专题07 二倍角公式及其相关（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
倍角公式：
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，
；
二、考点解读
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）公式S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
（3）公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)；
【说明】1、倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍角等等；
2、公式的变形与应用
（1）降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).
（2）升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
2、半角公式
sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2)).
cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2)).
taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))(无理形式).
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)(有理形式).
【说明】半角公式中的符号的确定：
（1）当给出角α的具体范围时，先求eq \f(α,2)的范围，然后根据eq \f(α,2)范围确定符号；
（2）如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号；
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2、半角公式；
3、三角变换的灵活应用；
题型1、结合二倍角公式给角求值
例1、（1）cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值为（ ）
A．eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4)
C．eq \f(1,8) D．－eq \f(1,8)
（2）求下列各式的值
①cs 72°cs 36°；②eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).
【说明】所给角为非特殊角的三角函数式求值，要结合诱导公式、同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，化为适用二倍角公式的形式，进而求值；
对于给角求值问题，一般有两类：
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式；
题型2、结合二倍角公式给值求值
例2、（1）若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan 2α＝eq \f(cs α,2－sin α)，则tan α＝( )
A．eq \f(\r(15),15) B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(15),3)
（2）已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α①求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值；②求eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的值；
【说明】解决给值求值问题的方法，给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
（1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
（2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
（3）注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))；
②cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
题型3、结合二倍角公式给值求角
例3、（1）已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))，求α.
（2）写出一个使等式eq \f(sin α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))))＋eq \f(cs α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))))＝2成立的α的值为________.
【说明】解决条件求值（角）问题的方法：
1、有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系；
2、当遇到eq f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)±x))这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通：
cs 2x＝eq sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
类似的变换还有：cs 2x＝eq sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))，eq sin 2x＝cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1，
eq sin 2x＝－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝1－2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))等.；
3、特别注意：根据三角比结合“角的取值范围”求角；
题型4、利用二倍角公式化简
例4、（1）化简：eq \f(1,cs 2θ)－tan θtan 2θ.
（2）化简：eq \f(sin 2x,2cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tan xtan \f(x,2))).
【说明】1、解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要切化弦后再进行变形．
2、对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq \f(3,2)α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2·α,2n＋1)(n为正整数)．
3、二倍角余弦公式的运用：在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cs 2α＝2cs2α，②cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，③1－cs 2α＝2sin2α，④sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
4、对于三角函数式的化简有下面的要求：
（1）能求出值的应求出值；（2）使三角比值种数尽量少；（3）使三角中的项数尽量少；
（4）尽量使分母不含有三角比值；（5）尽量使被开方数不含三角比值；
题型5、利用二倍角公式证明
例5、（1）cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B；
（2）求证：eq \f(3－4cs 2A＋cs 4A,3＋4cs 2A＋cs 4A)＝tan4A.
【说明】证明问题的原则及一般步骤：
1、观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想；
2、证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的；
题型6、利用半角公式求值
例6、（1）已知sin θ＝eq \f(4,5)，且eq \f(5π,2)<θ<3π，求cs eq \f(θ,2)和tan eq \f(θ,2)；
（2）已知cs α＝eq \f(1,3)，α为第四象限角，求sin eq \f(α,2)，cs eq \f(α,2)，tan eq \f(α,2).
【说明】利用半角公式求值的思路：
1、观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
2、明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
3、选公式：涉及半角公式的正切值时，常用taneq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,2)，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)计算；
题型7、利用半角公式化简与证明
例7、（1）①化简：eq \f(（1－sin α－cs α）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))),\r(2－2cs α))(－π<α<0).
②化简eq \f(（1＋sin α＋cs α）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))),\r(2＋2cs α))(π<α<2π).
【说明】 探究三角比值式化简的要求、思路和方法：
1、化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角比值种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角比值；⑤尽量使被开方数不含三角函数；
2、化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法；
（2）证明：eq \f(2sin xcs x,（sin x＋cs x－1）（sin x－cs x＋1）)＝eq \f(1＋cs x,sin x).
【说明】探究证明三角恒等式的原则与步骤：
1、观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单、高次降低次、复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想；
2、证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的；
题型8、倍角 半角公式的综合运用
例8、若α∈(0，π)，cs α，sin α是一元二次方程x2＋eq \f(1,3)x－eq \f(4,9)＝0的两个实根，则cs 2α等于( )
A．eq \f(\r(17),9) B．±eq \f(\r(17),9)
C．－eq \f(\r(17),9) D．eq \f(\r(17),3)
例9、在△ABC中，若sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
例10、已知函数f(x)＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，若a＝f(lg 5)，b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,5)))，则下列等式成立的序号是
①a＋b＝0 ；②a－b＝0；③a＋b＝1；④a－b＝sin(2lg 5)
例11、如图，在平面直角坐标系xOy中，角αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)<α<\f(π,2)))的顶点是坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转eq \f(π,3)，交单位圆O于点B(x2，y2).
（1）若x1＝eq \f(3,5)，求x2的值；
（2）分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为C，D，记△AOC，△BOD的面积分别为S1，S2.若S1＝2S2，求角α的大小；
例12、已知△ABC的三个内角为A，B，C，f(B)＝4cs Bsin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(B,2)))＋eq \r(3)cs 2B－2cs B.
（1）若f(B)＝2，求B的大小；
（2）若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．
1、eq \f(1－tan2\f(π,8),tan \f(π,8))＝________.
2、cs 20°cs 40°cs 80°＝________.
3、若tan θ＝－2，则eq \f(sin θ（1＋sin 2θ）,sin θ＋cs θ)＝
4、化简eq \r(1＋sin 2)的结果是
5、在△ABC中，若cs A＝eq \f(1,3)，则sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝________.
6、已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(3,5)，则sin 2x的值等于________．
7、数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝eq \f(\r(5)－1,2)的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则eq \f(m\r(4－m2),2cs227°－1) 等于( )
A．4 B.eq \r(5)＋1
C．2 D.eq \r(5)－1
8、设sin α＝eq \f(1,3)，2π<α<3π，则sin eq \f(α,2)＋cs eq \f(α,2)等于( )
A．－eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(4,3) D．－eq \f(\r(3),3)
9、已知eq \f(π,2)＜α＜π，cs α＝－eq \f(4,5).
（1）求tan α的值；
（2）求sin 2α＋cs 2α的值．
10、已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(12,13)，求cs eq \f(α－β,2)与taneq \f(α－β,2)的值.