每名甲队工人比乙队工人每天多铺设20米管道．
(1)求每个排污治理点需铺设的管道长度；
(2)已知每位甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市共设立50个排污治理点，另有5880米的同样的污水排放管道也需要安装．现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；(不到一天按一天算)．若要使总费用最少，应选择哪种方案？请通过计算说明．
3．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
4．某次篮球联赛积分榜如下表所示：
(1)通过观察积分表，填空：胜一场得 分，负一场得 分．
(2)雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况．
(3)联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎．
5．假期，某校4位教师和名学生组成的旅游团，准备到某地旅游，甲，乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示若4位游客全额收费，则给予其余游客七折优惠；乙旅行社表示若游客5人以上(含5人)可给予每位游客八折优惠．
(1)若有10名学生参加旅游团，这个旅游团选择甲旅行社的总费用是_____________元，选择乙旅行社的总费用是_____________元，选择_____________旅行社更省钱．
(2)根据学生人数，该旅游团选择哪一家旅行社支付的旅游总费用较少？
6．材料一：对于任意一个四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值的3倍，则称这个四位数为“好运数”．例如：，因为，所以是“好运数”．
材料二：将一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数m'，
规定：F(m)＝m﹣m'，例如：F(2146)＝2146﹣2416＝﹣270．
(1)判断，是否为“好运数”，并说明理由；
(2)“好运数”的千位上的数字是十位上的数字的2倍，个位上的数字是1，求的最大值．
7．如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：50千米平直公路，20千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车前往B地，乙从B地骑摩托车前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时,平直公路的速度为120千米/小时；摩托车下坡的速度为80千米/小时，平直公路的速度为60千米/小时；甲、乙两人同时出发．
(1)求甲从A到B地所需要的时间．
(2)求乙从B到C地所需要的时间.
(3)求两人出发后经过多少时间相遇？
8．如图是某月的月历．
(1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？
(2)如果将带阴影的方框移至图1的位置，(1)中的关系还成立吗？
(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请说明其中的理由．
(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
(5)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论．
进价(元/只)
售价(元/只)
甲型
25
30
乙型
45
60
出租车
起步价：14元
里程费：超过3公里的部分
2.4元/公里
(不足1公里按1公里计)
滴滴快车
起步价：12元
里程费：2.5元/公里
时长费：0.4元/分钟
(滴滴快车行驶的平均速度为40公里/时)
数量(张)
1﹣50
51﹣100
101张及以上
单价(元/张)
60元
50元
40元
甲型客车
乙型客车
载客量(人/辆)
35
30
租金(元/辆)
400
320
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
9
5
23
远大
14
7
7
21
恒大
14
4
10
18
蓝天
14
0
14
14
1. 数字问题
例．(1)把100拆分成2个数的和，使得第一个数加3，第二个数减3，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是 和 ；
(2)把100拆分成2个数的和，使得第一个数乘2．第二个数除以2，得到的结果相等．则拆分成的这两个数分别是 和 ；
(3)把100拆分成4个数的和，使得第一个数加5，第二个数减5，第三个数乘5，第4个数除以5，得到的的结果都相等，问拆分成的这四个数分别是多少．
【变式训练1】将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表．
(1)写出数表所表示的规律；(至少写出4个)
(2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？
【变式训练2】如图所示的10×5(行×列)的数阵，是由一些连续奇数组成的．
(1)形如图框中的四个数，设第一行的第一个数为x，用含x的式子表示另外三个数；
(2)若这样框中的四个数的和是200，求出这四个数；
(3)是否存在这样的四个数，它们的和为296？为什么？
【变式训练3】将连续的偶数0，2，4，6，8，…排成如图所示的数表．
(1)十字形框内的五个数之和是中间数的______；若设十字形框内的五个数中最中间一个数是x，用代数式表示十字形框内五个数之和为______；
(2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述规律吗？直接写出答案，不需要证明；
(3)十字形框能否框到五个数，使这五个数之和等于2400呢？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．
2.配套问题
例．列方程解应用题
某啤酒公司的啤酒车间先将散装啤酒灌装成瓶装啤酒，再将瓶装啤酒装箱出车间．该车间有灌装、装箱生产线共21条，每条灌装生产线每小时装350瓶，每条装箱生产线每小时装450瓶．某日，生产前车间内已有未装箱的瓶装啤酒5200瓶，8:00开始，车间内的生产线全部投入生产．
(1)若当日到10:00时，该车间内未装箱的瓶装啤酒达到5500瓶.设灌装生产线有x条，当日到10:00时，灌装生产线共装多少瓶啤酒(用含x的代数式表示)？该车间内灌装生产线有多少条？
(2)若该日车间工作8小时，灌装生产线设计多少条时？该日车间内的瓶装啤酒恰好全部装箱？
【变式训练1】小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用A，B，两种方法剪裁，其中A种裁法：一张白板纸裁成4个侧面；B种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按A种方法剪裁的有x张白板纸．
(1)按B种方法剪裁的有______张白板纸；(用含x的代数式表示)
(2)将50张白板纸裁剪完后，可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？
【变式训练2】某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套．
(1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？
(2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？(本问直接写出结果)
【变式训练3】某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务． 已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成． 工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？
(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置． 请问至少需要补充多少名新工人？
3. 销售利润问题
例.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？
【变式训练1】“虎年大吉，岁岁平安”，为了喜迎新春，某水果店在春节期间推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为200元，每盒坚果礼盒的成本为150元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多100元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润相同．
(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；
(2)在年末时，该水果店购进水果篮1250个和坚果礼盒1200盒，进行“新春特惠”促销活动．水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒，每个水果篮在售价的基础上打九折后再参与店内“每满100元减m元”的活动，每盒坚果礼盒直接参与店内“每满100元减m元”的活动．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有50个没办法售出．若该水果店获得的利润率为20%，求m的值．
【变式训练2】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为300元．
(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
(2)今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高2a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求a的值．
【变式训练3】某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
(1)如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？
(2)超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？
【变式训练4】武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．
(1)每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元；
(2)若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？
(3)在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”(比如：某顾客购物1200元，他只需付款700元)．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？
4. 工程问题
例．某工程队承包德阿公路绵竹市境内一段长为1755米的道路改造工程，由甲、乙两个施工小队分别从南、北两端同时施工．已知甲队比乙队平均每天多施工3米，经过5天施工后，两个小队共完成施工路段135米．
(1)求甲、乙两个小队平均每天各施工多少米？
(2)为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲队平均每天能比原来多施工1米，乙队平均每天能比原来多施工2米，甲、乙同时按此施工，能够比原来提前多少天完成道路改造任务？
【变式训练1】某校职工周转房已经落成，有一些结构相同的房间需要粉刷墙面．已知3名一级技工去粉刷8个房间，结果有30m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间，另外又多粉刷20m2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷12m2墙面．
(1)求每个房间需要粉刷的墙面面积；(列方程解决问题)
(2)若粉刷1m2墙面给付一级技工6元费用，给付二级技工5.5元费用，问一级技工和二级技工每人每天各挣多少工钱？
【变式训练2】湖北荆宜高速公路是“国家高速公路网规划”中的建设工程，该工程预算国拨总投资为24亿元，分土建、路面、设施三个建设项目，路面投资占土建投资的，设施投资比土建投资少40%、由于物价的上涨，工程建设实际总投资随之增长，路面投资的增长率是土建投资增长率的2.5倍，设施投资的增长率达到路面投资增长率的2倍，
(1)三个项目的预算投资分别是多少亿元？
(2)由于合理施工，使公路提前半年通车，每月可通行车辆100万辆，每辆车的平均收益为40元．这样，可将提前半年通车收益的70%用于该工程建设的实际投资，减少了国拨投资，使预算国拨总投资减少的百分率与土建投资的增长率相同，该工程的实际总投资是多少亿元？
5. 行程问题
例．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为)与甲行驶的时间为之间的关系如图所示．
(1)以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上．
①甲到达终点_________．
②甲乙两人相遇_________．
③乙到达终点_________．
(2)AB两地之间的路程为_________千米；
(3)求甲、乙各自的速度；
(4)如果乙到达A地后立刻原路原速返回到B地，在甲到达B地的过程中，甲出发_________小时，甲乙相距100千米．
【变式训练1】为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【变式训练2】随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择，某市有出租车、滴滴快车等网约车，收费标准见下图．
(1)若乘坐这两种网约车的里程数都是9公里，则发现乘坐出租车最节省钱，求乘坐出租车费用为多少元？
(2)若从甲地到乙地，乘坐滴滴快车比出租车多用15元，求甲、乙两地间的里程数．
【变式训练3】A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速
行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．
(1)当两车相遇时，求轿车行驶的时间；
(2)当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；
(3)若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．
6. 方案问题
例.2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
(1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
(3)如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你
如何购买门票才能最省钱？
【变式训练1】2021年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；
方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．
某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双()．
(1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款_______元(用含x的代数式表示)；
若该户外俱乐部按方案B购买，需付款_______元(用含x的代数式表示)．
(2)若x＝40，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算：
(3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．
【变式训练2】某企业有，两条加工相同原材料的生产线，在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为 小时．
(1)当时，两条生产线的加工时间分别是多少小时？
(2)某一天，该企业把吨原材料分配到、两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的吨数是多少？
【变式训练3】某校计划购买20张书柜和一批书架(书架不少于20只)，现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架a只．
(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到A超市要准备_____元货款，到B超市要准备_____元货款(用含a的式子表示)；
(2)在(1)的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？
(3)假如你是本次购买的负责人，学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使付款额最少，最少付款额是多少？
课后作业
1．[教材改编]改编华师版七年级下册数学教材第19页的部分内容．
问题3 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天”就停住了．根据以上信息解答下列问题：
(1)两人合作需要__________天完成．
(2)李老师选了两位同学的问题，合起来在黑板上写出：现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各完成工作量计算报酬，那么该如何分配？
[拓展]在问题3中，如果两人合作完成后共得报酬450元，工作量相同部分的报酬，师徒按3：2分配，余下的工作量所得报酬分配给该部分完成者，请直接写出师徒各得的报酬．
2．为打造“安全、环保、生态”的某河流公园，某市设立若干河流排污治理点(每处需安装相同长度的排污治理管道)，一天甲队3名工人去完成5个治理点管道铺设，但还有60米管道未来得及完成，乙队4名工人完成5个治理点后，仍多铺设了40米管道，每名甲队工人比乙队工人每天多铺设20米管道．
(1)求每个排污治理点需铺设的管道长度；
(2)已知每位甲队工人每天需支付费用500元，每名乙队工人每天需支付400元，该市共设立50个排污治理点，另有5880米的同样的污水排放管道也需要安装．现有甲队3名工人，乙队4名工人来安装管道，方案一：全部由甲队安装；方案二：全部由乙队安装；(不到一天按一天算)．若要使总费用最少，应选择哪种方案？请通过计算说明．
3．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
4．某次篮球联赛积分榜如下表所示：
(1)通过观察积分表，填空：胜一场得 分，负一场得 分．
(2)雄鹰队也参加了本次篮球联赛，获得积分25分，问雄鹰队的胜、负场次情况．
(3)联赛中还有一个队伍，队长电话向当地组织者汇报，说队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多，请你通过数学计算判断该队长是否说谎．
5．假期，某校4位教师和名学生组成的旅游团，准备到某地旅游，甲，乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示若4位游客全额收费，则给予其余游客七折优惠；乙旅行社表示若游客5人以上(含5人)可给予每位游客八折优惠．
(1)若有10名学生参加旅游团，这个旅游团选择甲旅行社的总费用是_____________元，选择乙旅行社的总费用是_____________元，选择_____________旅行社更省钱．
(2)根据学生人数，该旅游团选择哪一家旅行社支付的旅游总费用较少？
6．材料一：对于任意一个四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值的3倍，则称这个四位数为“好运数”．例如：，因为，所以是“好运数”．
材料二：将一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数m'，
规定：F(m)＝m﹣m'，例如：F(2146)＝2146﹣2416＝﹣270．
(1)判断，是否为“好运数”，并说明理由；
(2)“好运数”的千位上的数字是十位上的数字的2倍，个位上的数字是1，求的最大值．
7．如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：50千米平直公路，20千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车前往B地，乙从B地骑摩托车前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时,平直公路的速度为120千米/小时；摩托车下坡的速度为80千米/小时，平直公路的速度为60千米/小时；甲、乙两人同时出发．
(1)求甲从A到B地所需要的时间．
(2)求乙从B到C地所需要的时间.
(3)求两人出发后经过多少时间相遇？
8．如图是某月的月历．
(1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？
(2)如果将带阴影的方框移至图1的位置，(1)中的关系还成立吗？
(3)不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？请说明其中的理由．
(4)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
(5)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论．
进价(元/只)
售价(元/只)
甲型
25
30
乙型
45
60
出租车
起步价：14元
里程费：超过3公里的部分
2.4元/公里
(不足1公里按1公里计)
滴滴快车
起步价：12元
里程费：2.5元/公里
时长费：0.4元/分钟
(滴滴快车行驶的平均速度为40公里/时)
数量(张)
1﹣50
51﹣100
101张及以上
单价(元/张)
60元
50元
40元
甲型客车
乙型客车
载客量(人/辆)
35
30
租金(元/辆)
400
320
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
9
5
23
远大
14
7
7
21
恒大
14
4
10
18
蓝天
14
0
14
14
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