自测（2）《第9章 复数》章节测试（60分钟）（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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1、若z＝eq \f(i2 023,1－i)，则| z＋eq \x\t(z)＝____________
【答案】1
【解析】z＝eq \f(i2 023,1－i)＝eq \f(－i,1－i)＝eq \f(1－i,2)，z＋eq \x\t(z)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i＝1.
2、已知eq \f(x,1＋i)＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为
【答案】2－i
【解析】 由eq \f(x,1＋i)＝1－yi，得eq \f(x(1－i),(1＋i)(1－i))＝1－yi，即eq \f(x,2)－eq \f(x,2)i＝1－yi，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝1，,\f(x,2)＝y，))
解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i.
3、已知z＝1－3i，则|eq \x\t(z)－i|＝________.
【答案】eq \r(5)
【解析】∵z＝1－3i，∴eq \x\t(z)＝1＋3i，
∴eq \x\t(z)－i＝1＋3i－i＝1＋2i，
∴|eq \x\t(z)－i|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5).
4、已知z＝2－i，则z(eq \x\t(z)＋i)等于
【答案】6＋2i；
【解析】因为z＝2－i，所以z(eq \x\t(z)＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.
5、若复数z的共轭复数为eq \x\t(z)且满足eq \x\t(z)·(1＋2i)＝1－i，则复数z的虚部为
【答案】eq \f(3,5)；
【解析】eq \x\t(z)·(1＋2i)＝1－i，
∴eq \x\t(z)＝eq \f(1－i,1＋2i)＝eq \f((1－i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝eq \f(－1－3i,5)＝－eq \f(1,5)－eq \f(3,5)i，∴z＝－eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)i，∴复数z的虚部为eq \f(3,5).
6、若z＝(a－eq \r(2))＋ai为纯虚数，其中a∈R，则eq \f(a＋i7,1＋ai)＝________.
【答案】－i
【解析】∵z为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－\r(2)＝0，,a≠0，))∴a＝eq \r(2)，
∴eq \f(a＋i7,1＋ai)＝eq \f(\r(2)－i,1＋\r(2)i)＝eq \f(\r(2)－i1－\r(2)i,1＋\r(2)i1－\r(2)i)＝eq \f(－3i,3)＝－i.
7、若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则a＝________.
【答案】13
【解析】设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.
8、若复数z＝i＋i2 022，则eq \(z,\s\up6(－))＋eq \f(10,z)的模等于________.
【答案】6eq \r(2)
【解析】z＝i＋i2 022＝i－1，eq \(z,\s\up6(－))＋eq \f(10,z)＝1＋i＋eq \f(10,1－i)＝6＋6i，其模为6eq \r(2).
9、设O是坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是________.
【答案】5－5i
【解析】∵向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，
∴eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，2)，
∴eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i.
10、设z为复数，则下列命题中正确的序号是
①|z|2＝z·eq \(z,\s\up6(－))
②z2＝|z|2
③若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
④若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
【答案】①③④；
【解析】对于①，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，
∴|z|2＝a2＋b2，而z·eq \(z,\s\up6(－))＝a2＋b2，所以|z|2＝z·eq \(z,\s\up6(－))成立；
对于②，z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；
对于③，|z|＝1可以看成以O(0，0)为圆心，1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当P(0，1)时，可取|z＋i|的最大值2；
对于④，|z－1|＝1可以看成以M(1，0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点的距离，故O，N重合时，|z|＝0最小，当O，M，N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2；故填①③④
二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、复数eq \f(2－i,1－3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】eq \f(2－i,1－3i)＝eq \f((2－i)(1＋3i),10)＝eq \f(5＋5i,10)＝eq \f(1＋i,2)，所以该复数在复平面内对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，
该点在第一象限．
12、已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；
由a2＝－1，得a＝±i，
故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；
故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．
13、设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2等于( )
A．－10 B．10
C．－8 D．8
【答案】A
【解析】∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，
∴z2＝－3－i，
∴z1z2＝－9－1＝－10.
14、已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为( )
A．1 B．eq \r(2)－1
C．eq \r(2) D．eq \r(2)＋1
【答案】B
【解析】令z＝x＋yi(x，y∈R)，
则由题意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，
∴|z|的最小值即为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的最小距离，
∴|z|的最小值为eq \r(2)－1.
三、解答题（共4小题，满分44分）
15、（本题8分）
已知复数z满足(1＋i)z＝3＋i.
（1）求复数z；
（2）若复数z＋ai在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
【解析】（1）∵(1＋i)z＝3＋i，∴z＝eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(4－2i,2)＝2－i.
（2）由(1)得z＝2－i，则z＋ai＝2＋(a－1)i，
因为复数z＋ai在复平面内对应的点在第四象限，所以a－1