2023-2024学年福建省龙岩市新罗区莲东中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市新罗区莲东中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个图形是国际通用的交通标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.对于二次函数y=−2(x+1)2−3，下列说法正确的是( )
A. 图象开口向上B. 图象的对称轴是直线x=1
C. 图象的顶点坐标是(−1,3)D. 当x>0时，y随x的增大而减小
3.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的一个根是0，则a的值为( )
A. −1B. 1C. 1或−1D. 2
4.学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是( )
A. 625(1−x)2=400B. 400(1+x)2=625
C. 625x2=400D. 400x2=625
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=121°，则∠BOD的度数为( )
A. 98°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
6.抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是( )
A. y=(x−3)2−2B. y=(x−3)2+2C. y=(x+3)2−2D. y=(x+3)2+2
7.如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为( )
A. 3 3
B. 32
C. 3 32
D. 3
8.如图.抛物线经过点(−1,0)，对称轴为直线x=1，则当yam2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时a=12；⑤点P是抛物线对称轴上的一点，若OD=4，则△PBD周长的最小值为3 2+ 10.其中，错误的个数为( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若将方程x2−4x−5=0化成(x−m)2=p(m,P为常数)的形式，则m+p的为______ ．
12.在平面直角坐标系中，已知点A(2a−b,−8)与点B(−2,a+3b)关于原点对称，则a= ______ ，b= ______ ．
13.已知扇形面积为12π，半径为6，则扇形构成圆锥的底面半径长为______ ．
14.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直径AC=12cm，∠P=90°，求PB的长______ ．
15.在如图所示的平面直角坐标系中，有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，此抛物线的解为______ ．
16.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(−2,0)、(0,2)、(4,0)，点E是△ABC的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若∠DBC=45°，则点D的坐标为______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
(1)(x+3)2−4=0；
(2)x2−4x−5=0．
18.(本小题8分)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出不等式ax2+bx+c>0的解集；
(2)当−1≤x≤2时，写出函数值y的取值范围．
(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的正实数根，写出k的取值范围．
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m−3)x−m=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22−x1x2=13，求m的值．
20.(本小题8分)
如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A(1,4)、B(3,1)、C(4,2)．
(1)将△ABC向下平移4个单位，则点B的对应点坐标为______ ；
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1；
(3)求△A1B1C1的面积．
21.(本小题8分)
如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且∠DBC=∠A=60°，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6cm，求弦BD的长．
22.(本小题8分)
对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n−m=k(b−a)则称此函数为“k系和谐函数”．
(1)已知正比例函数y=2x(1≤x≤4)为“k系和谐函数”，则k的值为______ ；
(2)若一次函数y=px−1(1≤x≤4)为“3系和谐函数”，求p的值；
(3)已知二次函数y=−2x2+4ax+a2+2a当−1≤x≤1时，y是“k系和谐函数”，求k的取值范围．
23.(本小题8分)
某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
(1)每天的销售量为______瓶，每瓶洗手液的利润是______元；(用含x的代数式表示)
(2)若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
(3)当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】解：∵y=−2(x+1)2−3，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−1，顶点坐标为(−1,−3)，
当x>−1时，y随x的增大而减小，
故A，B，C选项错误，D选项正确．
故选：D．
根据二次函数的性质和图象上点的坐标特征进行解答．
本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意把二次函数化为顶点式的形式是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的一个根为0，
∴a−1≠0且a2−1=0，
∴a=−1．
故选：A．
把x=0代入方程得到a2−1=0，解得a=±1，然后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：400(1+x)2=625，
故选：B．
第三年的植树量=第一年的植树量×(1+年平均增长率)2，把相关数值代入即可．
考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BCD=121°，
∴∠BAD=180°−121°=59°，
∴∠BOD=2∠BAD=118°．
故选：C．
根据圆内接四边形的对角互补求出∠BAD的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是y=(x+3)2−2，
故选：C．
根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7.【答案】C
【解析】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，OG⊥CD，
∴∠COG=30°，
∵⊙O的周长等于6πcm，
∴OC=3cm，
∴OG=3cs30°=32 3cm，
故选：C．
连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD=60°，进而可求出∠COG=30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OG的长．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线经过点(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线和x轴的另一个交点为(3,0)，
∴yam2+bm，故③正确，
当△ABC是等腰直角三角形时，C(−1,2)，
可以假设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+2，把(1,0)代入得到a=−12，故④错误，
如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，此时△BDP的周长最小，最小值=PD+PB+BD=PD+PA+BD=AD+BD，
∵AD= 32+42=5，BD= 42+12= 17，
∴△PBD周长最小值为5+ 17，故⑤错误．
∴错误的个数为2，
故选：C．
利用待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短一一判断即可．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】11
【解析】解：∵x2−4x−5=0，
∴x2−4x=5，
配方得：x2−4x+4=5+4，
(x−2)2=9，
∴m=2，p=9，
∴m+p=2+9=11，
故答案为：11．
移项，配方，再求出m、p的值，最后求出m+p即可．
本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够正确配方是解此题的关键．
12.【答案】2；2
【解析】解：∵点A(2a−b,−8)与点B(−2,a+3b)关于原点对称，
∴2a−b=2，a+3b=8，
∴a=2，b=2，
故答案为2，2．
利用关于原点对称的点的特点建立方程组即可．
此题是关于原点对称的点的坐标，主要考查坐标系中点的对称点的特征，熟记对称点的特征是解本题的关键，是一道简单题．
13.【答案】2
【解析】解：∵用面积为12π，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，
∴围成的圆锥底面圆的周长为：12π×26=4π，
设围成的圆锥底面圆的半径为r，则2πr=4π，
解得，r=2，
∴圆锥的底面半径是2．
故答案为：2．
先根据圆锥的侧面积公式求出圆锥底面的周长，再根据圆周长公式求出圆锥的底面半径即可．
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的侧面积：S侧=πrl．
14.【答案】6cm
【解析】解：连接OP，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，∠APB=90°，
∴∠BPO=∠APO=12∠APB=45°，PB⊥OB，
∴∠PBO=90°，
∴∠BOP=∠BPO=45°，
∴PB=OB，
∵AC=12cm，
∴OB=12AC=6cm，
∴PB=6cm，
故答案为：6cm．
连接OP，由切线长定理得∠BPO=∠APO=12∠APB=45°，因为∠PBO=90°，所以∠BOP=∠BPO=45°，则PB=OB=12AC=6cm，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15.【答案】y=−0.04x2+1.6x
【解析】解：由题意，设解析式是：y=a(x−20)2+16，
根据题意得：400a+16=0，
解得a=−0.04．
∴函数关系式y=−0.04(x−20)2+16，
即y=−0.04x2+1.6x．
故答案为：y=−0.04x2+1.6x．
依据题意，根据图象得到：顶点坐标是(20,16)，因而可以利用顶点式求解析式．
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并能利用待定系数法求二次函数解析式是关键．
16.【答案】(23,0)
【解析】【分析】
本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CE，过E作EF⊥AC于F，根据已知条件得到OA=OB=2，OC=4，得到△OBA是等腰直角三角形，得到∠BAC=45°，根据圆周角定理得到∠BEC=∠BAC=45°，推出△BCE是等腰直角三角形，求得BC=CE，根据全等三角形的性质得到E(2,−4)，待定系数法得到直线BE的解析式为y=−3x+2，于是得到结论．
【解答】
解：连接CE，过E作EF⊥AC于F，
∵点A、B、C的坐标分别为(−2,0)、(0,2)、(4,0)，
∴OA=OB=2，OC=4，
∴△OBA是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BEC=∠BAC=45°，
∵∠DBC=45°，
∴∠BCE=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BC=CE，
∵∠CBO+∠BCO=∠BCO+∠ECF=90°，
∴∠OBC=∠FCE，
在△OBC与△FCE中，
∠OBC=∠FCE∠BOC=∠CFE=90°BC=CE，
∴△OBC≌△FCE(AAS)，
∴CF=OB=2，EF=OC=4，
∴OF=2，
∴E(2,−4)，
设直线BE的解析式为y=kx+b，
∴b=22k+b=−4，
∴k=−3b=2，
∴直线BE的解析式为y=−3x+2，
当y=0时，x=23，
∴D(23,0)，
故答案为(23,0)．
17.【答案】解：(1)(x+3)2−4=0，
(x+3)2=4，
x+3=±2，
x+3=2或x+3=−2，
x1=−1，x2=−5；
(2)x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
x−5=0或x+1=0，
x1=5，x2=−1．
【解析】(1)利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由图象可得，
当x3时，ax2+bx+c>0；
(2)由图象可知，
当−1≤x≤2时，函数值y的取值范围−4≤y≤0；
(3)由图象可知，
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是y=−4，
当x=0时，y=−3，
故方程ax2+bx+c=k有两个不相等的正实数根，k的取值范围是−40，
则方程有两个不相等的实数根；
(2)解：由根与系数的关系可得：x1+x2=m−3，x1x2=−m，
∵x12+x22−x1x2=13，
∴(x1+x2)2−3x1x2=13，即(m−3)2+3m=13，
整理得：m2−3m−4=0，即(m−4)(m+1)=0，
所以m−4=0或m+1=0，
解得：m=4或m=−1．
【解析】(1)表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
(2)利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出m的值．
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
20.【答案】(3,−3)
【解析】解：(1)由题意得，点B的对应点坐标为(3,−3)．
故答案为：(3,−3)．
(2)如图，△A1B1C1即为所求．
(3)△A1B1C1的面积为12×(1+3)×3−12×1×1−12×2×3=52．
(1)由平移的性质可得答案．
(2)根据旋转的性质作图即可．
(3)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−旋转变换、平移变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE=DE，OE⊥BD，BF=12BD，
∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠BOE=∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC=90°，
∴∠OBC=90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵OB=6，∠DBC=∠A=60°，BC⊥OB，
∴OC=12，
∵△OBC的面积=12OC⋅BE=12OB⋅BC，
∴BE=OB⋅BCOC=6×6 312=3 3，
∴BD=2BE=6 3，
即弦BD的长为6 3．
【解析】(1)连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD，BF=12BD，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；
(2)由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．
本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．
22.【答案】2
【解析】解：(1)正比例函数y=2x，当1≤x≤4时，2≤y≤8，
∴8−2=k(4−1)，
∴k=2，
故答案为：2；
(2)由题意得，当p>0时，(4p−1)−(P−1)=9，解得p=3，
当p