2023年山东省烟台市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年山东省烟台市中考数学试卷（含答案解析），共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省烟台市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的倒数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．（2a2）3＝6a6 C．a2•a3＝a5 D．a8÷a2＝a4
5．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（　　）

A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
8．（3分）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（　　）

A．P1＜P2 B．P1＝P2 C．P1＞P2 D．无法判断
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（　　）

A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为 　 　．

13．（3分）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 　 　．

14．（3分）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
①按键的结果为4；
②按键的结果为8；
③按键的结果为0.5；
④按键的结果为25．
以上说法正确的序号是 　 　．

15．（3分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 　 　．

16．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（6分）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．
18．（7分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．

（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 　 　；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 　 　人；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
19．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）

20．（8分）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．
【问题提出】
在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．

21．（9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．

23．（11分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．

24．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．


2023年山东省烟台市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。
1．（3分）﹣的倒数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出答案即可．
【解答】解：A．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝2，和是同类二次根式，故本选项符合题意；
D．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
3．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．原图是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．（2a2）3＝6a6 C．a2•a3＝a5 D．a8÷a2＝a4
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，故此选项不合题意；
B．（2a2）3＝8a6，故此选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
D．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用解一元一次不等式组的方法把解集求出来，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解不等式①得：m≥1，
解不等式②得：m＜﹣1，
故不等式组的解集为：无解．
在数轴上表示为：．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握．
6．（3分）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】解：图②的几何体的俯视图为：
．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
7．（3分）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（　　）

A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
【分析】根据平均数、中位数、极差及方差的定义列式计算即可．
【解答】解：A．甲班视力值的平均数为：＝4.7，
乙班视力值的平均数为：＝4.7，
所以甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，故选项A说法错误，不符合题意；
B．甲班视力值的中位数为＝4.7，乙班视力值的中位数为＝4.7，
所以甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，故选项B说法错误，不符合题意；
C．甲班视力值的极差为5.0﹣4.4＝0.6，乙班视力值的极差为5.0﹣4.4＝0.6，
所以甲班视力值的极差等于乙班视力值的极差，故选项C说法错误，不符合题意；
D．甲班视力值的方差为×[（4.4﹣4.7）2+（4.6﹣4.7）2+4×（4.7﹣4.7）2+（4.8﹣4.7）2+（5.0﹣4.7）2]＝0.025，
乙班视力值的方差为×[（4.4﹣4.7）2+（4.5﹣4.7）2+（4.6﹣4.7）2+2×（4.7﹣4.7）2+（4.8﹣4.7）2+（4.9﹣4.7）2+（5.0﹣4.7）2]＝0.035，
所以甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，也考查了中位数、平均数，极差及方差的定义．
8．（3分）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（　　）

A．P1＜P2 B．P1＝P2 C．P1＞P2 D．无法判断
【分析】令正方形的边长为2a，分别求出空白部分的面积与阴影部分的面积，继而可得答案．
【解答】解：如图，令正方形的边长为2a，

则空白部分的面积为2××π•a2+2（a2﹣×π•a2）＝πa2+2a2﹣＝2a2，
则阴影部分的面积为（2a）2﹣2a2＝4a2﹣2a2＝2a2，
所以小球停在阴影部分的概率为P1＝停在空白部分的概率为P2，
故选：B．
【点评】本题考查几何概率的计算，涉及圆的面积在求面积中的应用，关键是正确计算出空白部分和阴影部分的面积．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；
②当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，根据开口方向即可判断；
③利用抛物线的对称轴，设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；
④根据根的判别式即可判断．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），
∴﹣，
∴，即ab＞0，
由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，
故①正确，符合题意；
②由图象可得：当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
∵a＜0，
∴2b+c＜0，
故②错误，不符合题意；
③∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，
则，
，
∴d2＞d1，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴y1＞y2，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0，
∴b2﹣4ac+12a＜0，
∴b2﹣4ac＜﹣12a，
∴4ac﹣b2＞12a，
∵，
∴m＜3，
故④正确，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
10．（3分）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（　　）

A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
【分析】根据位似变换的概念、点的坐标的变化情况找出点的横纵坐标的变化规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意可知：点A1（﹣2，1），点A4（﹣1，2），点A7（0，3），
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴顶点A100的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、点的坐标的变化规律，根据点的坐标的变化情况正确找出规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 　3.6×1011　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将3600亿用科学记数法表示为3.6×1011．
故答案为：3.6×1011．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为 　78°　．

【分析】根据两直线平行，内错角相等得到∠2＝∠BCD，由∠1的度数求出∠BCD的度数，即可得到∠2的度数．
【解答】解：如图，
由题意得：AB∥CD，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝102°，
∴∠BCD＝78°，
∴∠2＝78°，
故答案为：78°．

【点评】本题考查了平行线的性质，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
13．（3分）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 　52.5°　．

【分析】由图形求出∠BOD的度数，由圆周定理得到∠BAD＝∠BOD．
【解答】解：设量角器的圆心是O，连接OD，OB，
∵∠BOD＝130°﹣25°＝105°，
∴∠BAD＝∠BOD＝52.5°．
故答案为：52.5°．

【点评】本题考查圆周角定理，关键是求出∠BOD的度数，由圆周角定理即可得到答案．
14．（3分）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
①按键的结果为4；
②按键的结果为8；
③按键的结果为0.5；
④按键的结果为25．
以上说法正确的序号是 　①③　．

【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可．
【解答】解：①按键的结果为＝4；故①正确，符合题意；
②按键的结果为4+（﹣2）3＝﹣4；故②不正确，不符合题意；
③按键的结果为sin（45°﹣15° ）＝sin30°＝0.5；故③正确，符合题意；④按键的结果为（3﹣）×22＝10；故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查了科学计算器的使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 　24　．

【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，设⊙A的半径为r，则AC＝AB＝r，BC＝2r，设AE＝a，则点C的坐标为（a，2r），据此可得k＝2ar，然后再根据△ACD的面积为6可求出ar＝12，据此可得此题的答案．
【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，

设⊙A的半径为r，
∵⊙A与x轴相切于点A，
∴AC＝AB＝r，BC＝2r，
设AE＝a，
则点C的坐标为（a，2r），
∴k＝2ar，
∵，
∴，
即：ar＝12，
∴k＝2ar＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积计算公式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
16．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 　　．

【分析】过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ．然后等面积法即可求解．
【解答】解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，

∴BC＝7，BQ＝4，QC＝3，
在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4，
∴AQ＝，
∵S△ABC＝AB×CG＝AQ×BC，
∴CG＝，．
故答案为：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（6分）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．
【分析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝•
＝，
∵≤1，
解得：a≤3，
∵a是使不等式≤1成立的正整数，且a﹣2≠0，a﹣3≠0，
∴a＝1，
∴原式＝＝﹣．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，正确化简分式是解题关键．
18．（7分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．

（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 　14.4°　；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 　200　人；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出选择B的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数和该市有1000名中学生参加本次活动，选择A大学的学生人数；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：14÷28%＝50（人），
其中选择B的学生有：50﹣10﹣14﹣2﹣8＝16（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为：360°×＝14.4°，
该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有：1000×＝200（人），
故答案为：14.4°，200；
（3）树状图如下所示：

由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种，
∴两人恰好选取同一所大学的概率为＝．

【点评】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
19．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）

【分析】延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G，根据题意可得：PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53米，AF＝BG，然后设AF＝BG＝x米，在Rt△CDF中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DF的长，再在Rt△PAF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，最后在Rt△BPG中，利用锐角三角函数的定义求出PG的长，从而求出FG的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G，

由题意得：PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53米，AF＝BG，
设AF＝BG＝x米，
在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米，
∴DF＝CD＝8（米），
在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，
∴PF＝AF•tan45°＝x（米），
在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，
∴GP＝BG•tan18°≈0.325x（米），
∴FG＝PF+PG＝x+0.325x＝1.325x（米），
∴1.325x＝53，
解得：x＝40，
∴PF＝40米，
∴PD＝PF﹣DF＝40﹣8＝32（米），
∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（8分）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．
【问题提出】
在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．

【分析】方案一：连接OQ，由翻折的不变性，知AP＝AB＝3，OP＝OB＝2.5，证明△QPO≌△QCO（HL），推出PQ＝CQ，设PQ＝CQ＝x，在Rt△ADQ中，利用勾股定理列式计算求解即可；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，证明∠OAQ＝∠R，推出QA＝QR，设CQ＝x，同方案一即可求解．
【解答】解：方案一：连接OQ，如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
由作图知BO＝OC＝BC＝2.5，
由翻折的不变性，知AP＝AB＝3，OP＝OB＝2.5，∠APO＝∠B＝90°，
∴OP＝OC＝2.5，∠QPO＝∠C＝90°，又OQ＝OQ，
∴△QPO≌△QCO（HL），
∴PQ＝CQ，
设PQ＝CQ＝x，则AQ＝3+x，DQ＝3﹣x，
在Rt△ADQ中，AD2+QD2＝AQ2.即52+（3﹣x）2＝（3+x）2，
解得x＝，
∴线段CQ的长为；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
由作图知BO＝OC＝BC＝2.5，
由旋转的不变性，知CR＝AB＝3，∠BAO＝∠R，∠B＝∠OCR＝90°，
则∠OCR+∠OCD＝90°+90°＝180°，
∴D、C、R共线，
由翻折的不变性，知∠BAO＝∠OAQ，
∴∠OAQ＝∠R，
∴QA＝QR，
设CQ＝x，则QA＝QR＝3+x，DQ＝3﹣x，
在Rt△ADQ中，AD2+QD2＝AQ2，即52+（3﹣x）2＝（3+x）2，
解得x＝，
∴线段CQ的长为．
【点评】本题考查了矩形的性质，作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
21．（9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
【分析】（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是x元，利用数量＝总价÷单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入x中，即可求出《孙子算经》的单价；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，利用总费用＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是x元，
根据题意得：﹣＝5，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x＝×40＝30．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，
根据题意得：80﹣m≥m，
解得：m≤．
设购买这两种图书共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m），
∴w＝﹣8m+2560，
∵﹣8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤，且m为正整数，
∴当m＝53时，w取得最小值，此时80﹣m＝80﹣53＝27．
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．

【分析】（1）连接OA，则∠OAF＝∠OFA，由垂径定理得OF⊥AD，则∠AGF＝90°，由菱形的性质得AB＝AD，AC⊥BD，则∠BAE＝∠DAE，所以∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，即可证明AB是⊙O的切线；
（2）由＝，AD＝2AG，得＝，设AG＝4m，则OF＝OA＝5m，由勾股定理得OG＝＝3m，则FG＝2m，再证明∠ADB＝∠AFG，则tan∠ADB＝tan∠AFG＝＝2．
【解答】（1）证明：连接OA，则OF＝OA，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵AG＝GD，
∴OF⊥AD，
∴∠AGF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，
∴OA是⊙O半径，且AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵＝，AD＝2AG，
∴＝，
∴＝，
设AG＝4m，则OA＝5m，
∴OF＝OA＝5m，
∵∠AGO＝90°，
∴OG＝＝＝3m，
∴FG＝OF﹣OG＝5m﹣3m＝2m，
∵∠AED＝∠AGF＝90°，
∴∠ADB＝∠AFG＝90°﹣∠DAE，
∴tan∠ADB＝tan∠AFG＝＝＝2，
∴tan∠ADB的值是2．

【点评】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．（11分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，进而得出AD∥CE，得出∠ADC＝∠DCE，即可证得△DCE≌△FEB（SAS），得出DE＝BF；
（2）作GH∥CD，交CE于H，即可证得DG＝EG，GH∥BE，根据三角形中位线定理求得GH＝1，设CE＝BE＝m，则EH＝，FH＝，根据三角形相似的性质得到，解得m＝2+2．
【解答】（1）证明：∵△ACD、△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形，
∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠A＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB，
∴AD∥CE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵EF＝AD，CE＝BE，
∴△DCE≌△FEB（SAS），
∴DE＝BF；
（2）解：∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠DCA＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，
∴DC∥BE，
作GH∥CD，交CE于H，
∵DG＝EG，GH∥BE，
∴CH＝EH，
∵AD＝2，AD＝CD，
∴CD＝2，
∴GH＝，
设CE＝BE＝m，
∴EH＝，
∵EF＝AD＝2，
∴FH＝，
∵GH∥BE，
∴△GHF∽△BEF，
∴，即，
解得m＝2+2或m＝2﹣2（舍去），
∴BE的长为2+2．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，作出辅助线构建向上三角形是解题的关键．
24．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．

【分析】（1）根据对称轴x＝3，AB＝4，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当∠DAM＝90°时，求出直线AM的解析式为y＝﹣x+1，解方程组
，即可得到点M的坐标；②当∠ADM＝90°时，求出直线DM的解析式为y＝﹣x+5，解方程组
，即可得到点M的坐标；
（3）在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，证得，又∠PBF﹣∠ABP，得到△PBF∽△ABP，推出PF＝PA，进而得到当点C、P、F三点共线时，PC+PA的值最小，即为线段CF的长，利用勾股定理求出CF即可．
【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴x＝3，AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0），
将4（1，0）代入直线y＝kx﹣1，得k﹣1＝0，
解得k＝1，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
将A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）存在点M，
∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴x＝3与x轴交于点E，
∴当x＝3时，y＝x﹣1＝2，
∴D（3，2），
①当∠DAM＝90°时，
设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，将点A坐标代入，
得﹣1+c＝0，
解得c＝1，
∴直线AM的解析式为y＝﹣x+1，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为（4，﹣3）；
②当∠ADM＝90°时，
设直线DM的解析式为y＝﹣x+d，将D（3，2）代入，
得﹣3+d＝2，
解得d＝5，
∴直线DM的解析式为y＝﹣x+5，
解方程组，解得或，
∴点M的坐标为（0，5）或（5，0），
综上，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；
（3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，

∵PB＝2，
∴，
∵，
∴，
又∵∠PBF＝∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
∴，即PF＝PA，
∴PC+PA＝PC+PF≥CF，
∴当点C、P．F三点共线时，PC+PA的值最小，即为线段CF的长，
∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，
∴CF＝，
∴PC+PA的最小值为．
【点评】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/24 10:53:19；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557