自测（2）《第8章 平面向量》章节测试（60分钟）（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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1、已知点A(2，4)，eq \(a,\s\up6(→))＝(3，4)，且eq \(AB,\s\up8(→))＝2eq \(a,\s\up6(→))，则点B的坐标为___________________
【答案】(8，12)；
【解析】设B点坐标为(x，y)，则(x－2，y－4)＝2(3，4)＝(6，8)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝6,y－4＝8))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝12.))
2、若向量eq \(AB,\s\up8(→))＝(1，2)，eq \(BC,\s\up8(→))＝(3，4)，则eq \(AC,\s\up8(→))＝__________________
【答案】 (4，6)；
【解析】eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)；故选A；
3、已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量eq \(AB,\s\up8(→))同方向的单位向量为_______________
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)))；
【解析】 eq \(AB,\s\up8(→))＝(3，－4)，则与eq \(AB,\s\up8(→))同方向的单位向量为eq \f(\(AB,\s\up8(→)),|\(AB,\s\up8(→))|)＝eq \f(1,5)(3，－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)));
4、如图，在△ABC中，eq \(AC,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))的夹角与eq \(CA,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))的夹角的关系为_______________
【答案】互补；
【解析】根据向量夹角定义可知向量eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AC,\s\up8(→))夹角为∠BAC，而向量eq \(CA,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))夹角为π－∠BAC，
故二者互补；
4、设eq \(a,\s\up6(→))＝(x，x＋1)，eq \(b,\s\up6(→))＝(1，2)且eq \(a,\s\up6(→))⊥eq \(b,\s\up6(→))，则x＝________.
【答案】－eq \f(2,3);
【解析】∵eq \(a,\s\up6(→))⊥eq \(b,\s\up6(→))，∴eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝0；即x＋2(x＋1)＝0；解得x＝－eq \f(2,3)；
5、已知A(1，2)，B(2，3)，C(5，x)三点共线，则x＝________.
【答案】6；
【解析】∵A(1，2)，B(2，3)，C(5，x)，
∴eq \(AB,\s\up8(→))＝(1，1)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(4，x－2)，
又A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up8(→))∥eq \(AC,\s\up8(→))，故x－2－4＝0，解得x＝6；
6、已知A，B，C是不共线的三点，向量eq \(m,\s\up6(→))与向量eq \(AB,\s\up12(→))是平行向量，与eq \(BC,\s\up12(→))是共线向量，则eq \(m,\s\up6(→))＝________.
【答案】eq \(0,\s\up6(→))；
【解析】∵eq \(AB,\s\up12(→))与eq \(BC,\s\up12(→))不共线，且eq \(m,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(m,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up12(→))，∴eq \(m,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→));
7、已知向量eq \(a,\s\up6(→))＝(2x＋3，2－x)，eq \(b,\s\up6(→))＝(－3－x，2x)(x∈R)，则|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|的取值范围为______________
【答案】[eq \r(2)，＋∞)；
【解析】∵eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝(x，x＋2)，
∴|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋x＋22)＝eq \r(2x2＋4x＋4)＝eq \r(2x＋12＋2)≥eq \r(2)，∴|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|∈[eq \r(2)，＋∞)；
8、向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，eq \(c,\s\up6(→))在正方形网格中的位置如图所示，若eq \(c,\s\up6(→))＝λeq \(a,\s\up6(→))＋μeq \(b,\s\up6(→)) (λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________.
【答案】4；
【解析】以向量eq \(a,\s\up6(→))的终点为原点，以过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，设一个小正方形网格的边长为1，则eq \(a,\s\up6(→))＝(－1，1)，eq \(b,\s\up6(→))＝(6，2)，eq \(c,\s\up6(→))＝(－1，－3)；
由eq \(c,\s\up6(→))＝λeq \(a,\s\up6(→))＋ μeq \(b,\s\up6(→))，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
故λ＝－2，μ＝－eq \f(1,2)，则eq \f(λ,μ)＝4；
9、已知x＝1是方程x2＋|eq \(a,\s\up6(→))|x＋eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝0的根，且eq \(a,\s\up6(→))2＝4，eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为120°；则向量|eq \(b,\s\up6(→))|=
【解析】因为eq \(a,\s\up6(→))2＝4，所以|eq \(a,\s\up6(→))|2＝4，即|eq \(a,\s\up6(→))|＝2，
将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝0，所以eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝－3，所以eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|cs〈eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))〉
＝2|eq \(b,\s\up6(→))|cs 120°＝－3，所以|eq \(b,\s\up6(→))|＝3.
10、给出下列判断：①若eq \(a,\s\up6(→))2＋eq \(b,\s\up6(→))2＝0，则eq \(a,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))；②已知eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，eq \(c,\s\up6(→))是三个非零向量，若eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))，则|eq \(a,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→))|＝|eq \(b,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→))|；③eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))共线⇔eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|；④|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|0，则eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为锐角；⑧若eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))的夹角为θ，则|eq \(b,\s\up6(→))|cs θ表示向量eq \(b,\s\up6(→))在向量eq \(a,\s\up6(→))方向上的射影长．
其中正确的是__________________________ (填序号)
【答案】①②⑥；
【解析】由于eq \(a,\s\up6(→))2≥0，eq \(b,\s\up6(→))2≥0，所以，若eq \(a,\s\up6(→))2＋eq \(b,\s\up6(→))2＝0，则eq \(a,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))，故①正确；
若eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))，则eq \(a,\s\up6(→))＝－eq \(b,\s\up6(→))，又eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，eq \(c,\s\up6(→))是三个非零向量，
所以eq \(a,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→))＝－eq \(b,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→))，所以|eq \(a,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→))|＝|eq \(b,\s\up6(→))·eq \(c,\s\up6(→))|，
②正确；eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))共线⇔eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝±|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|，所以③不正确；
对于④应有|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|≥eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))，所以④不正确；
对于⑤，应该是eq \(a,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→))·eq \(a,\s\up6(→))＝|eq \(a,\s\up6(→))|2eq \(a,\s\up6(→))，所以⑤不正确；
⑥eq \(a,\s\up6(→))2＋eq \(b,\s\up6(→))2≥2|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|≥2eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))，故正确；
当eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为0°时，也有eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))>0，因此⑦错；
|eq \(b,\s\up6(→))|cs θ表示向量eq \(b,\s\up6(→))在向量eq \(a,\s\up6(→))方向上的正射影的数量，而射投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确；
二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、下列命题中，正确的是（ ）
A．若向量eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))不共线，则eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))都是非零向量
B．eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))是两个单位向量，则eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))相等
C．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同
D．共线的单位向量必是相等向量
【答案】A；
【解析】若eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))中有一个是零向量，则eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))共线；
12、如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|等于（ ）
A．1
B．2eq \r(3)
C．3
D．2
【答案】D；
【解析】由正六边形知eq \(FE,\s\up12(→))＝eq \(BC,\s\up12(→))，
所以eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(FE,\s\up12(→))＋eq \(CD,\s\up12(→))＝eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(BC,\s\up12(→))＋eq \(CD,\s\up12(→))＝eq \(AD,\s\up12(→))，
所以|eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(FE,\s\up12(→))＋eq \(CD,\s\up12(→))|＝|eq \(AD,\s\up12(→))|＝2；故选D；
12、下列命题中正确的命题( )
A．如果非零向量eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的方向相同或相反，那么eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))的方向必与eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))之一的方向相同
B．△ABC中，必有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))
C．若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))均为非零向量，则|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|与|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|一定相等
【答案】B；
【解析】A是假命题，当eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))时，命题不成立；
B是真命题；
C是假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(BC,\s\up12(→))＋eq \(CA,\s\up12(→))＝eq \(0,\s\up6(→))；
D是假命题，只有当eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))同向时才相等；
14、已知向量eq \(a,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(b,\s\up6(→))＝(1，k)，且eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为锐角，则实数k的取值范围是（ ）
A．(－2，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．(－∞，－2) D．(－2，2)
【提示】可利用eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))夹角为锐角⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))>0, eq \(a,\s\up6(→))≠λeq \(b,\s\up6(→))))求解．
【答案】B；
【解析】当eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))共线时，2k－1＝0，k＝eq \f(1,2)，此时eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))方向相同，夹角为0°，
所以要使eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为锐角，则有a·eq \(b,\s\up6(→))>0且a，eq \(b,\s\up6(→))不同向；
由a·eq \(b,\s\up6(→))＝2＋k>0得k>－2，且k≠eq \f(1,2)，即实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，选B
三、解答题（共4小题，满分44分）
15、（本题8分）
如图，在△ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，
AE的延长线交BC于F.MH∥AF交BC于H；
求证：eq \(HF,\s\up8(→))＝eq \(BH,\s\up8(→))＝eq \(FC,\s\up8(→))；
【提示】选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出eq \(HF,\s\up8(→))、eq \(BH,\s\up8(→))与eq \(FC,\s\up8(→))即可证得；
【证明】设eq \(BM,\s\up8(→))＝eq \(a,\s\up6(→))，eq \(MH,\s\up8(→))＝eq \(b,\s\up6(→))，
则eq \(BH,\s\up8(→))＝eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))，
eq \(HF,\s\up8(→))＝eq \(HB,\s\up8(→))＋eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(AF,\s\up8(→))
＝－eq \(BH,\s\up8(→))＋2eq \(BM,\s\up8(→))＋2eq \(MH,\s\up8(→))
＝－eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))＋2eq \(a,\s\up6(→))＋2eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))，
eq \(FC,\s\up8(→))＝eq \(FE,\s\up8(→))＋eq \(EC,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(HM,\s\up8(→))＋eq \(ME,\s\up8(→))＝－eq \f(1,2)eq \(MH,\s\up8(→))＋eq \(MA,\s\up8(→))＋eq \(AE,\s\up8(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up8(→))＋eq \(AF,\s\up8(→))－eq \(EF,\s\up8(→))＝－eq \f(1,2)eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(a,\s\up6(→))＋2eq \(MH,\s\up8(→))－eq \f(1,2)eq \(MH,\s\up8(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(a,\s\up6(→))＋2eq \(b,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→)).
综上，得eq \(HF,\s\up8(→))＝eq \(BH,\s\up8(→))＝eq \(FC,\s\up8(→)).
16、（本题10分）
已知eq \(a,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq \(b,\s\up6(→))＝(λ，1)，当eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？
【解析】∵eq \(a,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq \(b,\s\up6(→))＝(λ，1)，
∴|eq \(a,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(b,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋λ2)，eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝λ－1.
∵eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))的夹角α为钝角，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－1<0，,\r(2)\r(1＋λ2)≠1－λ，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ<1，,λ2＋2λ＋1≠0，))
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．
17、（本题满分12分）
已知向量eq \(AB,\s\up8(→))＝(4，3)，eq \(AD,\s\up8(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
（1）求线段BD的中点M的坐标；
（2）若点P(2，y)满足eq \(PB,\s\up8(→))＝λeq \(BD,\s\up8(→))(λ∈R)，求y与λ的值．
【提示】（1）先求B，D点的坐标，再求M点坐标；（2）由向量相等转化为y与λ的方程求解．
【解析】（1）设点B的坐标为(x1，y1)．
∵eq \(AB,\s\up8(→))＝(4，3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝3，,y1＝1，))
∴B(3，1)．同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝eq \f(3－4,2)＝－eq \f(1,2)，y2＝eq \f(1－3,2)＝－1，∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)).
（2）由已知得eq \(PB,\s\up8(→))＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
eq \(BD,\s\up8(→))＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
又eq \(PB,\s\up8(→))＝λeq \(BD,\s\up8(→))，∴(1，1－y)＝λ(－7，－4)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝－7λ，,1－y＝－4λ，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,7)，,y＝\f(3,7).))
18、（本题满分14分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量eq \(m,\s\up6(→))＝(cs(A－B)，sin(A－B))，
eq \(n,\s\up6(→))＝(cs B，－sin B)，且eq \(m,\s\up6(→))·eq \(n,\s\up6(→))＝－eq \f(3,5).
（1）求sin A的值；
（2）若a＝4eq \r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的数量投影；
【解析】（1）由eq \(m,\s\up6(→))·eq \(n,\s\up6(→))＝－eq \f(3,5)，
得cs(A－B)cs B－sin(A－B)sin B＝－eq \f(3,5)，
所以cs A＝－eq \f(3,5).因为0所以sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq \f(4,5).
（2）由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
则sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B＝eq \f(π,4).
由余弦定理得(4eq \r(2))2＝52＋c2－2·5c·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))，
解得c＝1，c＝－7(舍去)，
故向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的数量投影为|eq \(BA,\s\up6(→))|cs B＝ccs B＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2)；