专题03 函数y=Asin（ωx+φ）的图像（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

这是一份专题03 函数y=Asin（ωx+φ）的图像（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册），文件包含专题03函数yAsinωx+φ的图像考点解读考点归纳原卷版docx、专题03函数yAsinωx+φ的图像考点解读考点归纳解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。


一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
第7章 三角函数
7.1 正弦函数的图像与性质
7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质；
7.2 余弦函数的图像与性质
7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质
7.3 函数y=Asin(ωx+φ) QUOTE y=Asin(ωx+φ) 的图像
7.4 正切函数的图像与性质
7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质；
【本章内容提要】
【附】图像特征
1、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念及其物理意义
（1）形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．
（2）在物理学和工程技术的许多问题中，
物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，
其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；
往复振动一次所需的时间T＝eq \f(2π,ω)称为这个振动的周期；
单位时间内往复振动的次数f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)称为振动的频率；ω＝2πf 相应地称为：圆频率；
ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初始相位；
2、用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3、A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
（1）φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响：
函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图像，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到；
（2）ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响：
函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的eq \f(1,ω)倍(纵坐标不变)而得到的．
（3）A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响：
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当04、用“变换法”由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图像的方法：
（1）先平移后伸缩
即：先相位变换后周期变换．
y＝sin x的图像eq \(―――――――――――――→,\s\up15(φ>0，左移φ个单位长度),\s\d15(φ<0，右移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)的图像
eq \(――――――――――――――――――――――――→,\s\up15(ω>1，横坐标缩短到原来的\f(1,ω)纵坐标不变,0<ω<1，横坐标伸长到原来的\f(1,ω)倍纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)的图像
eq \(――――――――――――――――――――――→,\s\up15(A>1，纵坐标伸长到原来的A倍横坐标不变),\s\d15(0（2）先伸缩后平移
即：先周期变换后相位变换．
y＝sin x的图像
eq \(――――――――――――――――――――――→,\s\up15(ω>1，横坐标缩短到原来的\f(1,ω)纵坐标不变,0<ω<1，横坐标伸长到原来的\f(1,ω)倍纵坐标不变))y＝sin ωx的图像
eq \(――――――――――――→,\s\up15(φ>0，左移\f(φ,ω)个单位长度,φ<0，右移\f(|φ|,ω)个单位长度))y＝sin(ωx＋φ)的图像
eq \(――――――――――――――――――――――→,\s\up15(A>1，纵坐标伸长到原来的A倍横坐标不变),\s\d15(05、函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下：
6、常用结论
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．
（2）由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移eq \f (φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
题型1、“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
例1、（1）作出函数y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(3π,4)))上的图像．
（2）作出函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋3的图像并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间．
【说明】1、用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像，应先令ωx＋φ分别为0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3,2)π，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图像；
2、若在一个定区间内作图像，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．即“五点法”演变成了“4＋2”作图；
题型2、三角函数的图像变换
例2、（1）如何由函数y＝sin x的图像得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)的图像．
（2）为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(π,6)))，x∈R的图像，只需把函数y＝sin x，x∈R的图像上所有的点：
①向左平移eq \f(π,6)个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(纵坐标不变)；
②向右平移eq \f(π,6)个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)倍(纵坐标不变)；
③向左平移eq \f(π,6)个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移eq \f(π,6)个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．
其中正确的是________．
【说明】三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略
（1）确定函数y＝sin x的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言.
（2）已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位；已知两个函数的解析式，判断其图像间的平移关系的步骤：
①将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asinωx＋φ，即A，ω及名称相同的结构；
②找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω))).
③明确平移的方向；
特别提醒：三角函数图像的两种伸缩变换的实质是对函数图像的各点的横坐标的伸缩和纵坐标的伸缩变化.
易错点是由y＝sin ωx的图像变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图像时，平移的单位为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))而不是|φ|.
题型3、根据图像求解析式
例3、（1）如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图像的一部分，求此函数的解析式．
（2）如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|【说明】若设所求解析式为y＝Asinωx＋φ，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
（1）由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|；
（2）由函数图像与x轴的交点确定T，由eq T＝\f(2π,|ω|)，确定ω；
（3）确定函数y＝Asinωx＋φ的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图像上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图像与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(φ,ω)，0))作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”即图像上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；
“第二点”即图像的“峰点”为eq ωx＋φ＝\f(π,2)；
“第三点”即图像下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；
“第四点”即图像的“谷点”为eq ωx＋φ＝\f(3π,2)；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
③图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图像平移规律确定相关的参数.
题型4、关注函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像特征
例4、（1）函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图像的一条对称轴是( )
A．x＝－eq \f(π,2) B．x＝eq \f(π,2)
C．x＝－eq \f(π,6) D．x＝eq \f(π,6)
（2）函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的对称中心是________，对称轴方程是________．
【说明】1、如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？
[解析]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，则x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x＝eq \f(2k＋1π－2φ,2ω)(k∈Z)．
2、如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？
[解析]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心即函数图像与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ－φ,ω)(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)成中心对称．
题型5、与函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域与最值相关
例5、（1）函数y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6x＋\f(π,3)))取最大值时，自变量x的取值集合是( )
A．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5π,6)＋\f(kπ,3)，k∈Z)))) B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,36)＋\f(kπ,3)，k∈Z))))
C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(kπ,3)，k∈Z)))) D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(π,9)＋\f(kπ,3)，k∈Z))))
（2）已知函数f (x)＝2sinωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,3)，\f (π,4)))上的最小值为－2，则ω的取值范围是______________
题型6、与函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性相关
例6、（1）若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于( )
A．3 B．2
C．eq \f(3,2) D．eq \f(2,3)
（2）已知函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f (π,6)))(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f (π,4)，\f (2π,3)))上单调递增，则ω的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (8,3))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f (1,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,2)，\f (8,3))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (3,8)，2))
【本题】属于三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性与ω的关系：
若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解．
题型7、与函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期相关
例7、（1）已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，－\f (π,2)≤φ≤\f (π,2)))的图像上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2eq \r(2)，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f (1,2)))，则函数f (x)＝__________________
（2）为了使函数y＝sinωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A．98π B．eq \f (197,2)π
C．eq \f (199,2)π D．100π
【说明】1、若已知三角函数的周期，则由公式T＝eq \f (2π,|ω|)来确定ω的值或取值范围；因为T＝eq \f(2π,ω)，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为eq \f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T.
2、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相邻对称轴之间相差多少个周期？相邻零点呢？
【解析】均相差半个周期．
题型8、函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点问题
例8、（1）已知关于x的方程2sin2x－eq \r(3)sin2x＋m－1＝0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是__________．
（2）记函数f (x)＝cs(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f (T)＝eq \f (\r(3),2)，x＝eq \f (π,9)为f (x)的零点，则ω的最小值为__________．
【说明】解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键
1、解决三角函数中的零点（方程根）问题的关键是根据条件作出对应函数的图像，然后再将方程根的问题转化为图像的交点问题，利用数形结合思想解决；
若已知三角函数的零点个数等问题时，则采取整体换元的思想，即通过ωx＋φ的取值情况确定函数零点的情况，再确定ω的值或取值范围；
题型9、有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题
例9、设函数f (x)＝2sinxcsx＋Acs2x(A∈R)．已知存在A使得f (x)同时满足下列三个条件中的两个，条件①：f (0)＝0；条件②：f (x)的最大值为eq \r(2)；条件③：x＝eq \f (π,8)是f (x)图像的一条对称轴方程．
（1）请写出f (x)满足的两个条件，并说明理由；
（2）若f (x)在区间(0，m)上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
题型10、简单的三角函数y＝Asin(ωx＋φ)模型
例10、如图，某公园摩天轮的半径为40 m，圆心O距地面的高度为50 m，摩天轮逆时针匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻t(min)时P距离地面的高度f (t)＝Asin(ωt＋φ)＋h(ω>0，|φ|<π)，求当t＝2006 min时，P距离地面的高度；
（2）当距离地面的高度在(50＋20eq \r(3))m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈的过程中有多少时间可以看到公园的全貌？
1、把函数y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2)个单位得到一个函数图像，则该函数的解析式是______________
2、将y＝eq \f(1,2)sin x的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图像，
则f(x)＝________.
3、最大值为eq \f(1,2)，周期为eq \f(π,3)，初相为eq \f(π,4)的函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)解析式可以为___________________
4、简谐运动y＝eq \f(1,4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x－\f(π,12)))的振幅为________，周期为________，频率为________，初相为________．
5、已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f (π,2)))的图像如图所示，将f (x)的图像向左平移eq \f (π,3)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图像，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,24)))＝
6、将函数y＝sinx的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f (π,6)))的图像，则φ＝__________.
7、已知简谐运动f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．3，eq \f(π,6) B．3，eq \f(π,3)
C．6，eq \f(π,6) D．6，eq \f(π,3)
8、将函数f (x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f (π,3)))的图像向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)＝cs2x的图像，则a的最小值为( )
A．eq \f (π,3) B．eq \f (5π,12)
C．eq \f (2π,3) D．eq \f (π,12)
9、已知函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4))).
（1）用“五点法”画函数在一个周期内的图像；
（2）说出此图像是由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到的？
（3）求此函数的周期、振幅、初相；
（4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间．
10、已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．
（1）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
（2）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8)对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用；三角函数
正弦函数y＝sinx
余弦函数y＝csx
正切函数y＝tanx
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x∈R且x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最大值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
x＝2kπ(k∈Z)时，
ymax＝1；
无最值
最小值
x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－1
无最值
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调增区间
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))
(k∈Z)上递增；
在 [(2k－1)π，2kπ]
(k∈Z)上递增；
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))
(k∈Z)上递增
单调减区间
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))
(k∈Z)上递减
在 [2kπ，(2k＋1)π]
(k∈Z)上递减
无
图像
函数
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
图像
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z
对称轴
直线x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
直线x＝kπ，k∈Z
无对称轴
ωx＋φ
0
eq \f (π,2)
π
eq \f (3π,2)
2π
x
eq \f (0－φ,ω)
eq \f (\f (π,2)－φ,ω)
eq \f (π－φ,ω)
eq \f (\f (3π,2)－φ,ω)
eq \f (2π－φ,ω)
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝eq \f(2π,ω)
奇偶性
φ＝kπ，k∈Z时是奇函数；φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z时是偶函数；
当φ≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)时是非奇非偶函数
单调性
单调增区间可由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z得到，
单调减区间可由eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z得到