2023年山东省烟台市中考数学试卷（含解析）

2023年山东省烟台市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列四种图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，对正方体进行两次切割，得到如图所示的几何体，则图几何体的俯视图为(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大月日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是(    )

A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差

8.  如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法判断

9.  如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于和之间，则以下结论：；；若图象经过点，，则；若关于的一元二次方程无实数根，则其中正确结论的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形，，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位目前，北斗定位服务日均使用量已超过亿次亿用科学记数法表示为______ ．

12.  一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为______ ．

13.  如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点，，，，连接，则的度数为______ ．

14.  如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为；
按键的结果为；
按键的结果为；
按键的结果为．
以上说法正确的序号是______ ．

15.  如图，在直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为，则的值为______ ．

16.  如图，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止设点的运动路程为，线段的长度为，图是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为______ ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．

18.  本小题分
“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．

请将条形统计图补充完整；
在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为______ ；若该市有名中学生参加本次活动，则选择大学的大约有______ 人；
甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．

19.  本小题分
风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图为测量示意图已知斜坡长米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度参考数据：，，

 

20.  本小题分
【问题背景】
如图，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．
【问题提出】
在矩形中，，，求线段的长；
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图经过推理、计算可求出线段的长请你任选其中一种方案求线段的长．

 

21.  本小题分
中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶孙子算经、周髀算经是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣某书店的孙子算经单价是周髀算经单价的，用元购买孙子算经比购买周髀算经多买本．
求两种图书的单价分别为多少元？
为等备“数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共本，且购买的周髀算经数量不少于孙子算经数量的一半由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？

22.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且．
求证：是的切线；
已知的半径与菱形的边长之比为：，求的值．

23.  本小题分
如图，点为线段上一点，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且在线段上取一点，使，连接，．
如图，求证：；
如图，若，的延长线恰好经过的中点，求的长．

 

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
求直线及抛物线的表达式；
在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B.和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C.，和是同类二次根式，故本选项符合题意；
D.，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出答案即可．
本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.原图是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.原图不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集为：无解．
在数轴上表示为：．
故选：．
利用解一元一次不等式组的方法把解集求出来，再在数轴上表示出来即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：图的几何体的俯视图为：
．
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲班视力值的平均数为：，
乙班视力值的平均数为：，
所以甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，故选项A说法错误，不符合题意；
B.甲班视力值的中位数为，乙班视力值的中位数为，
所以甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，故选项B说法错误，不符合题意；
C.甲班视力值的极差为，乙班视力值的极差为，
所以甲班视力值的极差等于乙班视力值的极差，故选项C说法错误，不符合题意；
D.甲班视力值的方差为，
乙班视力值的方差为，
所以甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故选项D说法正确，符合题意；
故选：．
根据平均数、中位数、极差及方差的定义列式计算即可．
本题考查了折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，也考查了中位数、平均数，极差及方差的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，令正方形的边长为，

则空白部分的面积为，
则阴影部分的面积为，
所以小球停在阴影部分的概率为停在空白部分的概率为，
故选：．
令正方形的边长为，分别求出空白部分的面积与阴影部分的面积，继而可得答案．
本题考查几何概率的计算，涉及圆的面积在求面积中的应用，关键是正确计算出空白部分和阴影部分的面积．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点的坐标为，
，
，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
，
当时，，
，
故正确，符合题意；
由图象可得：当时，，
，
，
故错误，不符合题意；
直线是抛物线的对称轴，
设，两点横坐标与对称轴的距离为、，
则，
，
，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
，
故正确，符合题意；
关于的一元二次方程无实数根，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意．
故选：．
利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；
当时，，根据开口方向即可判断；
利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为、，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；
根据根的判别式即可判断．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知：点，点，点，
，，，，，，，，，，，
顶点的坐标为，即，
故选：．
根据位似变换的概念、点的坐标的变化情况找出点的横纵坐标的变化规律，根据规律解答即可．
本题考查的是位似变换、点的坐标的变化规律，根据点的坐标的变化情况正确找出规律是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将亿用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，
由题意得：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据两直线平行，内错角相等得到，由的度数求出的度数，即可得到的度数．
本题考查了平行线的性质，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
 

13.【答案】 

【解析】解：设量角器的圆心是，连接，，
，
．
故答案为：．
由图形求出的度数，由圆周定理得到．
本题考查圆周角定理，关键是求出的度数，由圆周角定理即可得到答案．
 

14.【答案】 

【解析】解：按键的结果为；故正确，符合题意；
按键的结果为；故不正确，不符合题意；
按键的结果为；故正确，符合题意；按键的结果为；故不正确，不符合题意；
综上：正确的有．
故答案为：．
根据计算器按键，写出式子，进行计算即可．
本题主要考查了科学计算器的使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，

设的半径为，
与轴相切于点，
，，
设，
则点的坐标为，
，
，
，
即：，
．
故答案为：．
过点作轴于点，设的半径为，则，，设，则点的坐标为，据此可得，然后再根据的面积为可求出，据此可得此题的答案．
此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积计算公式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，

，，，
在中，，，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，当点与重合时，在图中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得然后等面积法即可求解．
本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式


，
，
解得：，
是使不等式成立的正整数，且，，
，
原式． 

【解析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，正确化简分式是解题关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：本次抽取的学生有：人，
其中选择的学生有：人，
补全的条形统计图如右图所示；
在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：，
该市有名中学生参加本次活动，则选择大学的大约有：人，
故答案为：，；
树状图如下所示：

由上可得，一共有种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有种，
两人恰好选取同一所大学的概率为．
根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出选择的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数和该市有名中学生参加本次活动，选择大学的学生人数；
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率．
本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
 

19.【答案】解：延长交于点，延长交于点，

由题意得：，，米，，
设米，
在中，，米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
解得：，
米，
米，
该风力发电机塔杆的高度约为米． 

【解析】延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，米，，然后设米，在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：方案一：连接，如图，

四边形是矩形，
，，
由作图知，
由翻折的不变性，知，，，
，，又，
≌，
，
设，则，，
在中，即，
解得，
线段的长为；
方案二：将绕点旋转至处，如图，

四边形是矩形，
，，
由作图知，
由旋转的不变性，知，，，
则，
、、共线，
由翻折的不变性，知，
，
，
设，则，，
在中，，即，
解得，
线段的长为． 

【解析】方案一：连接，由翻折的不变性，知，，证明≌，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可；
方案二：将绕点旋转至处，证明，推出，设，同方案一即可求解．
本题考查了矩形的性质，作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
 

21.【答案】解：设周髀算经的单价是元，则孙子算经的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：孙子算经的单价是元，周髀算经的单价是元；
设购买本孙子算经，则购买本周髀算经，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种图书共花费元，则，
，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，此时．
答：当购买本孙子算经、本周髀算经时，总费用最少． 

【解析】设周髀算经的单价是元，则孙子算经的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买孙子算经比购买周髀算经多买本，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出周髀算经的单价，再将其代入中，即可求出孙子算经的单价；
设购买本孙子算经，则购买本周髀算经，根据购买的周髀算经数量不少于孙子算经数量的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买这两种图书共花费元，利用总费用单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】证明：连接，则，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
是半径，且，
是的切线．
解：，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
的值是． 

【解析】连接，则，由垂径定理得，则，由菱形的性质得，，则，所以，即可证明是的切线；
由，，得，设，则，由勾股定理得，则，再证明，则．
此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：、分别是以，为底边的等腰三角形，
，，，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
；
解：，，，
，
，
，
作，交于，
，，
，
，，
，
，
设，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得或舍去，
的长为． 

【解析】根据等腰三角形的性质得出，，，进而得出，得出，即可证得≌，得出；
作，交于，即可证得，，根据三角形中位线定理求得，设，则，，根据三角形相似的性质得到，解得．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，作出辅助线构建向上三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线的对称轴，，
，，
将代入直线，得，
解得，
直线的解析式为；
将，代入，得
，解得，
抛物线的解析式为；
存在点，
直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点，
当时，，
，
当时，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标为；
当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，解得或，
点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或；
如图，在上取点，使，连接，

，
，
，
，
又，
∽，
，即，
，
当点、三点共线时，的值最小，即为线段的长，
，，
，
的最小值为． 

【解析】根据对称轴，，得到点及的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
先求出点的坐标，再分两种情况：当时，求出直线的解析式为，解方程组
，即可得到点的坐标；当时，求出直线的解析式为，解方程组
，即可得到点的坐标；
在上取点，使，连接，证得，又，得到∽，推出，进而得到当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．