福建省龙岩市漳平市2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省龙岩市漳平市2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共40分）
1. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（ ）

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
答案：A
解析：解：①图是中心对称图形，故①符合题意；
②图是中心对称图形，故②符合题意；
③图是中心对称图形，故③符合题意；
④图不是中心对称图形，故④不符合题意；
故是中心对称图形的有①②③；
故选：A
2. 一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（ ）
A. x1＝0，x2＝1B. x1＝1，x2＝﹣1C. x1＝x2＝1D. x1＝x2＝﹣1
答案：C
解析：解：∵（x﹣1）2＝0，
∴x﹣1＝0，
x＝1，
即x1＝x2＝1，
故选：C．
3. 抛物线的对称轴是（ ）
A. y轴B. 直线x=2C. 直线D. 直线x=﹣3
答案：A
解析：解：由二次函数的公式法可得顶点坐标为，
故对称轴为x==0，
所以对称轴为y轴．
故选：A．
4. 已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵点与点是关于原点O的对称点，
∴．
故选：A
5. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A. 3B. 1C. D.
答案：D
解析：解：、是一元二次方程两个实数根，
，，
，
故选：D
6. 已知抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：设此抛物线的解析式为，
∵抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，
∴，
∵顶点坐标为，
∴，，
∴，
故选D．
7. 在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A. 旋转前和旋转后的图形全等
B. 图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
D. 图形上可能存在不动的点
答案：B
解析：解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项正确，不符合题意；
B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项错误，符合题意；
C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C选项正确，不符合题意；
D、图形上可能存在不动的点，故D选项正确，不符合题意；
故选：B．
8. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：方程移项得：，
配方得：，即．
故选：C．
9. 已知二次函数y=mx2+（2m+1）x+m﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A. mB. C. m且m≠0D. m且m≠0
答案：C
解析：解：根据题意得，
解不等式①得，m≠0，
解不等式②得，m，
不等式组的解集为：m且m≠0，
故选：C．
10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－1．且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0；②a－2b＋4c＝0；③25a－10b＋4c＝0；④3b＋2c＞0；⑤a－bm≥（am－b）；其中所有正确的结论有（ ）个．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
答案：A
解析：由抛物线的开口向下可得：a<0；
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b<0；
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，
∴abc>0，故①正确；
直线x=-1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以=-1，可得b=2a，a-2b+4c=a-4a+4c=-3a+4c，
∵a<0，c>0，
∴-3a+4c>0，
即a-2b+4c>0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1．且过点（，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-，0），
当x=-时，y=0，即a（-）2-b+c=0，
整理得：25a-10b+4c=0，故③正确；
∵b=2a，a+b+c<0，
∴b+b+c<0，
即3b+2c<0，故④错误；
a－bm≥（am－b）
a－bm－am+b≥0
a（1-m）+b（1-m）≥0，
（1-m）（a+b）≥0，
因a+b<0，当m=0时，上述式子不成立，所以⑤错误．
综上，正确的答案为：①③．故选A.
二、填空题（共24分）
11. 抛物线的开口向__________．（填“上”或“下”）
答案：下
解析：解：∵抛物线的解析式为，
∴，
∴抛物线的开口向下．
故答案为：下．
12. 抛物线y=x2+2x﹣2018过点（m，0），则代数式m2+2m+1=_____．
答案：
解析：将点（m，0）代入抛物线y=x2+2x﹣2018可得：，
∴
∴
故答案为：2019
13. 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则BC′＝_____________．
答案：5
解析：解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=10，
∴BC=AC=5．
根据旋转的性质可知，BC=BC′，
所以BC′=5．
故答案为5．
14. 如图是抛物线的一部分，由图象可知，不等式＞0的解集是____．
答案：或
解析：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）
而对称轴，
∴抛物线与x轴的另一交点（-1，0），
当时，图象在轴上方，
此时或，
故答案为：或．
15. 若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则m的值为____________．
答案：36
解析：解：利用一元二次方程的根与系数的关系得，
若腰为4，即，
则，不成立（根据三角形两边之和大于第三边）；
若底为4，则，
所以，
故答案为：36．
16. 如图，在中，，点D、E分别是、上的点，，，，连接，若，则___________．
答案：
解析：解：连接，如下图：
，
是等边三角形
延长至点F，使，连接，如下图所示
在和中
又，
，即：
，
而
过E点作，交于G点，如下图所示
在中，
，
在中，由勾股定理可知：
即
整理得：
解得：或（舍去）
是等边三角形
故答案为：
三、解答题（共86分）
17. 解方程：
（1）x2＝3x；
（2）x2﹣2x﹣3＝0．
答案：（1）x1＝0，x2＝3
（2）x1＝3，x2＝﹣1
小问1解析：
解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝0，x2＝3；
小问2解析：
解：x2﹣2x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16，
∴x＝，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
18. 如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长．
答案：
解析：由旋转的性质得：，，
∴．
19. 如图，已知点A，B的坐标分别为(0，0)，(4，0)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′．
（2）写出点C′的坐标．
（3）求BB′的长．
答案：（1）见解析；（2）(-2，5)；（3）4
解析：（1）如图：△AB′C′就是所求的三角形．

（2）根据旋转的性质，得点C′的坐标为(-2，5)．
（3）BB′＝．
20. 如图，把Rt△ABC绕点A.逆时针旋转40°，得到在Rt△ABʹCʹ，点Cʹ恰好落在边AB上，连接BBʹ，求∠BBʹCʹ的度数．

答案：20°
解析：解：由旋转可知：
∠BABʹ=40°，AB=ABʹ．
∴∠ABBʹ=∠ABʹB．
∴∠ABBʹ==70°．
∴∠BBʹCʹ=90°－70°=20°．
21. 已知二次函数y＝ax2＋c.当x＝1时，y＝－1；当x＝2时，y＝5，求该二次函数的表达式．
答案：y＝2x2－3.
解析：解：由题意，得

解得
∴该二次函数的表达式为y＝2x2－3.
22. 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期利润最大？最大利润是多少？
答案：（1）y＝﹣20x2+100x+6000，0≤x＜20（或0＜x＜20）；（2）当降价2.5元时，利润最大且为6125元．
解析：解：（1）y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x）
=
=
因为降价要确保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60也可），
解得0≤x＜20（或0＜x＜20）；
（2）当时，
y有最大值，
即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．
23. 给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．如图所示，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接，，，已知．
（1）求证：是等边三角形；
（2）求证：，即四边形是勾股四边形．
答案：（1）见解析；（2）见解析
解析：解：（1）由旋转的性质可得△ABC≌△DBE，
∴BC＝BE，
∵∠CBE＝60°，
∴△BCE是等边三角形；
（2）∵△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
∵△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
∴在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
即四边形ABCD是勾股四边形．
24. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点O逆时针方向旋转后得到．
（1）填空：点C的坐标是（ ， ），点D的坐标是（ ， ）；
（2）设直线与交于点M，求点M坐标；
（3）在y轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）
（3）存在， 、、、
小问1解析：
解：，
当时，，
当时，
∴，
∵将绕点O逆时针方向旋转90°后得到，
∴，
∴点C的坐标是，点D的坐标是．
小问2解析：
因为点C的坐标是，点D的坐标是，令直线解析式为，则
，解得，
所以直线
联立解析式，得，
解得，
所以．
小问3解析：
设，由，，知
，，
①若，则，解得；
得 、；
②若，则，解得（此时，点P与点B重合，舍去），；得；
③若，则，解得；得
综上，满足条件的点P的坐标是 、、、．
25. 如图1，正方形的边长为2，在中，（），，当时，恰好经过的中点G．

（1）如图2，连接，，则四边形为______形；
（2）将图1中的绕点B按顺时针方向旋转角度（），得到图3，连接，，求证：，；
（3）在（2）的旋转过程中，当C，F，E三点共线时，请直接写出线段的长度．
答案：（1）正方 （2）见解析
（3）或
小问1解析：
解：，，
，
是中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
是正方形，
故答案为：正方；
小问2解析：
证明：如图，延长交于点，

，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，即；
小问3解析：
若不动，将正方形绕点按顺时针旋转，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图：

当点C在延长线上时，
正方形边长为2，
，，
，
，
当点在延长线上时，
同理可知：，
由（2）可知：，
或．