2024年山东省烟台市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年山东省烟台市中考数学试卷【含解析】，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中的无理数是（ ）
A．B．3.14C．D．
2．下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3B．a12÷a2C．a3+a3D．（a2）3
3．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞3B．a﹣c＜0C．|a|＞|c|D．﹣2a＜﹣2b
5．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）
A．0.15×103纳米B．1.5×104纳米
C．15×10﹣5纳米D．1.5×10﹣6纳米
6．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为S甲2和S乙2，则S甲2和S乙2的大小关系是（ ）
≈
A．S甲2＞S乙2B．S甲2＜S乙2C．S甲2＝S乙2D．无法确定
7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
9．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（ ）
A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺
10．如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝2cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．关于x的不等式m﹣≤1﹣x有正数解，m的值可以是 （写出一个即可）．
13．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 ．
14．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
15．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为 ．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（6分）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（+）÷，再求值．
18．（7分）“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：0≤t＜2；B组：2≤t＜4；C组：4≤t＜6；D组：6≤t＜8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，a的值为 ，D组对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
19．（8分）根据手机的素材，探索完成任务．
20．（8分）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
21．（9分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于点A（，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求n的值及△BCG的面积．
22．（10分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．
23．（11分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长．
24．（13分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC＝OA，AB＝4，对称轴为直线l1：x＝﹣1．将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．
（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；
（2）如图1，点F的坐标为（﹣6，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；
（3）如图2，点H的坐标为（0，﹣2），动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年山东省烟台市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。
1．下列实数中的无理数是（ ）
A．B．3.14C．D．
【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案．
【解答】解：是分数，3.14是有限小数，＝4是整数，它们不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：C．
【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2•a3B．a12÷a2C．a3+a3D．（a2）3
【分析】根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可．
【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，故选项不符合题意；
B．a12÷a2＝a12﹣2＝a10，故选项不符合题意；
C．a3+a3＝2a3，故选项不符合题意；
D．（a2）3＝a2×3＝a6，故选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
3．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图和轴对称图象与中心对称图形的定义，可得答案．
【解答】解：若取走标有①的小正方体，则左视图只有上下两个正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图以及轴对称图象与中心对称图形的定义，关键是从左边看得到的图形是左视图．
4．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞3B．a﹣c＜0C．|a|＞|c|D．﹣2a＜﹣2b
【分析】如图所示，﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜3＜c＜4，|c|＞|a|＞|b|，所以b+c＜3，a﹣c＜0，﹣2a＞﹣2b．
【解答】解：如图所示，﹣3＜a＜﹣2＜b＜﹣1＜3＜c＜4，|c|＞|a|＞|b|，故C不符合题意，
∴b+c＜3，故A不符合题意，
a﹣c＜0，故B符合题意，
﹣2a＞﹣2b，故D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，关键是从数轴上提取数学信息．
5．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）
A．0.15×103纳米B．1.5×104纳米
C．15×10﹣5纳米D．1.5×10﹣6纳米
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：由题意可得1毫米＝1百万纳米＝106纳米，
则0.015毫米＝1.5×10﹣2×106纳米＝1.5×104纳米，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数及较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为S甲2和S乙2，则S甲2和S乙2的大小关系是（ ）
≈
A．S甲2＞S乙2B．S甲2＜S乙2C．S甲2＝S乙2D．无法确定
【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
【解答】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
∴S甲2＞S乙2．
故选：A．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：第一个图形射线OP为∠AOB的平分线；
第二个图形射线OP为∠AOB的平分线；
第三个图形射线OP为∠AOB的平分线；
第四个图形射线OP为∠AOB的平分线；
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，正确地识别图形是解题的关键．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先证明△EOF∽△DOC，得出∠OFE＝45°，再证明△ABE∽△GDE，得出，由此推出△DEG≌△CFG（SAS），得到GE＝GF，据此求解即可．
【解答】解：设AC与BD的交点为O，
∵正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，
∴OD＝OC，∠ODC＝∠OCD＝45°，DE＝CF，
∴OE＝OF，
∵∠EOF＝∠DOC，，
∴△EOF∽△DOC，
∴∠OFE＝∠OCD＝45°，
∵点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，
∴，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ABE∽△GDE，
∴，
∴，
∴△DEG≌△CFG（SAS），
∴GE＝GF，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握性质与判定方法是解题的关键．
9．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（ ）
A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺
【分析】设每天减少x尺布，因为第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，可得5﹣29x＝1，解得x的值即得每天减少多少尺布，将30天织的布相加可得30天一共织了多少布．
【解答】解：设每天减少x尺布，
∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，
∴5﹣29x＝1，
解得：x＝，
∴5+5﹣+5﹣+……+1＝5×29+1﹣×＝90（尺），
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意列方程求解．
10．如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝2cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求得菱形的面积为cm2，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得重叠部分的面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．
【解答】解：如图所示，设EG，HF交于点O，
∵菱形EFGH，∠E＝60°，
∴HG＝GF，∠HGF＝∠E＝60°，
∴△HFG是等边三角形，
∵cm，∠E＝60°，
∴∠OEF＝30°，
∴cm，
∴（cm2），
当0≤t≤3时，重合部分为△MNG，如图所示，
依题意，△MNG为等边三角形，
运动时间为t，则（cm），
∴（cm2）；
当3＜t≤6时，如图所示，
依题意，EM＝EG﹣t＝6﹣t（cm），则（cm），
∴（cm2），
∴S＝S菱形形EFGH﹣S△EKJ＝（cm2）；
∵EG＝6cm＜BC，
∴当6＜t≤8时，cm2；
当8＜t≤11时，同理可得，（cm2）；
当11＜t≤14时，同理可得，（cm2）；
综上所述，当0≤t≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3＜t≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6＜t≤8时，函数图象为一条线段，当8＜t≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11＜t≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x＞1 ．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求得答案．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．关于x的不等式m﹣≤1﹣x有正数解，m的值可以是 0（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】解含m的一元一次不等式，根据题意求得m的取值范围，然后写出一个符合题意的m的值即可．
【解答】解：原不等式整理得：x≤1﹣m，
解得：x≤2﹣2m，
∵原不等式有正数解，
∴2﹣2m＞0，
解得：m＜1，
则m的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查解一元一次不等式，结合已知条件求得m的范围是解题的关键．
13．若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 6 ．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，
∴2m2﹣4m＝1，m+n＝﹣＝2，mn＝﹣，
∴3m2﹣4m+n2
＝2m2﹣4m+m2+n2
＝1+（m+n）2﹣2mn
＝1+22﹣2×（﹣）
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
14．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
【分析】根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM＝FM，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝∠E＝＝120°，AB＝AF＝EF＝DE＝6，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE＝＝30°，
∴∠BFD＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°，
∴BM＝AB＝3，
∴BF＝2BM＝6，
设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得，
2πr＝，
解得r＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及弧长的计算方法是正确解答的关键．
15．如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，连接AD'，BD'，则△ABD′面积的最小值为 20﹣16 ．
【分析】先确定点D'是以E为圆心，CD为直径圆周上的一点，过点E作EH⊥AB交直线AB于点H，交⊙E于点G，过点D'作D'M⊥AB于点M，连接EM，推出∴△ABD′面积＝4D'M，再求出D'M的最小值即可解决问题．
【解答】解：∵在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，
∴∠ABC＝60°，CD＝8，
∵E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，
∴D'E＝DE＝CE＝CD＝4，
∴点D'是以E为圆心，CD为直径圆周上的一点，作出⊙E，如图，
过点E作EH⊥AB交直线AB于点H，交⊙E于点G，过点D'作D'M⊥AB于点M，连接EM，
∵△ABD′面积＝AB•D'M，AB＝8，
∴△ABD′面积＝4D'M，
要求△ABD′面积的最小值，只要求D'M的最小值即可，
∵D'M＝D'M+D'E﹣4≥EM﹣4≥EH﹣4，
∴D'M的最小值为EH﹣4，
过点C作CN⊥AB于点N，
则EH＝CN，
在Rt△BCN中，
∵BC＝10，∠ABC＝60°，
CN＝BC•sin60°＝10×＝5，
∴EH＝5，
∴D'M的最小值为5﹣4，
∴△ABD′面积＝4（5﹣4）＝20﹣16，
故答案为：20﹣16．
【点评】本题考查翻折变换的性质，平行四边形的性质，平行线间的距离处处相等，圆的确定，直线与圆的位置关系，两点之间线段最短，垂线段最短，三角函数定义，找到△ABD′面积的最小值时，AB边上的高的位置是解题的关键．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ①②④ ．
【分析】利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤．
【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得
∴abc＞0，故①正确；
∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，
∴y＝﹣x2﹣2x+8，
当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9，
∴x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9），
又∵a＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9，
∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误；
∵，
∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴y1＝y2，故④正确；
由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下：
由，
解得，
∴A（2，0），B（﹣3，5），
由图形可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（6分）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（+）÷，再求值．
【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再根据计算器计算出m的值，代入运算即可．
【解答】解：（+）÷
＝（﹣）•
＝•
＝，
根据计算器可得m＝±＝±＝±2，
∵4﹣2m≠0，
∴m≠2，
当m＝﹣2时，
原式＝＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值和计算器—数的开方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．（7分）“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：0≤t＜2；B组：2≤t＜4；C组：4≤t＜6；D组：6≤t＜8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，a的值为 32 ，D组对应的扇形圆心角的度数为 28.8° ；
（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用A组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后求出C组的人数，从而补全统计图；
（2）用B组的人数除以总人数，求出a，再用360°乘以D组所占的百分比，从而得出D组对应的扇形圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）抽取额的人数有：10÷20%＝50（人），
C组的人数有：50﹣10﹣16﹣4＝20（人），
补全统计图如下：
（2）a%＝＝32%，即a＝32；
D组对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝28.8°；
故答案为：32，28.8°；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，
所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
19．（8分）根据手机的素材，探索完成任务．
【分析】任务一：根据题意直接求解即可；
任务二：过E作EF⊥AB于F，利用正切定义求得．
【解答】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝14°，
故答案为：冬至，14°；
任务二：过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，
在Rt△AFE中，，
∴AF＝EF•tan14°≈54×0.25＝13.5（米），
∵AB＝11×3.3＝36.3（米），
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米），
∴22.8÷3.3≈7（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．
20．（8分）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【分析】（1）根据单价每降低10元，每天可多售出4辆．可得单价每降低1元，每天可多售出0.4辆，那么单价每降低x元，每天可多售出0.4x辆．销售利润＝每台轮椅的销售利润×（原销售量+增加的销售量），把得到的函数关系式整理为顶点式，进而根据每辆轮椅的利润不低于180元得到自变量的取值范围，代入得到函数关系式可得最大利润；
（2）取y＝12160，代入（1）中得到的函数关系式，求得合适的x的解即可．
【解答】解：（1）y＝（200﹣x）（60+4×）
＝﹣0.4x2+20x+12000．
＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250
＝﹣0.4（x﹣25）2+12250．
∵200﹣x≥180，
∴x≤20．
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）．
答：y与x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元；
（2）12160＝﹣0.4（x﹣25）2+12250
0.4（x﹣25）2＝12250﹣12160
0.4（x﹣25）2＝90
（x﹣25）2＝225．
解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10．
∴售出轮椅的辆数为：60+4×＝64（辆）．
答：售出64辆轮椅．
【点评】本题考查二次函数的应用．得到降价后的销售量是解决本题的关键；根据取值范围得到函数的最大值是解决本题的易错点．
21．（9分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于点A（，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求n的值及△BCG的面积．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）作BG⊥y轴，CH⊥y轴，正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n．证明△GBE∽△HCE后利用相似比得到点B（3a，），则C（﹣2a，），根据一次函数图象上点的坐标特征列出方程组求出a、n，得到E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），依据S△BCG＝S△BDG+S△CDG计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（，a）在直线y＝x的图象上，
∴A（，），
∵点A（，）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n．
如图，作BG⊥y轴，CH⊥y轴，
∴BG∥CH，
∴△GBE∽△HCE，
∵BE：CE＝3：2，
∴，
设点B（3a，），则C（﹣2a，），
∵点BC在直线y＝x+n的图象上，
，
解得，
∴直线BC解析式为y＝x+1，
∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，
∴E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），
∴GD＝4，
∴S△BCG＝S△BDG+S△CDG＝＝10．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
22．（10分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
（3）若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．
【分析】（1）过点E作EM⊥CB延长线于点M，利用一线三垂直全等模型证明△ACD≌△DME，再证明BM＝EM即可；
（2）同（1）中方法证明△ACD≌△DME，再证明BM＝EM即可；
（3）过点E作EM⊥CB延长线于点M，求出EM，CE即可．
【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴BM＝DM﹣BD＝AC﹣BD＝BC﹣BD＝CD，
∴BM＝EM，
∵EM⊥CB，
∴，
故答案为：；
（2）补全图形如图，，理由如下：
过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴BM＝DM+BD＝AC+BD＝BC+BD＝CD，
∴BM＝EM，
∵EM⊥CB，
∴；
（3）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，
∴CM＝CD+DM＝3，
∴，
∴．
【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键．
23．（11分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据三角形的内角和定理求出∠CAB＝65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角对等边可得结论；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和切线长定理得到AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形求得CF＝2＝CP，AB＝13，进而可求解．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；
（2）DI＝AD＝BD，
连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACl，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI•cs45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°，
∴，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
＝AB+AF+CF+CP+BP
＝AB+AQ+BQ+2CF
＝2AB+2CF
＝2×13+2×2＝30．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
24．（13分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC＝OA，AB＝4，对称轴为直线l1：x＝﹣1．将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．
（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；
（2）如图1，点F的坐标为（﹣6，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；
（3）如图2，点H的坐标为（0，﹣2），动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明四边形FF′NM平行四边形，则FM+MN+DN＝F′N+ND′+MN＝F′D′+2＝+2＝3+2为最小；
（3）当点P（P′）在BE的右侧时，∠PEH＝2∠DHE，则EP′和HE关对称轴l2对称，求出直线EP′的表达式为：y＝2（x﹣1）﹣4，即可求解；当点P在BE的左侧时，由NH＝NE，求出N（0，﹣），即可求解．
【解答】解：（1）设点A、B的坐标分别为：（t，0）、（t+4，0），
则x＝﹣1＝（t+t+4），
解得t＝﹣3，
即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），
∵OC＝OA，则点C（0，3），
则抛物线y1得表达式为：y1＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则y1＝﹣x2﹣2x+3；
根据图形的对称性，y2＝x2+2x﹣3；
（2）作点D关于l2的对称点D′（2，﹣3），将点F向右平移2个单位（MN＝2），连接D′F′交直线l2于点N，过点N作NM⊥l1交于点M，连接FM，
∵F′F∥MN，FF′＝MN，则四边形FF′NM平行四边形，则FM＝F′N，
则FM+MN+DN＝F′N+ND′+MN＝F′D′+2＝+2＝3+2为最小；
（3）由抛物线y2的表达式知，点D（0，﹣3）、点E（1，﹣4），
由点H、E的坐标得，直线HE的表达式为：y＝﹣2x﹣2，
当点P（P′）在BE的右侧时，
∵∠PEH＝2∠DHE，则EP′和HE关对称轴l2对称，
则直线EP′的表达式为：y＝2（x﹣1）﹣4，
联立上式和抛物线y2得表达式得：2（x﹣1）﹣4＝x2+2x﹣3，
解得：x＝1（舍去）或3，
即点P′（3，0）；
当点P在BE的左侧时，见如图右侧放大图，设直线PE交y轴于点N，
∵∠PEH＝2∠DHE，
过点E（1，﹣4）作∠PEH的角平分线EK交HD于点K，
作HE的中垂线JK，交HD于点J，交HE于点L，过点E作EW⊥HD交于点W
则∠JHL＝∠JEH＝∠EHJ＝α，
由点H、E的坐标得，直线HE的表达式为：y＝﹣2x﹣2，
则点L（，﹣3），
直线JL的表达式为：y＝（x﹣）﹣3＝x﹣，
则点J（0，﹣），则HJ＝JF＝，
∵∠JHL＝∠JEH＝∠EHJ＝α，∠EKJ＝∠HKF，
∴△EKJ∽△HKE，
则＝，
设KJ＝m，则KE＝4m，
则点K（0，﹣﹣m），
在Rt△KEW中，KW2+WE2＝KE2，
即（﹣﹣m+4）2+1＝4m2，
解得：m＝，
则点K（0，﹣），
由点K、E的坐标得，直线KE的表达式为：y＝﹣x﹣，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x﹣，
解得：x＝，
则点P（，﹣）；
综上，点P的坐标为：（3，0）或（，﹣）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/20 7:28:22；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433x
﹣4
﹣3
﹣1
1
5
y
0
5
9
5
﹣27
探究太阳能热水器的安装
素材一
太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．

素材二
某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°．
sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25
sin29°≈0.48，cs29°≈0.87，tan29°≈0.55
sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°＝0.94
sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三
如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．

问题解决
任务一
确定使用数据
要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 日（填冬至或夏至）时，α为 （填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二
探究安装范围
利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
x
﹣4
﹣3
﹣1
1
5
y
0
5
9
5
﹣27
探究太阳能热水器的安装
素材一
太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．

素材二
某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°．
sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25
sin29°≈0.48，cs29°≈0.87，tan29°≈0.55
sin43°≈0.68，cs43°≈0.73，tan43°＝0.94
sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三
如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．

问题解决
任务一
确定使用数据
要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 冬至 日（填冬至或夏至）时，α为 14° （填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二
探究安装范围
利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．