新高考高中数学核心知识点全透视专题7.3三角函数的图象和性质(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题7.3三角函数的图象和性质(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了3三角函数的图象和性质，求三角函数的周期的方法， 如何判断函数的奇偶性等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．
3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
4.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
5．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．
二、考试要求
1．能画出 y  sin x , y  cs x , y  tan x 的图像,了解三角函数的周期性.
2．理解正弦函数、余弦函数在区间 [ 0,2π ] 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间（-eq \f(π,2)，eq \f(π,2)）内的单调性.
3．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像,了解参数 A ,  , 对函数图像变化的影响.
4．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.
三、主干知识梳理
（一）“五点法”作图
“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个 SKIPIF 1 < 0 的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.
（二）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
（三）函数y＝Asin(ωx＋φ)
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq \f (π,2)，π，eq \f (3π,2)，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为eq \f (T,4).
3．由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
提醒：(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f (|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
eq \([常用结论])
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f (φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
一、命题规律
1.客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识.
2.解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.
二、真题展示
1．（2023·江苏·高考真题）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
考点01 “五点法”做函数的图象
【典例1】（2023·江苏·高一课时练习）用“五点法”画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正(余)弦曲线的区别和联系：
（1） y=csx-1；
（2） y=sin.
【典例2】（2023·全国高三（文））(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
【总结提升】
用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．
考点02 三角函数的图象和性质
【典例3】（2023·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
【典例4】（2023·广东·高三月考）已知函数，则“＋2kπ，k∈Z”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例5】（2023·江苏·海安高级中学高三月考）已知，直线，是的图像的相邻两条对称轴，则的图像的对称中心可以是（ ）
A．B．C．D．
【典例6】（2023年高考全国Ⅱ卷文）若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）
A．2B．
C．1D．
【典例7】（2023年高考全国Ⅰ卷文）函数f(x)=在的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【典例8】（2023·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【典例9】（2023·河南许昌·高三月考（理））已知函数的定义域为，值域为，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【典例10】（2023·山东高一期末）函数的定义域为_____．
【典例11】（2023·河南·高三月考（文））函数的最大值为_______________________．
【典例12】（2023·天津市武清区杨村第一中学高三月考）已知函数在上单调，若的最大负零点在内，则的取值范围是__________.
【总结提升】
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法
(1)利用sin x和cs x的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
(3)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域；
(4)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域．
3.求形如或 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝Z，将函数转化为y＝AsinZ的形式求最值．
14.正切函数单调性的三个关注点
(1)正切函数在定义域上不具有单调性．
(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，(eq \f(π,2)，eq \f(3,2)π)，…上都是增函数．
(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))∪(eq \f(π,2)，eq \f(3π,2))∪…上是增函数．
考点03 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象变换
【典例13】（2023·全国高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【典例14】（2023·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【总结提升】
1.由的图象求其函数式：
已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
2.利用图象变换求解析式：
由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.
3. 图象的变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，注意二者的“不同”之处．
4.研究函数的性质，要注意“复合函数”这一特征.
巩固提升
1．（2023·福建高二学业考试）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·湖南·高考真题）为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ）
A．向上平移个单位B．向左平移个单位
C．向下平移个单位D．向右平移个单位
3.（2023·河南开封�高一期末）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
4. 【多选题】（2023·海南省高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
5.（2023·辽宁沈阳�高一期末）【多选题】己知函数，，下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线轴对称B．在区间上单调递减
C．的图象关于直线轴对称D．的最大值为
6．（2023·全国高三其他）【多选题】函数的部分图象如图所示，点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，点在轴上.若是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．的图象关于点对称
D．在区间上有个极值点
7.（2023·湖南·永州市第一中学高一期中）下列关于函数的说法正确的有（ ）
A．周期为
B．把的图像向右平移个单位，得到一个奇函数的图像
C．图像关于点对称
D．图像关于直线对称
8.（2023·江苏·高一课时练习）求函数的定义域，周期和单调区间.
9.（2023·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
10.（2023·镇原中学高一期末）已知函数，在一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值，求
（1）函数的解析式；
（2）求出函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；
（3）当时，求函数的值域.
性质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当时，．
当时，；当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性
,奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f (2π,ω)
f ＝eq \f (1,T)＝eq \f (ω,2π)
ωx＋φ
φ
x
y
0
0
3
0
-3
0
专题7.3三角函数的图象和性质（精讲精析篇）
一、核心素养
1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．
3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
4.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
5．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．
二、考试要求
1．能画出 y  sin x , y  cs x , y  tan x 的图像,了解三角函数的周期性.
2．理解正弦函数、余弦函数在区间 [ 0,2π ] 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间（-eq \f(π,2)，eq \f(π,2)）内的单调性.
3．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像,了解参数 A ,  , 对函数图像变化的影响.
4．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.
三、主干知识梳理
（一）“五点法”作图
“五点法”作图：先列表，令，求出对应的五个 SKIPIF 1 < 0 的值和五个值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到在一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数的图象.
（二）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
（三）函数y＝Asin(ωx＋φ)
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq \f (π,2)，π，eq \f (3π,2)，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为eq \f (T,4).
3．由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
提醒：(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是eq \f (|φ|,ω)(ω＞0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．
eq \([常用结论])
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f (φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．
一、命题规律
1.客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识.
2.解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.
二、真题展示
1．（2023·江苏·高考真题）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
分析：
由，可得，所以，令，得，从而可得到本题答案.
【详解】
由题，得，所以，
令，得，
所以的对称轴为，
当时，，
所以函数的一条对称轴为.
故选：A
2．（2023·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
考点01 “五点法”做函数的图象
【典例1】（2023·江苏·高一课时练习）用“五点法”画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正(余)弦曲线的区别和联系：
（1） y=csx-1；
（2） y=sin.
答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析.
分析：
(1)用“五点法”作出函数y=csx-1的图象，再画出余弦曲线，观察图象说明它们的联系；
(2)用“五点法”作出函数y=sin的图象，再画出正弦曲线，观察图象说明它们的联系.
【详解】
（1） 先用“五点法”画一个周期的图象，按五个关键点列表：
描点画图，然后由周期性得整个图象，如图：
由图象可知，函数y=csx-1的图象与余弦曲线有上下之分，可由余弦曲线向下平移1个单位长度得到；
（2）先用“五点法”画一个周期的图象，按五个关键点列表：
描点画图，然后由周期性得整个图象，如图：
由图象可知，函数y=sin的图象与正弦曲线有左右之分，可由正弦曲线向右平移个单位长度得到.
【典例2】（2023·全国高三（文））(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
答案：(1)见解析(2) 见解析(3) .
【解析】
（1）先列表,后描点并画图
；
（2）把的图象上所有的点向左平移个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象；
（3）由，
所以函数的对称轴方程是.
【总结提升】
用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为或的形式；②求出周期；③求出振幅；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．
考点02 三角函数的图象和性质
【典例3】（2023·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
答案：D
分析：
本题可通过、、、、得出结果.
【详解】
A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
【典例4】（2023·广东·高三月考）已知函数，则“＋2kπ，k∈Z”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
分析：
首先把的值代入函数的解析式，从而判断函数为奇函数；然后再根据为奇函数求出的值，从而可判断选项.
【详解】
当，时，，所以为奇函数．
当为奇函数时，，．
综上，“，”是“为奇函数”的充分不必要条件．
故选：A.
【典例5】（2023·江苏·海安高级中学高三月考）已知，直线，是的图像的相邻两条对称轴，则的图像的对称中心可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
用相邻两条对称轴的距离的2倍即为函数周期，求出周期，然后求，进而再求出的值，注意这里有两种可能，需要分类讨论.
【详解】
由题意，所以，因为，所以，又是的图像的对称轴，所以代入后等于1或-1.
①当时，即，此时，，解得：，.所以，把的图像的对称中心设为，则，.解得，.当时，，故C选项正确.
②当时，即，此时，，解得：，.所以，把的图像的对称中心设为，则，.解得，.A、B、D选项均不满足上面两种情况.
故选：C
【典例6】（2023年高考全国Ⅱ卷文）若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）
A．2B．
C．1D．
答案：A
【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．
【典例7】（2023年高考全国Ⅰ卷文）函数f(x)=在的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
【典例8】（2023·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
答案：②③
【解析】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【典例9】（2023·河南许昌·高三月考（理））已知函数的定义域为，值域为，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：
由条件可得，，然后可得，解出即可得到答案.
【详解】
由的值域为可得
由可得
所以，解得
所以的最大值是
故选：C
【典例10】（2023·山东高一期末）函数的定义域为_____．
答案：
【解析】
解不等式，可得，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
【典例11】（2023·河南·高三月考（文））函数的最大值为_______________________．
答案：
分析：
将原式化简成关于的二次函数求解最值即可
【详解】
所以当时，
故答案为：1
【典例12】（2023·天津市武清区杨村第一中学高三月考）已知函数在上单调，若的最大负零点在内，则的取值范围是__________.
答案：
分析：
当时，，利用的单调性可得；令，可得，当时取得最大的零点，求解即可
【详解】
由题意，当时，
由于函数在上单调，故在单调
故，解得
令
，当时取得最大的负零点
，解得
综上：的取值范围是
故答案为：
【总结提升】
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法
(1)利用sin x和cs x的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；
(3)把sin x或cs x看作一个整体，转换成二次函数求值域；
(4)利用sin x±cs x和sin xcs x的关系转换成二次函数求值域．
3.求形如或 (其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝Z，将函数转化为y＝AsinZ的形式求最值．
14.正切函数单调性的三个关注点
(1)正切函数在定义域上不具有单调性．
(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))，(eq \f(π,2)，eq \f(3,2)π)，…上都是增函数．
(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))∪(eq \f(π,2)，eq \f(3π,2))∪…上是增函数．
考点03 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象变换
【典例13】（2023·全国高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【典例14】（2023·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
【总结提升】
1.由的图象求其函数式：
已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
2.利用图象变换求解析式：
由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.
3. 图象的变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，注意二者的“不同”之处．
4.研究函数的性质，要注意“复合函数”这一特征.
巩固提升
1．（2023·福建高二学业考试）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
函数的最小正周期为：
故选：D
2.（2023·湖南·高考真题）为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ）
A．向上平移个单位B．向左平移个单位
C．向下平移个单位D．向右平移个单位
答案：B
分析：
根据“左+右-”的平移规律判断选项.
【详解】
根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到.
故选：B
3.（2023·河南开封�高一期末）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
4. 【多选题】（2023·海南省高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】
由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
5.（2023·辽宁沈阳�高一期末）【多选题】己知函数，，下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线轴对称B．在区间上单调递减
C．的图象关于直线轴对称D．的最大值为
答案：BCD
【解析】
，其图象如下所示：
由图可知，的图象关于直线对称，故A错误，C正确；
在区间上单调递减，故B正确；
的最大值为，的最小值为，故D正确
故选：BCD
6．（2023·全国高三其他）【多选题】函数的部分图象如图所示，点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，点在轴上.若是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．的图象关于点对称
D．在区间上有个极值点
答案：AC
【解析】
由题意可得，则,
该函数的最小正周期，则.
又点在的图像上，所以，，
则，所以，所以，A正确；
当时，，单调递减，B错误；
，所以的图像关于点对称，C正确：
令，则，，即，.
又，则或，即在区间上有个极值点，D错误.
故选：AC.
7.（2023·湖南·永州市第一中学高一期中）下列关于函数的说法正确的有（ ）
A．周期为
B．把的图像向右平移个单位，得到一个奇函数的图像
C．图像关于点对称
D．图像关于直线对称
答案：AC
分析：
根据公式可求函数的周期，从而可判断A的正误，利用代入法可判断CD的正误，利用平移变换可求平移后所得图象的解析式，从而可判断B的正误.
【详解】
因为，故，故A正确.
而，故图像关于点对称，故C正确.
又，故图像不关于直线对称，故D错误.
把的图像向右平移个单位，
所得图象对应的解析式为，
而，故为偶函数，故B错误.
故选：AC.
8.（2023·江苏·高一课时练习）求函数的定义域，周期和单调区间.
答案：定义域为；最小正周期为；单调增区间为，无单调减区间.
分析：
根据正切函数的定义域和单调区间用整体代入的方法即可求出函数的定义域和单调区间；利用公式即可求出函数的最小正周期.
【详解】
由得，
所以函数的定义域为；
由，所以函数的最小正周期为；
由，得，
所以函数的单调增区间为，无单调减区间.
9.（2023·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
答案：（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
分析：
（1）利用三角函数五点作图法求解，，的值即可.
（2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值.
【详解】
（1）由表可知，则，
因为，，所以，解得，即，
因为函数图象过点，则，即，
所以，，解得，，
又因为，所以.
（2）由（1）可知.
因为，所以，
因此，当时，即时，，
当时，即时，.
所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.
10.（2023·镇原中学高一期末）已知函数，在一周期内，当时，取得最大值3，当时，取得最小值，求
（1）函数的解析式；
（2）求出函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；
（3）当时，求函数的值域.
答案：（1）；（2）增区间为，对称轴方程为，，对称中心为（）；（3）.
【解析】
(1)由题设知，，
周期，，由得.
所以.
又因为时，取得最大值3，
即，，解得，又，
所以，所以.
(2)由，得.
所以函数的单调递增区间为.
由，，得，.
对称轴方程为，..
由，得（）.
所以，该函数的对称中心为（）.
(3)因为，所以，则，
所以.所以值域为：.
所以函数的值域为.
性质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当时，．
当时，；当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性
,奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.
对称中心
无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f (2π,ω)
f ＝eq \f (1,T)＝eq \f (ω,2π)
ωx＋φ
φ
x
0
π
2π
csx
1
0
-1
0
1
csx-1
0
-1
-2
-1
0
x
x-
0
π
2π
sin
0
1
0
-1
0
x
y
0
x
y
0
1
0
-1
0
0
0
3
0
-3
0